通過數學實驗培養學生數學抽象素養*
——以蘇科版“數學實驗室”欄目素材為例

程 花

(徐州市第三十四中學 221008)

數學實驗是一種探究性實踐活動，是學生通過動手動腦、以“做”為支架的數學教與學的活動方式[1].《義務教育數學課程標準(2011版)》指出，數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志，數學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數學學習活動過程中逐步積累的[2].學科素養是在學科活動中形成的，開展數學實驗教學，對于學生適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力的培養有著獨特的教育價值.因此，數學實驗是開展學科核心素養落地教學的重要載體.

史寧中教授認為數學抽象是數學的基本思想，數學抽象是舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程，它主要包括從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系；從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征.數學實驗所呈現的是原汁原味的數學現象，其目的是發現結論、解決問題，它是在認知與非認知因素參與下進行的發現結論、驗證結論的數學活動.同時，數學實驗是學生動手動腦的具身活動，學生在實驗感悟中體驗“做”數學的樂趣，感悟數量關系中的規律，從操作中感悟物體的空間關系，發展空間想象，完成從物體到圖形，從圖形到數學符號、數學結論的抽象過程.可見，數學實驗的過程本身就是數學抽象能力發展的過程，數學實驗活動是發展學生數學抽象素養的重要載體.通過理論思考和實踐探索，我們認為，通過數學實驗培養學生數學抽象素養的舉措主要包括以下方面.

1 通過數學實驗直觀的“做”發展學生數學抽象素養

初中學生形象思維相對較強，而許多數學概念、結論是比較抽象的，非常不利于學生的理解.數學實驗是通過動手動腦的“做”數學活動，是學生主動參與、積極動手動腦的數學活動，是1個學生“做”——在“做”中感受與體驗——主動獲取數學結論的活動過程.在概念學習和結論活動的教學活動中，教師設計數學實驗活動，通過直觀的“做”，將抽象的概念、結論通過具體化的教學活動呈現，實際上，數學實驗與被抽象和加工之后的習題練習相比，數學實驗呈現的是原汁原味的數學現象，學生在數學現象的體驗中，找到數量與數量關系之間的一般規律與結構，形成數學結論的過程，是一次從具體到抽象的過程.

江蘇科學技術出版社出版的初中教材《數學》(以下簡稱蘇科版《數學》)七年級上冊在“2.5有理數的加法與減法”中設置了“數學實驗室”欄目，該欄目的設置目的是幫助學生在數學實驗中歸納、概括出有理數的加法運算規律.具體內容是：1.把筆尖先放在數軸的原點，然后沿著數軸向左移動5個單位長度，再向右移動3個單位長度，這時，筆尖停在“-2”的位置上.用數軸和算式可以將以上過程及結果分別表示為：

實驗中，“向左移動5個單位長度”和“向右移動3個單位長度”就是一次物理背景的抽象，這里用“左”、“右”表示意義相反的量，實現了一次“數”到“數量”的抽象，兩次連續運動后筆尖停留在的位置，實現了一次“數量”關系到“加法運算”的抽象.教師在實驗教學中，從一次實驗過程的演示，到學生多次實驗的操作，從嘗試每一次實驗過程，到用算式表達實驗的過程與結果，實際上也是一次“特殊到一般”的思維發展，是實現“單一”到“一類”的歸納，實現“若干個事物的共同屬性”的歸納，實現數學抽象的逐次逐級提高的過程.教學中，從體驗數學實驗的物理屬性“筆尖的調動”，得到數學研究對象“有理數的加法運算法則”的過程中，學生的思維發展經歷了數量與數量關系的抽象，事物的具體背景到一般規律的抽象，數學術語對數學現象的表征.反映了數學抽象的高度概括性和結論一般性，學生從實驗活動中，也體驗到了數學抽象的層次發展過程：直觀描述到數學符號表征.在直觀的“做”數學中，實現發展數學抽象能力.

2 通過數學實驗抽象的“思”發展學生數學抽象素養

數學實驗是指在一定的數學思想、數學理論的指導下，經過某種預先的組織、設計，借助于一定的技術手段，進行數學化實際操作，包括對客觀事物的數量化特性進行觀察、抽樣、測試、逼近、仿真等，進而解決數學和科學問題的一類科學研究方法[3].具體來說，中學數學實驗則是借助一定的工具，在數學化的思維指導下，通過實際操作開展的數學實踐活動.在數學實驗中，從動手動腦的操作到符號、數學術語等數學化思維的過程，實際上已經完成了問題的數學抽象，從直觀的操作、觀察表象層面，演化到事物本質屬性的數學問題思考，呈現的是思維發展從“物”到“形”的抽象思考過程.從數學實驗呈現出的事物表象(包括物理背景，自然語言的表達)到數學問題(數學符號數學術語)表征，這是一次數學抽象思維的過程，實驗所呈現的數學問題表象出的特殊性屬性到事物共同的一般特性的發現，完成的是數學抽象由淺及深的層級發展，數學實驗的過程為人的思維發展從具體都抽象再到概括，又回到具體的不斷提升、循環發展提供了物質載體，學生的數學抽象素養在數學實驗抽象的“思”中得以提升.

蘇科版《數學》九年級下冊在“6.7用相似三角形解決問題”中設置了“數學實驗室”欄目，該欄目設置的目的是通過數學實驗活動，探索在平行光的照射下，不同物體的物高與影長之間的關系.

實驗：在學校操場上分別豎起長度不同的甲、乙、丙三根木桿，在同一時刻分別測量這三根木桿在陽光下的影長，并將有關數據填入下表：

木桿木桿長度桿影長度木桿長度桿影長度甲乙丙

通過觀察、測量，你發現了什么？請與同學交流.

事實上，教材中的數學實驗觀察、測量、交流就完成了數學結論的抽象歸納.事物本質屬性的發現應該始于抽象的“思”，終于表象的“理”，為此，該數學實驗還需要在數學抽象的發展中繼續做深入研究.我們可以繼續引導學生，再從特殊到一般的數學抽象中繼續延伸到數學理論的抽象，引導學生深入思考“如何用數學推理的方式說明，同一時刻，不同物體的物高與影長成比例？”，引導學生通過理論推理論證發現的結論，再次從“物”到“形(用相似三角形解決問題)”的抽象思考.由此可見，從數學實驗直觀的“做”，到抽象的“思”，數學實驗對學生數學抽象素養的發展發揮著獨特的作用.

3 通過數學實驗引導學生學會數學抽象的方法

學生的數學核心素養是在掌握數學知識的基礎上，在數學活動中逐步形成的.數學抽象有四個表現：形成數學概念和規則，形成數學命題和模型，形成數學方法與思想，形成數學結構與體系[4].我們認為，從數學實驗活動的呈現到數學抽象的形成，可以按照如下框架引導：

例如，蘇科版《數學》在七年級下冊“7.4認識三角形”中設置了以下“數學實驗室”欄目：從長度分別為3cm、4cm、5cm、6cm和9cm的小木棒中任意取3根，能否搭成一個三角形？試一試.

根據上述框架，教學過程如下：

辨別：有長度的小木棒.

分化：小木棒的長度對搭三角形有影響.

抽象：長度不等的線段.完成一次數學抽象.

抽象：構成三角形的三條線段，與線段的長度有關.完成一次數與形的抽象.

概括：不是任意的小木棒都可以搭成三角形，當兩條線段的長度小于或等于第三條線段時，小木棒就不能首尾相接.

抽象：兩條線段的長度之和大于第三條線段時，三條線段可以構成三角形.

概括：三角形兩條邊的和大于第三邊.a+b>c.

在教學中，學生實驗要經歷失敗與成功的對比，在反復的操作“試錯”與“成功”的操作對比中，從操作“物”到反思“數”，從對比“數”到符號化概括“形”中，體驗數學實驗到數學抽象的發展.在實驗活動中，教師按照思維的發展特點引導學生的數學抽象素養逐級發展，真正實現數學實驗在數學思維活動的參與下，開展數學思考活動的目的.

4 通過數學實驗引導學生在概括中提升數學抽象能力

概括是把抽象出來的若干事物的共同屬性歸結出來進行觀察的思維方法，概括涉及一類對象[5].概括是從多個對象的考察中，尋找共同的相同屬性，思維本質上是一種尋求共性.一般來說，學生的概括能力越強，總結出的結論就越深刻，越明確.概括水平直接反映學生對數學知識本質的認知程度.數學實驗為學生發現并概括事物的本質屬性提供了學習直觀印象，在數學實驗活動中，培養學生的概括能力，在概括中領悟特殊到一般的數學化思維，是培養學生數學抽象素養的有效策略.

例如，蘇科版《數學》八年級上冊在“5.2平面直角坐標系”中設置了“數學實驗室”欄目，活動內容是：通過學生操作，把一些簡單圖形置于平面直角坐標系中，進行圖形的平移、翻折運動，引導學生用點的坐標來描述運動后圖形的位置，探索運動后的圖形與原來的圖形的對應點坐標的關系.

實驗1：在平面直角坐標系中，依次連接以下各點(最后一點不再與其他點連接)，將得到一個怎樣的圖形？(0.5, 4)，(0， 0)，(1， 3)，(2， 3)，(3， 2)，(3， 0)，(1， -1)，(2， -1)，(1， -3)，(0， -1)，(-1，-3)，(-2， -1)，(-1， -1)，(-3， 0)，(-3， 2)，(-2， 3)(-1， 3).(0， 0)，(-0.5， 4).

學生通過在平面直角坐標系中描出多個點的坐標，連接各點，對照圖形中各點的關系，對照圖形形狀，建立“坐標”到“點”，“點”到“圖”的數學抽象，在教學中，教師引導學生思考“圖”的對稱反映出“點”的對稱，“點”的對稱反映出“坐標”的對稱之間關系，進而引導學生抽象概括，發展從特殊到一般，從一般到特殊的數學抽象素養.

實驗2：觀察所畫圖形，填空：

(1)點(1， -3)關于x軸對稱的點的坐標為，關于y軸對稱的點的坐標為；

(2)點(-1， 3)關于x軸對稱的點的坐標為，關于y軸對稱的點的坐標為；

(3)一般地，點P(a,b)關于x軸對稱的點的坐標為，關于y軸對稱的點的坐標為.

這個實驗是典型的特殊到一般思維訓練過程.學生從一個點的對稱，考察多個點的對稱，從這樣多個考察對象中發現共同特征，通過數學化概括出平面直角坐標系中，點的對稱的一般特征.其中，學生對多個點的坐標變換歸納(多個考察對象)抽象出變換后點的坐標規律(共同數學屬性)，得出一般性結論并用數學符號加以表達.實驗活動中，學生在操作中感知，在感知中概括，在概括中感悟特殊到一般的發展，學生的數學抽象能力逐步升級，數學實驗為學生的數學抽象能力發展提供了物化載體.數學實驗場景中的操作、觀察、對比，為概括思維提供了形象化表達素材，學生在概括化表達中，體驗思維特殊到一般的發展過程.

5 通過數學實驗引導學生在比較分析中提升數學抽象能力

比較分析是常用的數學方法，是通過對多個考察對象的對比，分析找出事物的一般性規律或獨特性特征的研究方法.在數學實驗中，事物呈現的特征可能是多樣的或不明確的，教師通過引導學生對比分析，尋找事物的本質屬性，用數學的眼光觀察事物，并且用數學語言(數學符號、數學術語、幾何圖形等)表達事物，形成數學結論，從而提升學生的數學抽象.

例如，蘇科版《數學》七年級上冊在“4.3用一元一次方程解決問題”中設置了以下“數學實驗室”欄目：準備一本月歷，兩人一組游戲：(1)在月歷的同一行上任意圈出相鄰的5個數，并把這5個數的和告訴同學，讓同學求出這5個數；(2)在月歷上任意找出一個數以及它的上、下、左、右的4個數，把這5個數的和告訴同學，讓同學求出這5個數.

在實驗中，教師引導學生比較分析月歷的特征：左右相鄰的數字之間，上下相鄰的數字之間分別有怎樣的關系，通過比較分析，學生發現月歷中的數字規律，對于月歷的直觀描述抽象比較容易.接著，教師引導學生從月歷的直觀表象中，將比較分析的規律用字母抽象，從“數”到“字母”的抽象，再通過字母表達出比較分析出的相鄰數字規律，完成“字母”到“代數式”的抽象，通過代數式表達5個數的和，抽象出“和”的一般規律.在這個過程中，教師引導學生在比較分析中完成數學抽象的逐級、逐步提升.

學科素養是在學科教學活動中形成的，是學科課程標準的集中體現.數學實驗具有情境性和體驗性特征，這些特征決定了數學實驗是教師講授和學生刷題無法替代的教學活動和學習方式，決定了數學實驗是培養學生數學抽象素養的重要載體.