分數階微分方程積分邊值問題正解的存在性

尚淑彥, 韓曉玲

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

1 引言與預備知識

分數階微分方程廣泛應用于自然科學、 工程技術和控制系統等領域, 在電磁學、 力學、 醫學、 擴散、 控制、 信息處理等應用中, 分數階微分方程比整數階微分方程更符合實情, 能更準確地描述一些實際問題. 目前, 關于分數階微分方程的研究已取得了豐富的成果[1-9]. 例如： 文獻[1]研究了分數階積分邊值問題

(1)

受上述文獻啟發, 本文用不動點指數理論, 在與相應的線性算子第一特征值相關的條件下, 給出積分邊值問題(1)至少存在一個正解的結果, 與文獻[2]相比, 本文所用方法不同, 而且對非線性項的條件最優, 最后給出一個實例說明本文結果的適用性.

定義1[3]函數f: [0,∞)→的α(α>0)階Caputo分數階導數定義為

其中[α]表示實數α的整數部分.

定義2[3]函數f: [0,∞)→的α(α>0)階Riemann-Liouville分數積分定義為

定義3[3]函數f: [0,∞)→的α(α>0)階Riemann-Liouville分數導數定義為

引理1[3]設n如上述定義, 則下列關系成立:

引理2[3]令α>θ>0且n-1<α

本文定義

引理3[2]當Q1<1,P2<1且(1-Q1)(1-P2)>P1Q2時, 有

mη(s)g(s)≤H(t,s)≤Mg(s), (t,s)∈[0,1]×[0,1],

其中：

Br={u∈C[0,1]|‖u‖0),

P={u∈C[0,1]|u(t)≥0,t∈[0,1]},

則P是C[0,1]上的正錐, 取

引理4A:P1→P1是全連續算子.

證明: 由引理3可知

所以A:P1→P1. 下面證明算子A連續. 設un,u∈P1, ‖un-u‖→0(n→∞), 則有

于是有

設S?P1是有界集, 即?u∈S, ?M>0, 使得‖u‖≤M, 因為f在[0,1]×[-M,M]上一致有界, 所以存在一個正常數L>0, 使得|f(s,u(s))|≤L. 因此

下證算子A等度連續.

從而A等度連續, 由Arzela-Ascoli定理知A:P1→P1是全連續算子.

定義算子

(2)

易知T是線性全連續算子.

引理5[4]設T:C[0,1]→C[0,1]是全連續算子且T(P1)?P1. 如果存在ψ∈C[0,1](-P1)和一個常數c>0, 使得cTψ≥ψ, 則譜半徑r(T)≠0, 且T的第一特征值λ1=(r(T))-1所對應的特征函數φ1為正.

引理6假設T由式(2)定義, 則算子T的譜半徑r(T)≠0, 且T的第一個特征值λ1所對應的特征函數為正.

證明: 取t1∈[1/4,3/4], 使得H(t1,t1)>0. 于是存在[α,β]?[1/4,3/4], 使得t1∈[α,β]及?t,s∈[α,β],H(t,s)>0. 取ψ∈C[0,1], 使得?t∈[0,1],ψ(t)≥0. 進一步, ?t?[α,β],ψ(t1)>0且ψ(t)=0. 若t∈[α,β], 則

因此?t∈[0,1], 存在常數c>0, 使得c(Tψ)(t)≥ψ(t). 由引理5知, 譜半徑r(T)≠0, 且T的第一個特征值λ1所對應的特征函數為正.

u-Au≠μu0, ?u∈?Ω(P),μ≥0.

則不動點指數i(A,Ω(P),P)=0.

Au≠μu, ?u∈?Ω(P),μ≥1.

則不動點指數i(A,Ω(P),P)=1.

2 主要結果

定理1假設

(3)

(4)

成立, 則問題(1)至少存在一個正解, 其中λ1是T的第一特征值.

證明: 由式(3)知, 存在r1>0, 使得

f(t,u)≥λ1u, ?0≤u≤r1, 0≤t≤1.

(5)

令u*是T關于λ1的正特征值函數, 于是u*=λ1Tu*. 對每個u∈?Br1∩P1, 由式(5)可知

(6)

假設A在?Br1∩P1中沒有不動點(否則結論成立). 下面證明

u-Au≠μu*, ?u∈?Br1∩P1,μ≥0.

(7)

若上述結論不成立, 則存在u1∈?Br1∩P1且τ0≥0, 使得u1-Au1=τ0u*. 因此τ0>0且u1=Au1+τ0u*≥τ0u*. 令τ*=sup{τ|u1≥τu*}, 顯然有τ*≥τ0>0, 且u1≥τ*u*. 又因為T(P1)?P1, 從而λ1Tu1≥τ*λ1Tu*=τ*u*. 因此由式(6)有

u1=Au1+τ0u*≥λ1Tu1+τ0u*≥τ*u*+τ0u*=(τ*+τ0)u*,

與τ*的定義矛盾, 因此式(7)成立. 由引理7有

i(A,Br1∩P1,P1)=0.

(8)

由式(4)知, 存在0<ω<1和r2>r1, 使得

f(t,u)≤ωλ1u, ?u≥r2, 0≤t≤1.

令T1u=ωλ1Tu,u∈C[0,1], 則T1:C[0,1]→C[0,1]是有界線性全連續算子, 且T1(P1)?P1. 令

顯然有C<+∞.

再令W={u∈P1|u=μAu, 0≤μ≤1}. 下面證明W是有界集. 對任意的u∈W, 令

則對t∈[0,1], 有

因此((I-T1)u)(t)≤C. 因為λ1是T的第一個特征值, 且0<ω<1, 所以(r(T1))-1>1. 從而逆算子(I-T1)-1存在, 并且可表示為

由T1(P1)?P1知(I-T1)-1(P1)?P1. 因此, 當t∈[0,1]時,u(t)≤(I-T1)-1C, 從而W是有界集.

取r3>max{r2,supW}, 則由不動點指數的同倫不變性有

i(A,Br3∩P1,P1)=i(θ,Br3∩P1,P1)=1.

(9)

由式(8),(9)知

i(A,(Br3∩P1)(Br1∩P1),P1)=i(A,Br3∩P1,P1)-i(A,Br1∩P1,P1)=1.

定理2假設

(10)

(11)

成立, 則問題(1)至少存在一個正解, 其中λ1是T的第一特征值.

(12)

令u0是T關于λ1的正特征值函數, 于是u0=λ1Tu0. 假設A在 ?BR∩P1中沒有不動點(否則結論成立), 下面證明

u-Au≠τu0, ?u∈?BR∩P1,τ≥0.

(14)

若上述結論不成立, 則存在u3∈?BR∩P1且ρ0≥0, 使得u3-Au3=ρ0u0. 因此ρ0>0且u3=Au3+ρ0u0≥ρ0u0. 令ρ*=sup{ρ|u3≥ρu0}, 顯然有ρ*≥ρ0>0, 且u3≥ρ*u0. 又因為T(P1)?P1, 從而λ1Tu3≥ρ*λ1Tu0=ρ*u0. 因此由式(13)有

u3=Au3+ρ0u0≥λ1Tu3+ρ0u0≥ρ*u0+ρ0u0=(ρ*+ρ0)u0,

與ρ*的定義矛盾, 因此式(14)成立. 由引理7有

i(A,BR∩P1,P1)=0.

(15)

由式(12),(15)知

3 應 用

考慮如下分數階微分方程：

(16)

顯然,Q1<1,P2<1, 且

于是格林函數H(t,s)滿足引理3, 由引理5和引理6可得λ1的存在性.

因為f(t,u)=λ0arctanu,t,u∈[0,1]×[0,∞), 顯然f: [0,1]×[0,∞)→[0,∞)連續, 且有

所以根據定理1知, 分數階微分方程(16)至少存在一個正解.