近 Ricci 孤 立 子 的 剛 性

魏佩璽, 劉建成

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

1 引言及主要結果

若Riemann流形(Mn,g)上存在光滑向量場X及光滑函數λ:Mn→, 滿足孤立子方程

(1)

則稱Mn為近Ricci孤立子, 記為(Mn,g,X,λ). 其中Ric表示Mn的Ricci張量,LXg表示度量g沿X方向的Lie導數,X稱為孤立子場,λ稱為孤立子函數. 當λ>0(λ=0或λ<0)時, 稱近Ricci孤立子為收縮的(穩定的或擴張的), 否則稱近Ricci孤立子是不定的. 特別地, 如果λ是常數, 則稱Mn是Ricci孤立子.

若孤立子場X可表示為一個光滑函數f:Mn→的梯度(即X=f), 則稱Mn是梯度近Ricci孤立子, 記為(Mn,g,f,λ), 此時式(1)可變為

Ric+2f=λg,

此外, 當X=0或f為常數時, 稱近Ricci孤立子是平凡的, 否則稱為非平凡的. 近Ricci孤立子是經典孤立子和Einstein度量的推廣. 易見當近Ricci孤立子的維數n≥3且孤立子場X是Killing向量場時, 近Ricci孤立子是Einstein的, 也是Ricci孤立子. 因為此時由孤立子方程(1)及Schur引理易知λ是常數.

孤立子的研究熱點主要是其平凡性、 分類結果及曲率估計. 關于Ricci孤立子剛性問題的研究目前已取得很多成果. 例如： 文獻[1]證明了一般完備Ricci孤立子關于無跡Riemann曲率張量的不等式, 并得到等號成立當且僅當其等距于n或 Sn的有限商; 文獻[2]研究了近Ricci孤立子, 并給出其剛性結果. 近Ricci孤立子的剛性性質與Ricci孤立子有很大差別; 文獻[3]證明了具有非平凡共形向量場的緊致近Ricci孤立子等距于歐氏球面 Sn; 文獻[4]在滿足一定積分條件下證明了共形平坦的近Ricci孤立子等距于 Sn; 文獻[5]通過計算Ricci張量的X-Laplace算子, 得到了近Ricci孤立子的一些積分公式, 并用這些公式證明了非平凡的緊致定向近Ricci孤立子等距于 Sn的幾個等價條件.

本文基于文獻[1]中一般完備Ricci孤立子的剛性性質, 通過計算近Ricci孤立子無跡曲率張量模長平方的X-Laplace算子, 在逐點或積分拼擠的條件下, 將該類剛性結果推廣到近Ricci孤立子中, 得到下列結果.

(2)

則Mn等距于n或 Sn的有限商, 其中是與維數n有關的正常數.

特別地, 當λ為常數時, 定理1即為文獻[1]中一般完備收縮Ricci孤立子的最優拼擠結果.

由定理2易得如下拼擠結果.

則Mn等距于 Sn的有限商.

2 預備知識及引理

設(Mn,g)(n≥3)是連通Riemann流形, 則在局部單位正交標架下有下列結果[2]:

(3)

(4)

對式(4)兩邊取跡可得

R+divX=λn.

(5)

此外, 記無跡Riemann曲率張量

根據Riemann曲率張量Rm的性質, 易知如下等式成立(這里用到Einstein求和約定):

一個(0,4)-型張量T的模長表示為

(7)

從而結合式(7)和式(6), 通過直接計算可得如下等式：

(8)

另一方面, 設u是Riemann流形(Mn,g)(n≥3)上任意的局部Lipschitz函數, 則Mn上的X-Laplace算子ΔX[1]定義為

ΔXu=Δu-〈X,u〉?Δu-X·u.

特別地, 當向量場X為梯度場時, 不妨設X=f,f∈C∞(M), 則微分算子ΔX為f-Laplace算子, 即

Δfu=Δu-〈f,u〉=Δu-f·u=efdiv(e-fu).

引理1近Ricci孤立子(Mn,g,X,λ)(n≥3)滿足如下等式:

證明: 為方便, 記

則

(10)

一方面, 由第二Bianchi恒等式可得

另一方面, 根據Ricci恒等式, 第一、 第二Bianchi恒等式及孤立子方程(4), 可得

從而

于是將式(11),(12)代入式(10), 并結合Ricci恒等式, 有

從而式(9)成立. 證畢.

引理2設(Mn,g,X,λ)(n≥3)是近Ricci孤立子, 則

證明: 由文獻[1]中引理2.2知, 對完備的Riemann流形(Mn,g)(n≥3), 有

因為

故結合引理1和式(16), 經簡單計算可得

將式(8)代入式(17), 可得

另一方面, 將不等式[1,6-7]

代入式(18)可知式(15)成立. 證畢.

引理3設(Mn,g,X,λ)(n≥3) 是近Ricci孤立子, 則

(20)

根據式(21), 一方面, 直接計算可得

另一方面, 在式(21)中令k=i, 并對i求和可得

從而根據式(23)及X-Laplace算子的定義, 有

(24)

于是將式(22)和式(23)代入式(20), 再結合式(3)可得

進而由不等式[2,7-8]

及式(25), 可知不等式(19)成立. 證畢.

3 定理的證明

3.1 定理1的證明

(27)

3.2 定理2的證明

對式(28)兩邊在Mn上積分, 并代入式(5)可得

即定理2中不等式成立.

若式(29)中等號成立, 即

(30)

此時, 上述證明過程中所有不等式均變為等式, 從而|W|=0. 再結合式(8)進一步可得

(31)

故式(30)等價于

即

另一方面, 由引理3同理可得

(33)

結合式(32)和式(33)知

(34)

而當n≥3時, 有