充氣薄膜管氣-膜耦合作用的有限元分析

王曉峰，付慧杰，楊慶山

(1. 北京交通大學土木建筑工程學院，北京 100044；2. 重慶大學土木工程學院，重慶 400044)

充氣薄膜結構具有質量輕、折疊體積小、成本低以及展開可靠性高等優點[1-4]，廣泛應用于土木工程的大跨建筑結構[3]以及航空航天領域的空間充氣天線、充氣太陽帆、充氣太陽光防護罩、充氣居住艙、充氣機翼等空間可展結構[3,5-6]。這些空間結構形式多采用充氣薄膜管作為主要支撐構件[7-8]。圖1 給出了太陽帆中作為支撐構件的充氣薄膜管的受力情況：同時受到薄膜帆板(張拉膜)由于太陽光子作用而對其產生的橫向均布力F1和由于預張應力而對其產生的軸向力(F2)，處于壓彎受力狀態。

圖 1 太陽帆中充氣薄膜管承受的荷載Fig. 1 Loads on the inflated membrane tubes in a solar sail

充氣薄膜管屬于柔性結構，通過內充氣壓使外圍薄膜產生張拉應力而具有剛度和承載能力[3]。荷載作用下，薄膜管的變形會引起內充氣體體積及內壓改變，進而影響外圍薄膜的張拉應力水平和結構的剛度。這種內充氣體與外圍薄膜的相互耦合作用對充氣薄膜管的力學行為具有重要影響。探究充氣薄膜管在壓彎荷載下的氣-膜耦合作用規律有助于深入認識充氣薄膜管的力學行為，確保空間充氣薄膜結構設計計算的可靠性。

但從現有文獻來看，充氣薄膜管的研究主要集中在軸向力或軸向拉伸作用下的局部鼓凸問題[9-17]、彎曲荷載作用下的褶皺變形[2,8,18]及其對褶皺臨界荷載[5,8,19]和極限承載力的影響[2,18,20]、考慮褶皺影響的自由振動特性[1,18,21-22]、基于多體理論對展開過程的動力學分析[7,23-26]以及外圍薄膜的加強方法[27-29]等方面，并通過將內充氣壓等效為外圍薄膜的靜力邊界條件以考慮內充氣體作用的影響，而尚未發現有關充氣薄膜管氣-膜耦合作用的研究文獻。此外，當前文獻僅對軸向荷載或彎曲荷載作用下充氣薄膜管的力學行為進行了研究，并未關注其在壓彎荷載作用下的性能。

鑒于此，本文擬采用有限元方法研究壓彎荷載作用下充氣薄膜管的氣-膜耦合作用及其隨影響因素的變化規律。通過將內充氣體看做是小擾動線性勢流以考慮內充氣體與外圍薄膜的耦合作用，通過將分析結果與內充氣壓被等效為外圍薄膜靜力邊界條件情況下的相應計算結果進行對比，研究氣-膜耦合作用對充氣薄膜管褶皺臨界荷載和極限承載力的影響及其隨初始內壓、長細比、端部約束類型以及軸向荷載的變化情況。

1 理論基礎

充氣薄膜管的力學行為取決于內充氣體和外圍薄膜的力學特性以及兩者之間的耦合作用，因此可通過內充氣體和外圍薄膜的平衡方程以及氣-膜耦合作用方程進行描述。

1.1 內充氣體平衡方程

充氣薄膜管中內充氣體屬于封閉流場，且荷載作用下引起的擾動速度很小，因此可假定其為均勻、無旋、無粘的理想流體，并且在變化過程中始終滿足等熵條件。

這樣，內充氣體可看做為線性有勢流體[30]，在小擾動條件下滿足以速度勢 φ為基本場變量的小幅波動方程[31]

1.2 外圍薄膜平衡方程

假定薄膜具有微小的抗彎剛度，其褶皺變形可以看作是壓應力作用下發生的局部屈曲，可借助板殼穩定理論通過非線性屈曲分析求得。同時，假定薄膜變形符合大轉動、小應變特征[32]，且在整個變形中應力-應變關系滿足廣義虎克定律。

這樣，其平衡微分方程可以寫為[33]：

1.3 氣-膜耦合作用方程

內充氣體和外圍薄膜耦合界面處，在不考慮內充氣體粘性的情況下，有：

式(7)和式(8)即為考慮內充氣體與外圍薄膜耦合作用的充氣膜有限元模型。

2 有限元模型

根據上述建立的充氣薄膜管氣-膜耦合作用方程，本文采用商用有限元軟件ADINA，通過八結點線性勢流單元對內充氣體進行離散以考慮氣-膜耦合作用的影響；基于板殼穩定理論、通過假定外圍薄膜為Kirchhoff 材料以考慮褶皺影響及大轉動、小應變的變形特點。充氣薄膜管的外圍薄膜和兩端蓋板均采用四結點薄殼單元進行離散。

經過不同網格密度情況下的數值結果比較，綜合考慮計算精度和計算時間，最終確定外圍薄膜的單元尺寸為3.93 mm×7.00 mm，共計8000 個薄膜單元；內部勢流單元尺寸為(2.91 mm～3.93 mm)×(2.91 mm～3.93 mm)×7.00 mm，共計84 400 個單元；兩端蓋板的單元尺寸為(2.91 mm～3.93 mm)×(2.91 mm～3.93 mm)，共計844 個單元。建立的有限元模型如圖2 所示。

圖 2 充氣薄膜管的有限元模型Fig. 2 Finite element model of the inflated membrane tube

本文擬采用該有限元模型，分析充氣薄膜管在圖3 所示壓彎荷載作用下的氣-膜耦合作用。豎向荷載Fz作用在充氣薄膜管上端，橫向荷載Fx作用在其長度的三分點處。在給定的豎向荷載作用下，不斷增加橫向荷載直至達到充氣薄膜管的極限承載力。兩端的約束均分別考慮了固定和簡支兩種情況。通過約束充氣薄膜管端部蓋板作為剛性平面的三個平動和三個轉動自由度以考慮固定約束的影響；通過約束端部蓋板作為剛性平面的三個平動自由度和繞x軸和z軸的轉動自由度以考慮簡支約束的影響。由于充氣薄膜管的上端受豎向荷載作用(圖3 所示)，因此上部蓋板在固定和簡支約束情況下均釋放沿z向的平動自由度。

圖 3 充氣薄膜管荷載作用示意圖Fig. 3 Diagram of the inflated membrane tube under load

充氣薄膜管外部薄膜采用Kapton 膜材，內充氣體為空氣，兩端采用鋁制蓋板封閉①由于試驗中充氣薄膜管兩端采用鋁制蓋板封閉，為保證材性的一致性以便于對比驗證，充氣薄膜管的數值模型中端部蓋板也設置為鋁材。，相應的材料參數如表1 所示。

表 1 充氣薄膜管的材料參數Table 1 Material properties of the inflated membrane tube

具體有限元分析過程如下：

1) 形態分析：通過對充氣薄膜管的勢流單元施加質量流荷載使內充氣體達到初始內壓。

2) 施加初始缺陷：對充氣薄膜管進行特征值屈曲分析，并將第一階特征值屈曲模態乘以10-8作為初始缺陷施加到有限元模型上。

3) 對軸向和橫向荷載作用下的充氣薄膜管進行非線性屈曲分析②本文在計算中假定屈曲后剛度退化到初始剛度的5%便達到極限狀態(詳見第四章第二段)，并未計算至屈曲后的負剛度階段，因此通過設置較小的荷載增量(0.5 N)，采用常規的收斂設置，即牛頓迭代結合線性搜索算法以及能量收斂準則，可以使得每一時間步計算收斂。，求解褶皺臨界荷載和極限承載力。

3 有限元模型驗證

作者擬通過靜力試驗驗證本文建立的考慮氣-膜耦合作用的有限元模型的正確性和精確性。由于現有的試驗設備無法滿足試驗加載和測量的精度要求，作者根據圖3 所示的荷載和約束條件，專門研發了充氣薄膜管壓彎試驗裝置，如圖4 所示。試驗中，通過砝碼施加豎向和橫向荷載；位移和內壓分別采用松下HG-C1100 激光位移計和數字差壓計進行量測；充氣設備為220 V 單缸充氣泵，并在排氣口位置處安裝活塞用于氣壓微調，確保初始氣壓的精度，充放氣系統示意圖如圖5 所示。

圖 4 試驗裝置實物圖Fig. 4 Experimental setup

圖 5 充放氣系統簡圖Fig. 5 Diagram of the inflating and deflating system

充氣薄膜管試驗將內充氣體分為恒質量和恒壓兩種情況，分別用于驗證將內充氣體等效為線性勢流和外圍薄膜靜力邊界條件的有限元模型。試驗中，內充氣體為恒質量的情況是通過在加載過程中使內充氣體始終保持密閉實現；而對于內充氣體為恒壓情況，則在加載過程中通過放氣使內充氣壓保持不變。

圖6 給出了充氣薄膜管在直徑100 mm、長細比為7、膜厚75 μm、兩端固定、軸向荷載為10 N以及內充氣壓為6 kPa 情況下試驗與數值的對比結果。圖6(a)與圖6(b)分別是內充氣體為恒質量和恒壓的情況。

圖 6 橫向荷載與橫向位移關系曲線Fig. 6 Transverse-load vs. transverse-displacement curves

圖7 給出了與圖6 相同工況下，充氣薄膜管在極限狀態時分別由試驗和有限元分析得到的變形圖。

圖 7 充氣薄膜管的變形圖 /mmFig. 7 Deformation of the inflated membrane tube

從圖6 及圖7 給出的對比結果可以看出，由有限元分析得到的荷載-位移曲線以及極限狀態時的變形均與試驗結果吻合很好，從而驗證了本文建立的充氣薄膜管有限元模型的正確性和精確性，可用于充氣薄膜管氣-膜耦合作用的有限元分析。

4 氣-膜耦合作用

通過將內充氣體分別等效為線性勢流和靜力邊界條件情況下的有限元分析結果進行對比，研究氣-膜耦合作用對充氣薄膜管在壓彎荷載作用下(軸向荷載不變，不斷增加橫向荷載直至破壞)的褶皺臨界荷載和極限承載力的影響及其隨初始內壓、長細比、端部約束以及軸向荷載的變化規律。各影響因素取值范圍以及其他參數取值情況如表2 所示。

表 2 影響因素的取值范圍及其他參數取值情況Table 2 Ranges of the influencing factors and values of the other parameters

充氣薄膜管在圖3 所示的壓彎荷載作用下，隨著橫向荷載的增加(軸向荷載不變)，跨中受壓側首先出現褶皺。本文將充氣薄膜管剛剛發生褶皺所對應的橫向荷載確定為褶皺臨界荷載③在試驗和數值分析中作者發現充氣薄膜管在壓彎荷載作用下跨中褶皺總是突然出現，并且褶皺角(即橫截面上褶皺區域所對圓心角)已為60°左右，因此將跨中褶皺角為60°時對應的橫向荷載為褶皺臨界荷載。。充氣薄膜管在褶皺出現后，隨著橫向荷載的增加，褶皺變形逐漸增大，橫向剛度逐漸降低。當其橫向剛度④橫向剛度和初始剛度均指切線剛度。某一級橫向荷載對應的切向剛度由該級荷載增量與跨中相應的橫向位移增量的比值近似確定。物理試驗中，采用激光位移計測量充氣薄膜管跨中的橫向位移，采用砝碼逐級施加橫向荷載，也是采用上述同樣的方法近似確定橫向切線剛度。減小到初始剛度的5%時，本文認為已經達到其極限狀態，將此時對應的橫向荷載確定為極限荷載，即充氣薄膜管的極限承載力。為了保證充氣薄膜管最終是發生整體壓彎破壞，而不是因橫向集中荷載作用位置處外圍薄膜的局部褶皺變形而導致的迅速破壞，采用與試驗相同的方法沿充氣薄膜管環向180°范圍內施加寬度為3 cm 面荷載代替集中荷載，如圖8 所示。

圖 8 充氣薄膜管的橫向荷載Fig. 8 Transverse loads on the inflated membrane tube

4.1 初始內壓的影響

從圖9(a)和圖9(b)可以看出，氣-膜耦合作用對充氣薄膜管褶皺臨界荷載和極限承載力的影響隨初始內壓的變化呈現先減小后增大的非單調特點。氣-膜耦合作用體現為外圍薄膜變形與內充氣壓之間的相互作用。因此外圍薄膜的變形及其引起內充氣壓的變化程度均會影響氣-膜耦合作用。

隨著初始內壓的升高，充氣薄膜管的橫向剛度增大，橫向變形減小，由此引起內充氣體的體積改變量逐漸減小，因而內充氣壓的改變量有減小的趨勢；另一方面，隨著初始內壓的升高，內充氣壓對內充氣體體積改變越敏感，因而內充氣壓的改變量有增大的趨勢。在這兩種趨勢的共同影響下，氣-膜耦合作用對褶皺臨界荷載和極限承載力的影響隨初始內壓非單調變化。

圖 9 氣膜耦合作用隨內壓的變化曲線Fig. 9 Variation of the air-membrane interaction with the initial inner pressure

在褶皺臨界階段，當初始內壓在小于7 kPa 的范圍內增加時，內充氣體體積變形減小的速度快，而內充氣壓隨初始內壓的升高而對體積變形的敏感性增加速度較慢，所以內充氣壓改變量減小，氣-膜耦合作用對褶皺臨界荷載的影響減弱，圖9(a)中相應曲線段呈現下降的趨勢。當初始內壓在大于7 kPa 的范圍內增加時，內充氣壓對內充氣體體積改變的敏感性較快增強，雖然內充氣體體積的變形量繼續減小，但內充氣壓的改變量增大，因而氣-膜耦合作用對褶皺臨界荷載的影響增強，圖9(a)中相應曲線段呈上升的趨勢。

基于同樣的原因，在極限階段，當初始內壓在小于6 kPa 的范圍內增加時，氣-膜耦合作用的影響降低，圖9(b)中相應曲線段呈下降的趨勢，當初始內壓在大于6 kPa 的范圍內增加時，氣-膜耦合作用的影響增強，圖9(b)中相應曲線段呈上升的趨勢。

在極限階段，充氣薄膜管的變形遠大于褶皺臨界階段，所以氣-膜耦合作用由于內充氣壓對體積變形的敏感性而隨初始內壓升高開始增強的位置(即圖9(b)曲線的極小值位置，對應的初始內壓為6 kPa)要前于褶皺臨界階段的相應位置(即圖9(a)曲線的極小值位置，對應的初始內壓為7 kPa)。而且極限階段的氣-膜耦合作用隨初始內壓的升高經過極小值后，由于充氣薄膜管的變形遠大于褶皺臨界階段的變形，因而增強速度較快，所以圖9(b)曲線的上升段要比圖9(a)曲線的上升段陡峭。

4.2 長細比的影響

圖10 給出了氣-膜耦合作用隨充氣薄膜管長細比的變化曲線，圖中λ 為長細比。

圖 10 氣膜耦合作用隨長細比的變化曲線Fig. 10 Variation of the air-membrane interaction with the slenderness ratio

從圖10(a)可以看出，氣-膜耦合作用對充氣薄膜管褶皺臨界荷載的影響隨長細比的變化呈現先增大再減小又增大的非單調特點，在長細比的變化范圍內，出現極大值和極小值。從圖10(b)可以看出，氣-膜耦合作用對充氣薄膜管極限承載力的影響隨長細比的變化也呈現出非單調的特點，但變化規律與圖10(a)不同，表現為先減小，后增大，僅出現極小值。圖10(a)和圖10(b)所示曲線非單調變化特點以及兩者變化差異的主要原因是充氣薄膜管在褶皺臨界階段和極限階段，軸力二次效應和氣-膜耦合作用的影響所占比重不同以及隨長細比的變化快慢不同導致。當充氣薄膜管在壓彎荷載作用下的變形主要體現為軸線的彎曲變形，而體積變形(由橫截面因變形而面積減少以及軸線縮短引起)較小時，軸力二次效應占主導地位，反之則氣-膜耦合作用占主導地位。當充氣薄膜管軸線彎曲變形的增加速度大于體積變形的增加速度，則軸力二次效應增大速度快于氣-膜耦合作用的增大速度，反之則氣-膜耦合作用的增大速度快于軸力二次效應的增大速度。

對于受壓彎荷載作用的充氣薄膜管，將內充氣體等效為線性勢流(考慮氣-膜耦合作用)和靜力邊界條件(不考慮氣-膜耦合作用)，均存在軸力二次效應，所以當軸力二次效應占主導地位時，兩者計算結果差異小；當氣-膜耦合作用占主導地位時，兩者的計算結果差異大。隨長細比的增加，當軸力二次效應增大速度大于氣-膜耦合作用的增大速度時，兩者計算結果的差異呈減小的趨勢；當氣-膜耦合作用的增大速度快于軸力二次效應的增大速度時，兩者計算結果的差異呈增大的趨勢。

當長細比小于7 時，隨著長細比的增加，充氣薄膜管在褶皺臨界階段的變形逐漸增大，但其軸線彎曲變形較小，而主要體現為體積變形以較快速度增加，使得氣-膜耦合作用增加速度大于軸力二次效應增加速度，且逐漸占主導地位，因此將內充氣體等效為線性勢流和靜力邊界條件得到的褶皺臨界荷載差異增大，圖10(a)所示曲線在這個區間呈上升的趨勢。由于充氣薄膜管在極限階段的軸線彎曲變形較大，且長細比在這個范圍內增加時，彎曲變形的增大速度大于體積變形的增大速度，使得軸力二次效應增加較快并逐漸占主導地位，所以圖10(b)所示曲線在這個區間呈下降的趨勢。

當長細比在7～9 的范圍內增加時，充氣薄膜管在褶皺臨界階段的彎曲變形增加速度開始超過體積變形的增加速度，使得軸力二次效應與氣膜耦合作用相比以較快速度增加，所以圖10(a)所示曲線在這個區間呈下降的趨勢。當長細比增加超過9 后，褶皺臨界階段體積變形的增加速度又超過彎曲變形增加速度，使得氣-膜耦合作用的增加速度快于軸力二次效應增加速度，所以圖10(a)所示曲線在這個區間呈現再上升的趨勢。而在極限階段，當長細比在大于7 的范圍內增加時，充氣薄膜管的體積變形的增大速度始終較快，使得氣-膜耦合作用的增加速度大于彎曲變形的增加速度，并逐漸占主導地位，所以圖10(b)所示曲線在這個區間呈持續上升的趨勢。

4.3 端部約束的影響

圖11 給出了氣-膜耦合作用隨充氣薄膜管端部約束的變化情況，圖中F-F 表示兩端固定，F-S 表示一端固定一端簡支，S-S 表示兩端簡支。氣-膜耦合作用對褶皺臨界荷載和極限承載力的影響在充氣薄膜管一端固定一端簡支時最強，而兩端簡支時最弱，兩端固定時略大于兩端簡支的情況。

圖 11 氣膜耦合作用隨端部約束的變化Fig. 11 Variation of the air-membrane interaction with the end constraints

當兩端為固定約束時，充氣薄膜管在壓彎荷載作用下變形較小，引起內充氣體體積及氣壓改變量小，所以氣-膜耦合作用對褶皺臨界荷載和極限承載力的影響較弱；對于兩端簡支的情況，與其他兩類約束相比約束程度最弱，在很小的壓彎荷載作用下迅速達到極限承載力，整個過程中變形因沒有來得及充分發展而很小，所以內充氣體體積及內壓改變量最小，氣-膜耦合作用最弱。而一端固定一端簡支的約束程度適中，充氣薄膜管在達到褶皺臨界荷載以及極限承載力時，變形均有較充分的發展，內充氣體體積及內壓改變量顯著，因此氣-膜耦合作用最強。

4.4 軸向荷載的影響

圖12 給出了氣-膜耦合作用隨軸向荷載的變化曲線，圖中Fz為軸向荷載，A為充氣薄膜管的橫截面面積。

圖 12 氣膜耦合作用隨軸向荷載的變化曲線Fig. 12 Variation of the air-membrane interaction with the axial compression

從圖12(a)可以看出，氣-膜耦合作用對充氣薄膜管的褶皺臨界荷載的影響隨軸向荷載的變化呈現增大→減小→增大→減小的非單調特點，在軸向荷載的變化范圍內，出現兩個極大值和一個極小值。而氣-膜耦合作用對充氣薄膜管極限承載力的影響則呈現增大→減小→增大的非單調特點，在軸向荷載的變化范圍內，出現一個極大值和一個極小值，如圖12(b)所示。

氣-膜耦合作用出現如圖12(a)和圖12(b)所示曲線的非單調變化以及兩者變化存在差異的主要原因類似4.2 節，即由于充氣薄膜管在褶皺臨界階段和極限階段，軸力二次效應和氣-膜耦合作用的影響作用所占比重不同以及隨軸向荷載的變化快慢不同導致。

當軸向荷載Fz在小于0.42P0A的范圍內增加時，由于軸力相對較小，軸力二次效應增長較慢，而內充氣體的體積變形以較快速度增加，使得氣-膜耦合作用快速增強，且逐漸占主導地位，因此圖12(a)和圖12(b)所示這部分曲線呈上升趨勢。

當軸向荷載Fz在(0.42～0.85)P0A的范圍內增加時，充氣薄膜管在褶皺臨界階段的彎曲變形增長速度超過了內充氣體體積變形的增長速度，軸力二次效應出現較快增強，而氣-膜耦合作用影響減弱，因此圖12(a)所示這部分曲線呈下降趨勢。當軸向荷載Fz在(0.85～1.27)P0A以及大于1.27P0A的范圍內增加時，同樣由于氣-膜耦合作用和軸力二次效應的交替快速增加，圖12(a)所示這段曲線呈現先上升后下降的特點。

當軸向荷載Fz在(0.42～1.27)P0A以及大于1.27P0A的范圍內增加時，極限階段的軸力二次效應和氣-膜耦合作用也是交替快速增加而使得圖12(b)所示這段曲線呈現先下降后上升的特點。

由于充氣薄膜管在極限階段的變形大于褶皺臨界階段的變形，導致在這兩個階段軸力二次效應和氣-膜耦合作用隨軸向荷載交替出現快速增加的規律存在差異，所以圖12(a)和圖12(b)所示氣-膜耦合作用的變化曲線呈現不同的變化特點。

5 結論

本文采用商用有限元軟件ADINA，通過將內充氣體作用分別等效為線性勢流和靜力邊界條件情況下的分析結果進行對比，研究了氣-膜耦合作用對充氣薄膜管褶皺臨界荷載和極限承載力的影響及其隨初始內壓、長細比、端部約束以及軸向荷載的變化規律。取得的主要結論如下：

(1) 氣-膜耦合作用隨初始內壓的升高呈現先減弱后增強的非單調特點，在初始內壓的變化范圍內存在極小值。

(2) 隨長細比的增加，氣-膜耦合作用對褶皺臨界荷載的影響呈現先增大再減小又增大的非單調特點，在長細比的變化范圍內，出現極大值和極小值；而氣-膜耦合作用對極限承載力的影響隨長細比的增加先減小后增大，僅存在極小值。

(3) 端部約束類型對氣膜耦合作用有重要影響，一端固定一端簡支情況下氣-膜耦合作用最強，而兩端簡支條件下氣-膜耦合作用最弱，兩端固定約束情況下氣-耦合作用略大于兩端簡支的情況。

(4) 氣-膜耦合作用對褶皺臨界荷載的影響隨軸向荷載的變化呈現增大→減小→增大→減小的非單調特點，在軸向荷載的變化范圍內，出現兩個極大值和一個極小值；氣-膜耦合作用對極限承載力的影響隨軸向荷載的增加先增大再減小然后又繼續增大，出現一個極大值和一個極小值。

氣-膜耦合作用對充氣薄膜管的力學行為具有顯著影響。考慮氣-膜耦合作用得到的褶皺臨界荷載和極限承載力與相同情況下不考慮氣-膜耦合作用的計算結果相比，最大差值分別為50%和87.5%，只有個別情況下兩者的結果差異小于5%。因此，在充氣薄膜管的有限元分析中，均應考慮氣-膜耦合作用的影響，這樣才能準確反映其力學行為。本文的研究成果有助于提高充氣薄膜管計算分析的精確性，從而保證其設計的合理性和可靠性。