數學概念深度教學須“五理解”①
——以人教版“一次函數”為例

潘 超

(重慶第二師范學院數學與信息工程學院 400065)

數學概念是數學的基本單元，數學概念教學是數學教學的重要內容，其成效直接影響到學生數學學習的效果.部分教師在數學概念教學中經常出現忽視課標(1)《義務教育數學課程標準(2011年版)》，簡稱“課標”.要求[1]、忽視教材意圖[2]、忽視概念本質[3-4]、忽視學生現實[5]、忽視教學程式等現象[6-9].這些現象直接導致了學生對概念的理解不夠透徹或偏頗，對概念內涵和外延不能抓住本質，教學活動處于表層狀態.為了消減這些現象，提高數學概念教學實效，教師須借助有利于概念形成的活動情境，帶領學生超越概念學習的感性認識層面，進入數學概念的內在邏輯系統和意義領域，挖掘概念內涵和外延，實現數學概念對學生發展的價值[10],由此我們呼吁，數學概念教學要從表層教學走向深度教學，即要從符號教學走向概念邏輯體系和意義教學的統一，形成教育數學邏輯語境下的相對完備體系，也即教師在數學概念教學上須達到深度教學狀態.而要做到這一點須在課標要求、教材意圖、概念本質、學生現實、教學程式等方面做到深度理解.

1 深度理解課標要求

課標是通過多領域專家發揮集體智慧在實踐總結的基礎上對課程的性質、理念、目標、內容、教學實施等方面進行研制，符合國家教育方針和當前教育背景和需求的綱領性文件.課標對各項內容的描述都很精當，為一線教師開展概念教學帶來重要的指導和參考意義.教師在數學概念教學中要達到深度教學狀態須對課標達到較高的理解層次，并且教師除卻對課程理念、目標等一般性方面達到深度理解外，還應對概念內容在宏觀上的定位達到深度理解.以“一次函數”為例，從課標內容來看，對它的要求有六點直接的描述[11].這六點要求包含了一次函數的意義、解析式、圖象等主體內容，引出了求解析式的待定系數法，也包含了已學內容和后續內容的關聯，此外，還包含了一次函數解決簡單實際問題的應用拓展.通過梳理課標中的目標及課程內容的邏輯結構，可以得到“一次函數”的概念體系，我們可以用如下的“十字模型”來表達(圖1).

圖1 初中階段“一次函數”的概念體系

課標要求為教材編寫和教學內容的安排提供了指南.對“一次函數”的課標要求達到了深度理解，教材編寫和教學實施中就明確了哪些內容與一次函數在邏輯先后上有緊密的聯系，在主體內容的安排上就厘清了重難點，有利于落實課程的基本目標，從而抓住各項課程內容之間的實質性聯系.

2 深度理解教材意圖

教材內容是按照順序性、連續性、整合性等規則組織的，順序性確保內容的邏輯科學，連續性確保核心概念的連貫與重現，整合性確保學科知識間的關聯，理解教材需要考慮縱向與橫向、邏輯與心理、直線與螺旋等錯綜復雜的關系[12].數學概念深度教學須對教材中的這些關系達到深度理解的程度，并處理好各種關系.理解教材除了要理解內容外，還要更多的理解教材(編排)意圖，即大力開發“浮于水面的冰山”之“水下部分”[13].理解教材意圖是“教教材”和“用教材教”的前提，而從“教教材”到“用教材教”又是理解教材到吃透教材，再到超越教材的過程，這個過程一定程度上反映出理解教材意圖的深度[14].只有深度理解教材意圖，教學活動才不會偏離教學目標，真正實現學生知識技能、數學思考和情感態度價值觀的共同發展[15].從聚焦教材內容的層次來看，理解教材意圖既要從宏觀上把握教材體系的結構、主線，從中觀上要明晰教材內容呈現的方式、邏輯思路等，從微觀上把握知識點的具體表征方式、內容，以及所涉及的思想方法等[16].就數學概念教學而言，厘清一節數學概念課的教材意圖可以從三個基本問題進行展開，即弄清概念關于“是什么”、“為什么”和“怎么樣”的問題.

2.1 弄清概念“是什么”問題

弄清概念“是什么”問題是指弄清概念表征過程中涉及的文字、符號、圖表等表達了什么信息.一般來說，概念的表征包括文字表征、符號表征、圖形表征、操作表征等多種形式，弄清概念的“是什么”就要弄清概念的表征內容、表征形式、前后順序等.“一次函數”在人教版教材上是第19章第2節第2部分內容.“一次函數”是繼“正比例函數”后安排的內容，涉及的內容欄目包括“問題”“分析”“思考”“定義”“練習”“例題”“探究”等，主要呈現“一次函數”的引例、定義、解析式、圖象、性質，以及涉及的方法等，呈現的形式包括文字、符號、式子、圖表.

2.2 弄清概念“為什么”問題

弄清概念“為什么”問題是指挖掘教材在表征概念過程中為什么要表達某些信息.這往往需要讀者認真閱讀、思考、研究，才能弄清的隱含內容，主要包括教材的背景，數學知識的背景，課標的理念，教育學、心理學原理，教學的程序，以及教學的方法、手段等.弄清概念“為什么”問題能更好地全面理解教材中概念知識，為教學設計及課堂教學實施提供參考.“一次函數”在人教版教材的安排上主要體現了如下幾點意圖：第一，體現數學建模的思想，按邏輯構建知識網絡.“一次函數”概念的呈現過程是數學建模的過程，經歷從特殊到一般，從具體到抽象，從文字表達到符號表達的過程；第二，多視角刻畫“一次函數”，突出函數本質.具體體現是：在“引例”中建立感性認識，形成概念表象；在“思考”中抽象特征，突出本質；在“練習”中變式強化，明確外延；在“例題”中建立模型，探究性質.第三，創設情境，實現概念的自然生長.教材中運用了“登山隊員所處海拔與氣溫關系”引出概念，通過“蟋蟀鳴叫與溫度的關系”、“成人標準體重與身高的關系”、“城市電話收費與通話時間關系”、“長方形面積與邊長變化關系”深入認識變量，并建立變量之間關系，得到解析式特征，在此基礎上歸納定義，這些情境涉及生物學規律、生理學規律、生活中的規律、幾何學中的規律，其后還涉及到物理學、經濟學中的規律.

2.3 弄清概念“怎么樣”問題

弄清概念“怎么樣”問題是指綜合性地分析和統整教材中的概念體系，判斷體系結構、呈現方式與學生素質提升的關系，評判其價值怎么樣？以及教材的屬性與學生需要的價值關系能否以觀念的形式呈現出來？經過有目的、有針對性、有比較地分析教材后，從教材的各個維度作出評估，為后續教材處理過程提供全面信息和充分的處理依據.“一次函數”在教材上基于呈現的內容和方式，很好地架構了概念邏輯思路，為學生深化理解函數概念和認清一次函數本質做好鋪墊.如圖2所示，一方面從某些現實問題中變量之間的練習通過建立數學模型的方法，借助上位概念(函數)引出下位概念(一次函數)；另一方面，通過一次函數的應用認識現實問題之間存在的一些聯系，反映數學應用的廣泛性和刻畫世界規律的深刻性.這兩個過程是“用數學的眼光觀察世界”“用數學的思維思考世界”以及“用數學的語言表達世界”的體現.此外，教材總體設計上，把握了從“形”和“數”兩個維度來學習“一次函數”，并且揭示了兩個維度的關聯性.

3 深度理解概念本質

數學概念是數學理論的核心和精華，是反映客觀事物關于空間形式和數量關系的本質屬性的思維形式.一個概念所反映的對象的本質屬性的總和稱為這個概念的內涵，所反映的對象的總和稱為這個概念的外延[17].概念的內涵和外延是概念的兩個基本特征，深度理解數學概念本質上就是理解概念的內涵與外延，能清楚數學概念的來龍去脈，善于區分體現核心概念和思想方法的本原性問題與無關數學本質的“細枝末節”的問題，具備將數學知識的學術形態轉化為有利于學生理解和消化的教育形態的能力和“技術”[18]，而要做到這樣程度，就需要抓住有關概念的以下要點.

3.1 領會概念內涵與外延的科學范疇

深度理解概念本質需要首先明確在什么樣的數學體系中來認識和研究該概念，這說明數學體系(本質上是基于學生認知結構水平下的知識體系)對概念學習具有制約性.“一次函數”是在義務教育階段的學習內容，屬于初等數學科學知識范疇，因此，我們要從本階段數學自身的特點來認識“一次函數”概念及相關知識，是基于“變量對應”觀下的函數概念基礎上學習的概念，既不是小學階段數量角度來學習的概念體系范疇，也不是高中階段集合論和映射角度來學習的概念體系范疇.“一次函數”是最基本的常見函數，其內涵刻畫的是兩個變量之間存在的某種特定的函數關系.

3.2 領會概念的定義結構和定義方式

概念的定義是準確揭示一個概念的內涵或外延的邏輯方法.任何定義都由被定義項、定義項、定義聯項三部分組成[17]，領會定義的結構有利于促進對概念本質理解；揭示內涵的定義稱為內涵定義，明確外延的定義稱為外延定義.數學概念的具體定義方式主要包括描述式、屬種式、發生式、關系式、外延式、遞歸式、約定式等若干種.教材中，“一次函數”的定義是：形如y=kx+b(k,b是常數，k≠0)的函數，叫做一次函數.該定義結構中，“一次函數”是被定義項，“形如y=kx+b(k,b是常數，k≠0)的函數”是定義項，“叫做”是定義聯項.這是采用“屬種式”定義的概念.函數是其“屬”概念，具有y=kx+b(k≠0)的解析式是其“種差”概念.

3.3 領會概念內涵與外延的相稱性與反變關系

概念描述的內涵與外延必須相互匹配，這就是相稱性.在理解概念過程中，要防備學生對概念外延理解“過寬”或“過窄”現象.“一次函數”定義后安排的三個練習題的本質就是讓學生對“一次函數”的內涵與外延在理解上的匹配，做到概念辨析的準確性；概念的限定和概括是明確概念內涵和外延的邏輯方法，正確運用概念的限定和概括，不僅有利于數學概念體系的形成，還有助于深刻理解數學概念的內在聯系和本質區別.“一次函數”的概念教學本質上是一個概念的限定和概括問題，因此，教師領會概念或者引導學生理解概念時，要講清內涵和外延，既不能增加屬性來描述，也不能減少屬性來描述，在適當的時機，教師可以通過舉正例和反例來強化概念屬性.

3.4 領會概念間的邏輯關系

數學概念不是孤立存在的，許多數學概念之間或這些概念的要素之間有廣泛的聯系，形成了一個概念域.概念間的關系依據概念的內涵與外延的關系可以分為相容關系(同一關系、屬種關系、交叉關系)和不相容關系(對立關系、矛盾關系)[17].學習數學概念，必須用分類、對比、舉反例等方法揭示概念間的內在聯系，掌握一定范圍內的一大套概念[19].“一次函數”一節中主要涉及函數、一次函數、正比例函數等概念，它們兩兩是屬種關系，一次函數與方程(組)、不等式雖然不是屬種關系，但它們之間存在內在的邏輯關系.為此，教材專門安排了一節內容，從函數的角度去研究方程、不等式，也用方程、不等式的方法去解決函數的問題，體現函數與方程(組)、不等式的互相聯系.

此外，深度理解數學概念，還要理解概念的不同表現方式(或表征方式)、概念的形成過程，以及所涉及的數學思想和方法等.

4 深度理解學生現實

數學概念深度教學需以理解學生現實為前提.學生現實包括生活現實、數學現實和其他學科現實.

4.1 理解學生生活現實

初中學生的生活現實為數學學習提供了生動的背景和廣闊的資源，初中生在學習中能自覺關注來源于自然、社會中的現象和問題，對有一定挑戰性的內容表現出興趣.“一次函數”在生活中有一定的認識基礎，它不是完全超驗性的，但“一次函數”仍然是一個抽象性的新概念，學生在學習這個新概念時容易在認知上引起誤解.教師要充分衡量教材中涉及的幾個實例(海拔與氣溫、蟋蟀鳴叫與溫度、體重與身高等的關系)是否能與學生的認識相對接，如果能進行對接，則充分挖掘素材中的教育價值，如果不能對接，則在領會教材意圖基礎上，根據學生實際情況創設更為貼近學生生活現實的例子來實施教學，以使概念的生長基于情境的土壤，同時，也使學生感受到數學的價值和趣味.

4.2 理解學生數學現實

學生的數學現實就是學生所積累的數學知識和方法，為進一步學習數學提供了依據.教師理解學生數學現實就是理解學生已有的知識基礎和方法基礎，尤其把握教材與已有基礎的落差，保障教學實施的針對性.[20]概念教學中，理解學生數學現實需要深度分析知識系統與能力系統兩個層面，這有利于學生更好地理解所學概念的內涵，更好地揭示概念間的內在關聯，有利于從整體上理解數學和構建數學認知結構.“一次函數”概念相對變量與函數概念而言是比較簡單的概念，從教材體系來看，“一次函數”是安排在變量與函數、正比例函數之后的內容，學生學習它時已初步掌握了用解析式、表格式和圖象式來刻畫函數的方法，具備了必要的知識基礎和方法基礎.

4.3 理解學生其他學科現實

學生的其他學科現實也是學生現實的一部分，數學中的許多內容本身與其他學科之間有密切的聯系，教師深刻理解學生的其他學科現實有利于創造數學應用廣泛空間，讓學生認識到數學的學習并不是孤立的.

5 深度理解教學程式

數學概念的教學具有一定的科學程式，遵循學科知識生長邏輯，遵從學生認知規律和心理發展要求，遵從教育教學原理等.只有深刻理解概念教學的基本程式才能科學設計教學活動，教學實施才可能達到一定深度.數學概念學習一般要經歷概念的引入、概念的獲得、概念的應用等基本程式，在這幾個過程中，概念的獲得是最重要的[21].心理學研究表明，概念的獲得有兩種方式，即概念的形成與概念的同化[22].由此，數學概念的獲得也對應兩種方式，即數學概念的形成與數學概念的同化[23].數學概念形成就是讓學生從大量同類事物的不同例證中發現同類事物的本質屬性，從而形成概念的過程.因此，數學概念的形成實質上是從一類數學對象中抽象出其共同本質屬性的過程.數學概念同化是利用學生認知結構中的原有概念，以定義的方式直接向學生揭示概念的本質屬性.前者強調以學生的直接經驗為基礎，用歸納的方式抽取出一類事物的共同屬性，從而達到對概念的理解，后者則以學生的間接經驗為基礎，以數學語言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念[24].簡言之，概念形成是從具體實例出發的，以歸納的思維來形成新概念.而概念同化則是從抽象定義出發，以演繹的思維方式理解和掌握新概念[25].以上兩種概念的獲得方式都經常單獨使用或融合使用，選用的方式本身并無優劣之分.只是由于初中生的年齡、認知水平的特點，數學認知結構比較簡單而具體，數學知識比較貧乏，在學習新的數學知識時，能作為同化新知識的已有知識較少，相對而言，概念形成方式使用得多一些[26].下面，我們嘗試融合使用兩種方式對“一次函數”概念的獲得程式進行設計，見圖3.

圖3 “一次函數”概念的獲得程式

5.1 辨別實例，概括屬性

從情境中抽取關系式，比如由登山隊員所處海拔與氣溫關系得到的解析式：y=5-6x，以及其它幾個解析式：c=7t-35(20≤t≤25)；G=h-105；y=0.1x+22；y=-5x+50(0≤x≤10).對上述關系式進行“個別地看”，即逐個分別進行觀察，概括每個式子具有的屬性，為認識一次函數建立表象.

5.2 抽象本質，提出定義

通過更為“一般地看”上述解析式，從中進一步抽象出本質屬性，去除非本質屬性，引導學生認識到這些式子本質上表達的是具備一定特征的函數關系，這個特征就是：“常數k與自變量的積與常數b的和的形式”，然后從數學角度提出定義，給出名稱、符號等.

5.3 聯系舊知，辨析概念

使新概念與已有認知結構中的概念建立聯系，將新舊概念進行“比較地看”.教學時，則可以新舊概念對比講，復雜概念分為簡單概念講，難懂的概念正反兩面講，以及舊概念新角度講等[5].本程式中，可以把一次函數與函數、一次多項式、正比例函數等概念進行辨析，勾畫關鍵詞，對比概念的內涵、外延等，認識到一次函數與這些概念的聯系與區分.

5.4 強化應用，明確外延

在基本明確概念內涵的基礎上，通過設置有針對性、典型性、梯度性的例題、習題開展“應用地看”，即從應用中進一步強化概念的認識，特別是應用中舉出正例、反例來明確概念外延，除了教材上的練習題外，還可以舉出判斷是否是一次函數的例子：y=x+1,y=-x+b,y=0,y=1，y=-x，y=x2，ay=x-3(a≠0)，要求學生說出判斷的理由，并對照定義中的解析式指出常數.

5.5 融合概念，形成整體

當學生通過“應用地看”后，并不意味著它們就獲得了概念，還應當把新概念納入到相應的概念體系中，對新概念開展“整體地看”，即從整體上再認識概念，做到概念的融會貫通，使之成為概念體系中的一個重要節點.“一次函數”概念教學在本程式中的實質就是形成概念圖式，或者生成“一次函數”的整體和局部上的思維導圖.要求學生能表達出“一次函數”的定義、解析式、圖象、性質等，甚至能根據“一次函數”的某個特征，提供有關“一次函數”的一切特征，也能表達出“一次函數”在函數概念體系，乃至代數知識體系中的定位，包括與其它概念的區分和聯系，從而實現對“一次函數”概念從宏觀和微觀上的融會貫通.

以上“五看”可以看成是概念獲得的認知連續體，每一個階段都是不可或缺的，也是不能逾越的，前一個階段是后一個階段的基礎，而后一個階段是對前一個階段的超越[27].