坐標概念的歷史與橢圓方程的發展*

張 紅 王 軍

(四川師范大學數學科學學院 610068)

平面解析幾何主要以圓錐曲線為中心內容，英國C.Smith(1844-1916)的Conic Sections本意為圓錐曲線，日本原濱吉將之譯為解析幾何學(1)(日)原濱吉.解析幾何學講義[M].東京：金刺芳流堂，1909：1,清末顧澄也譯為解析幾何學(2)(英)Smith原著，顧澄譯補.高等教育解析幾何學.第一冊[M]，北京:北京作新社發行，1907：3.橢圓又是圓錐曲線的重要組成部分.從歷史上看，圓錐曲線在教科書中有兩種編排順序：橢圓到雙曲線再到拋物線，及拋物線到橢圓再到雙曲線.清末民國時期，兩種順序均出現在我國的解析幾何教科書中，但以后者為主.商務印書館、中華書局等自編或翻譯的多種教科書，其中圓錐曲線的編排順序就是拋物線到橢圓再到雙曲線.1949年以后人教版的高中教科書圓錐曲線的編排順序采用前者，即橢圓到雙曲線再到拋物線，并且教科書采用橢圓的第一定義，以此推導出橢圓的標準方程.本文以古希臘、中世紀、近現代為時間軸，討論坐標雛形到坐標體系的完善過程，及橢圓定義從原始定義、第二定義、到第一定義的發展過程.在此基礎上，分析了橢圓方程從文詞敘述、符號引入到現代標準形式的演變過程.

1 坐標概念的起源與發展

“坐標系”是近代解析幾何形成的基本要素.坐標概念經歷了古希臘到近現代直至18世紀的漫長發展過程，在圓錐曲線的研究中，一直都扮演著重要角色.

1.1 坐標概念的雛形

坐標概念的雛形產生于古希臘以前，至于確切的開始，歷史學家們持有不同的意見(3)Ruth M Tapper.coordinates in the histrory of mathematics[J]. Peoria:school science and mathematics.1929(7)：738—744.至少，坐標思想可以上溯到古埃及時期.埃及人采用劃分地面區域的辦法(4)梁宗巨.世界數學史·下冊 [M].沈陽：遼寧教育出版社，2005:141，已經蘊含坐標概念的萌芽.希臘的希帕霍斯(Hipparchus，公元前180～125) 也曾用經度和緯度表示恒星在天球上的位置.古希臘學者一般采用圓錐曲線的直徑、切線等表達坐標軸的概念.阿基米德(Archimedes, 約公元前287～212)曾用直徑和切線表述橢圓的性質，阿波羅尼奧斯(Apollonious，約公元前262～公元前170)的《圓錐曲線論》中，相當于現在的“縱坐標”通常指的是直徑末端的切線(5)Ruth M Tapper.coordinates in the histrory of mathematics[J]. Peoria:school science and mathematics.1929(7)：738—744.阿波羅尼奧斯甚至引用了兩條正交直線(6)梁宗巨.世界數學史簡編 [M].沈陽：遼寧人民出版社，1980:202，實際上已經意味了“坐標系”思想的萌芽.羅馬時期的實際生活中，就出現了直角坐標和斜坐標的混合使用.羅馬人在城市設計中，將羅馬的城鎮分布在兩個軸線上.相比古希臘時期無意識地使用坐標，羅馬時期實際上是有意識的運用了坐標思想(7)Ruth M Tapper.coordinates in the histrory of mathematics[J]. Peoria:school science and mathematics.1929(7)：738—744.

1.2 坐標概念的形成

從古希臘到中世紀，坐標概念取得了顯著的進展.十四世紀，法國數學家奧雷姆(Oresme，1320～1382)不僅將經度和緯度分別對應縱坐標和橫坐標，并用系統化的術語和部分廣義的形式開始定義直角坐標系(8)Ruth M Tapper.coordinates in the histrory of mathematics[J]. Peoria:school science and mathematics,1929(7)：738—744.他所陳述的坐標幾何，標志了從天文、地理坐標到近代坐標幾何學的抽象和過渡，他的坐標思想對現代坐標的建立邁出了決定性的一步.奧雷姆的《論質量與運動的結構》(約1350)等書在1482—1515年間重印了多次，影響了文藝復興以后包括笛卡兒在內的學者，在這個意義上，奧雷姆可以稱為解析幾何的先驅.在奧雷姆之后，法國數學家笛卡兒(Descartes，1596～1650)和費馬(Pierre de Fermat，1601～1665)受韋達(Viète，1540～1603)等學者代數符號體系的影響，將坐標法系統運用于幾何中，開啟了符號體系下幾何問題代數化和代數問題幾何化的兩個途徑,實現了曲線和方程的一一對應，創立了解析幾何學，笛卡兒和費馬也被稱為解析幾何的創始人.

雖然“坐標”的雛形在古埃及時期就已有之，但是，“坐標”(coordinata) 這一名詞，直到1692年才由德國數學家萊布尼茲(Leibniz，1646～1716)首先創用(9)Ruth M Tapper.coordinates in the histrory of mathematics[J]. Peoria:school science and mathematics,1929(7)：738.“縱坐標”在1694年為菜布尼茲所正式使用，而“橫坐標”到18世紀才由法國數學家沃爾夫(Christian von Wolf, 1679～1754)等人引入(10)梁宗巨.世界數學通史簡編 [M].沈陽：遼寧人民出版社，1980:201.

2 古希臘橢圓方程的肇始

圓錐曲線的研究，始于古希臘三大幾何問題中的倍立方問題(11)白尚恕. 圓錐曲線小史[J].數學通報，1964(4)：36-41，希臘時期著名數學家均有所涉獵和建樹，并影響到近代解析幾何的創立.

2.1 橢圓的原始定義

公元前4世紀，古希臘學者蒙愛啟馬斯(Meneachinus，約公元前 375～325 )發明了圓錐曲線(12)F.Cajori.初等算學史[M].曹丹文,譯.上海：商務印書館，1925：55，他是系統研究圓錐曲線的第一人(13)梁宗巨.世界數學史簡編 [M].沈陽：遼寧人民出版社，1980:109.據蓋米諾斯(Geminus,約公元前70)記載，古希臘數學家是用旋轉直角三角形(圍繞著一條直角邊)來產生圓錐面，不動的直角邊叫做軸，斜邊叫做母線(14)Apollonious.圓錐曲線(V-VII)[M].朱恩寬,等,譯. 西安：陜西科學技術出版社，2011：3.這樣旋轉而成的圓錐就是直圓錐.蒙愛啟馬斯用垂直于直圓錐一條母線的平面，分別去截頂角為直角、銳角和鈍角的直圓錐,得到了三種不同的圓錐截線.其中截銳角圓錐所得的截線稱為“銳角圓錐截線”，這種截線就是現在的“橢圓”.“銳角圓錐截線”是最早對橢圓的稱謂，這就是橢圓視為圓錐截線的原始定義的由來.

希波克拉底(Hippcocrates 公元前460年前后活動于雅典)把倍立方問題歸結為在線段a和2a之間插入兩個等比中項x,y的問題(15)梁宗巨.世界數學史簡編 [M].沈陽：遼寧人民出版社，1980:109-110.用現代符號語言表述，即是蒙愛啟馬斯認識到，a:x=x:y=y:2a與x2=ay或y2=2ax以及xy=2a2相當，由此導致圓錐曲線的探討.但是，由上述比例式無法導出橢圓.希臘天文學家、數學家和地理學家埃拉托色尼(Eratosthenes，約公元前276～195)認為，蒙愛啟馬斯的三類曲線，實際上只有兩類圓錐曲線，即拋物線(x2=ay或y2=2ax)和等軸雙曲線(xy=2a2).

盡管蒙愛啟馬斯沒有用到橢圓，但在圓錐曲線中，橢圓應該是最早被發現的(16)汪曉勤,韓祥臨.中學數學中的數學史[M].北京：科學出版社，2002: 172.希臘人很早就知道，圓柱或圓錐被平行于底面的平面截得的截線是圓.平面不平行于底面時的截線自然也就引起希臘人的注意.希思(T.Heath,1860～1941)認為：蒙愛啟馬斯完全可以用同樣的方法獲得橢圓的性質(17)Heath T.A History of Greek Mathematics(II)[M]. London:Oxford university press，1921：110.對橢圓的起源，卡茨(Victor J.Katz)還有一種推測，圓錐曲線看上去就像太陽做周日圓周運動時晷影的運動路徑，這路徑本身是落在以日晷的頭端為頂點的對頂圓錐的底面上(18)Victor J.Katz.數學史通論[M].李文林,等,譯.北京：高等教育出版社,1980：92.這里是周日運動是指太陽的視運動.古人不知道地球自轉一周形成晝夜，而把晝夜循環看作是太陽的圓周運動.按這種想法，投影所成的平面就是截平面.進一步會注意到,從平面外一點看圓的形狀就像是一橢圓.

2.2 橢圓的第二定義

與歐幾里得同時代的亞里斯塔歐(Aritaeus,約公元前370～275)，著有《立體軌跡》5卷，已失傳.根據帕普斯(Pappus，約290～350)記載，這是一部關于圓錐曲線的論著.之所以使用“立體軌跡”而不是“圓錐曲線”，原因是當時把“圓錐曲線”視為“軌跡”，而命名為“立體”軌跡，在于該軌跡是從立體圖形產生的(19)Heath T.A History of Greek Mathematics(II)[M]. London:Oxford university press,1921：116—118.

希臘數學黃金時代的三大代表人物歐幾里得( Euclid,約公元前330～275)、阿基米得和阿波羅尼奧斯，都在總結前人成果的基礎上，推進了圓錐曲線的研究.歐幾里得的著作除廣為流傳的《幾何原本》之外，還有《圓錐曲線論》4卷，《面軌跡》2卷，只是后兩部均已失傳.據希思研究，歐幾里得曾在《面軌跡》中不加證明地給出圓錐曲線如下的重要命題：到定點與到定直線的距離之比的點的軌跡是圓錐曲線(20)汪曉勤,韓祥臨.中學數學中的數學史[M].北京：科學出版社,2002:174.用現代語言來解釋，當這個“比”介于0到1之間時，形成的軌跡就是橢圓.它就是今天利用焦點-準線性質刻畫的橢圓第二定義.該定點在阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》中，稱為“由貼合產生的點”，“焦點”這一術語，最早是德國天文學家開普勒(Johannes Kepler，1571～1630)在1604年創用(21)Victor J.Katz.數學史通論[M].李文林,等,譯.北京：高等教育出版社,1980：93，而“準線”一詞，則是之后由荷蘭數學家讓·德·維特(J.D.Witt ，1623～1672)創用的(22)汪曉勤.橢圓第一定義是如何誕生的[J].中學數學月刊,2017(6)：30.這一命題由希臘后期數學家帕普斯得以證明.相比而言，亞里士塔歐對圓錐曲線的工作更專業和更具原創性，而歐幾里得主要是對圓錐曲線的匯編和對內容的重新排列(23)Heath T.A History of Greek Mathematics(II)[M]. London:Oxford university press,1921：116—117.

阿基米德早年曾在亞歷山大跟隨歐幾里得的門徒學習，他曾引用歐幾里得《面軌跡》中的一些零散的命題(24)杜石然.孔國平.世界數學史[M].長春：吉林教育出版社,2009:72，并且阿基米德有關圓錐截線的研究也保留了下來.歐幾里得和阿基米德仍然沿用蒙愛啟馬斯對圓錐曲線的名稱(如“橢圓”稱為“銳角圓錐截線”)，阿基米德給出了圓錐曲線中橢圓的直徑這個名稱(即現在橢圓的長軸)(25)Heath T.A History of Greek Mathematics(II)[M]. London:Oxford university press,1921：122，證明了如下的橢圓性質：

圖1

圖2

橢圓中心O與切點P的連線平分所有平行于切線的弦(如圖1)，設P是橢圓上一點，PN垂直于直徑，N為垂足，延長NP交輔助圓于Q,則QN∶PN為常數(如圖2)等.由此可以看出，阿基米德已經有了用直徑或與之相交的切線表述橢圓性質的意識.

另外，阿基米德在他的《劈錐曲面體與旋轉橢圓體》中表明,任一橢圓都可看作圓錐的截線，該圓錐不一定是直圓錐，其頂點的選擇有很大的任意性(26)Archimedes.Heath T(編).阿基米德全集[M].朱恩寬,等,譯.西安：陜西科學技術出版社,2011：5.因此，阿基米德可能把直圓錐擴充到了斜圓錐，從而獲得圓錐曲線的一些性質，但未給出證明(27)Heath T.A History of Greek Mathematics(II)[M]. London:Oxford university press,1921：122-123.

2.3 對頂錐的創用與坐標制思想的萌芽

阿波羅尼奧斯是古希臘圓錐曲線研究集大成者.他編寫的《圓錐曲線論》共有8卷，只有前7卷保存下來.根據帕普斯記載，阿波羅尼奧斯編寫的《圓錐曲線論》前4卷是以歐幾里得的《圓錐曲線論》4卷為基礎的(28)Heath T.A History of Greek Mathematics(II)[M]. London:Oxford university press,1921：119.這可能與阿波羅尼奧斯很小的時候就去亞歷山大和歐幾里得的繼任者一起學習有關.

阿波羅尼奧斯采用平面截斜圓錐得到了橢圓，用幾何方法給出橢圓的基本性質，用現代符號描述：

圖3

阿波羅尼奧斯把直徑(ED)上的線段(EM)叫做橫線，對應的半弦(ML)叫做縱線，線段(EH)叫做截線的豎直邊，對應參量p是一個常數，就是橢圓通徑.

對以一個頂點為原點，長軸為橫軸的橢圓性質描述如下(31)Archimedes，Heath T(編).圓錐曲線論(I—IV卷)[M].朱恩寬,譯.西安：陜西科學技術出版社，2018：6-8：

以橫線(EM，EM在直徑上)為一邊做矩形(EMXO)，“貼合”到豎直邊(EH)上去，使其面積等于縱線(ML,L在橢圓上)上正方形(ML2)，且矩形(EMXO)比橫線(EM)和豎直邊(EH)所夾的矩形(EMNH)，缺少一個與橫截直徑(ED)和豎直邊(EH)所交的矩形相似的矩形(OXNH).在這里，縱線上正方形的矩形另一邊EO小于豎直邊EH.

其含義就是：橢圓其上任一點縱坐標組成的正方形小于與之對應的橫坐標及通徑組成的矩形.

阿波羅尼奧斯在圓錐上使用相交的橫線(EM)和縱線(EL)，利用線段生成的矩形和正方形的面積刻畫橢圓性質，實際上建立了只有正數的斜坐標系，已經含有坐標制的基本思想.

阿波羅尼奧斯對橢圓的軌跡進行了描述，表示為現代符號語言為：

阿波羅尼奧斯還發現亞里斯塔歐、歐幾里得等學者熟知但并未完整解決的三、四線軌跡問題.他完整地解決三線軌跡問題，而三、四線軌跡問題也成為了從希臘后期直到17世紀數學家如帕普斯、笛卡兒、費馬等所討論的熱點.帕普斯對三、四線軌跡問題做了進一步的研究，并明確地指出了“三線軌跡”和“四線軌跡”為圓錐曲線，“五線及以上軌跡”不再是人們已經知道的圓錐曲線，而是屬于“線軌跡”(32)Bos.Henk J.M. Descarts′ solution of Pappus′ problem.sources and studies in the History of Mathematics and Phyical Sciences[M].Springer-Verlag New York Inc，2001：315-317

阿波羅尼奧斯如此深奧的內容完全是用文字表達的，沒有使用符號和公式，命題敘述冗長，但他建立了相對完美的圓錐曲線理論，他的工作直到17世紀笛卡兒之前一直無人能夠超越.

3 近代橢圓方程的發展

解析幾何的基本思想就是借助坐標系建立點與實數對的一一對應，以及曲線與方程的一一對應.解析幾何的創立，為微積分的誕生搭建了舞臺，近代數學因此而進入快速發展時期.

3.1 解析幾何的開端

1607年，笛卡兒在《更好地指導推理和尋求科學真理的方法論》一書附錄《幾何》中，從四線軌跡出發，通過比例關系推出了橢圓方程(33)Smith.E.D&Martha L.The geometry of Rene′Descartes[M]. New York: Dover Publications.Inc，1954：59-63.笛卡兒受韋達等學者代數符號體系的影響，率先將代數符號引入到坐標當中，其推導橢圓方程過程如下：

如圖4，設AB、AD、EF、GH是給定的四條直線，已知CB·CF=CD·CH(四線軌跡的性質)，求C的軌跡.

圖4

笛卡兒取AB為橫軸，A為原點，設AB=x，BC=y,可得如下的比例AB:BR=z:b,CR:CD=z:c，AK=k,BE:BS=z:d，CS:CF=z:e,AG=l,BG:BT=z:f，其中b,c,d,e,f,l,k,z為常數.通過比例的相關計算得：

再將上述式子代入CB·CF=CD·CH中，可推導出一個代數形式的軌跡方程：

可驗證，該四線軌跡是橢圓.

同一時期，法國數學家費馬在《平面與立體軌跡引論》中，從橢圓的基本性質出發，采用韋達等學者的代數符號，推導證明了表示橢圓的方程，其過程大致如下(34)Struck.D. J. A Source Book in Mathematics. 1200-1800[M].Princeton: Princeton University Press，1986：148-150:

如圖5，設OA=OA′=b，ON=x,PN=y，PN垂直OA(注：PN和OA可垂直也可不垂直，而費馬一般采用的是垂直)，則A′N=b+xAN=b-x.

圖5

笛卡兒在推導橢圓方程過程中，采用的是斜坐標系思想.坐標系只有一條坐標軸(橫軸)，用于度量第二個未知量Y的線段,并沒有明確說明是縱軸，它與橫軸也不一定垂直，但在雙曲線推導過程中，笛卡兒采用的是直角坐標系(35)Ruth M Tapper.coordinates in the histrory of mathematics[J]. Peoria:school science and mathematics，1929(7)：742—743.而費馬在推導橢圓方程過程中，更多地采用直角坐標系.笛卡兒和費馬對于坐標的認識還局限為正數.

符號化是邁向現代數學的關鍵一步.笛卡兒和費馬在坐標描述中引進現代符號，建立斜坐標系或直角坐標系，利用一對線段長x和y確定點的位置，求得橢圓的軌跡方程.在正數情況下，一對線段長和一對實數對是可以相互確定的，所以，一對線段長x和y確定點的位置就相當于用實數對(X,Y)確定點的位置.另外，笛卡兒用坐標概念把方程看為平面曲線，再以曲線圖解代數方程；費馬用韋達的符號研究二次方程，既把圓錐曲線看為圓錐的平截線，也看為平面軌跡，同時又看為二次方程的圖象.這已經含有用實數對確定點的位置，曲線與方程對應的解析幾何的基本思想.由此，笛卡兒和費馬也因此被稱為解析幾何的創始人.

3.2 橢圓方程的第一定義

荷蘭數學家讓·德·威特在其《曲線基礎》(1646,該書被譽為歷史上第一部解析幾何教材)中給出了兩類橢圓方程的標準形式(37)Boyer. C. B. History of Analytic Geometry[M]. New York:Scripta Mathematica，1956：114-117:

但未發現方程中常數f、l/g代表的幾何意義,并總結出任何有兩個變量的二次方程都可以化為標準形式的其中一個.

讓·德·威特還證明了命題:平面上到兩定點距離之和等于常數的動點軌跡為橢圓，即橢圓的第一定義.以此為基礎，后來的數學家用不同的方法推導出了橢圓的方程.

3.3 橢圓標準方程的形成

法國數學家居西尼(Guisnee，16？～1718)第一次使用了直角坐標系，在《代數在幾何中的應用》(1705)中，以橢圓的中心和左頂點為坐標原點，均建立了直角坐標系，用a,b來表示有心曲線的長、短半軸，在圓錐上利用幾何法推導出了橢圓的方程(38)Guisnee. N. Application de I′Algebre à la Geometrie[M]. J. Bourdot et J. Quillau, 1705： 71-72.

法國數學家洛必達(L.Hospital,1661～1704)在《圓錐曲線分析》(去世后整理出版，1720)(39)L'Hospital. M.de. Traité Analytique des Sections Coniques[M].Paris: Montalant,1720：22-25中，利用橢圓的第一定義，引入參數，利用兩點間的距離公式，推導出了橢圓的方程，在推導過程中還引入了焦半徑.同時，他把橢圓方程的推導放在了平面上，以橢圓中心為原點建立直角坐標系，將兩種橢圓方程的形式進行了轉化(長軸和短軸為已知條件的橢圓方程、長軸和通徑為已知條件的橢圓方程).

英國數學家斯蒂爾(R.Steel)在其《圓錐曲線論》(1745)中，在平面上仍然采用橢圓的第一定義，采用余弦定理方法推導出了橢圓方程(40)Steell. R. A Treatise of Conic Sections[M]. London: St John's Gate, 1745：16-18.

在居西尼、洛必達和斯蒂爾的關于橢圓方程的推導中，和笛卡兒和費馬一樣，均采用x，y對應線段，只使用單一坐標軸(橫軸X軸)，也沒有使用縱橫負坐標.沃利斯是有意識地引進負向橫坐標的第一人(41)Boyer.C. B. History of Analytic Geometry[M]. New York:Scripta Mathematica,1956：110-114.而英國數學家牛頓(Newton，1642～1727)在他的《自然哲學的數學原理》(光學篇)(1687)中，進一步運用了縱向負坐標(42)白尚恕.圓錐曲線小史[J].數學通報,1964(4)：36-41.雖然歐拉(Leonhard Euler ，1707～1783)等人偶然也用過Y軸，但是瑞士數學家克拉美(Gabriel Cramer,1704-1752)在《代數曲線分析引論》(1750)中才正式引入縱軸Y軸(43)梁宗巨.世界數學史簡編 [M].沈陽：遼寧人民出版社,1980:201.

英國數學家賴特(J.M.F.Wright)在《圓錐曲線與其他曲線的代數體系》(1836)中，在平面內采用橢圓的第一定義，他運用直角坐標系，用實數對表示坐標位置，標準地使用了橫縱向的正負坐標，利用“平方差法”推導出了現在的橢圓標準方程形式(44)Wright.J. M. F. An Algebraic System of Conic Sections &other curves[M]. London: Black & Amstrong, 1836：94-99.

圖6

如圖6，設橢圓的中心為O，左右、上下頂點分別A,B,C,D，左右焦點為S,H,|AB|=2a，焦距|SH|=2E.由SP+PH=2a，

又SP2=SM2+PM2=(E+x)2+y2， ①

HP2=HM2+PM2=(E-x)2+y2，②

①-②得SP2-HP2=4Ex

=(SP+PH)(SP-PH)=2a(2SP-2a)，

=E2-2Ex+x2+y2，

至此，坐標體系已經基本完成，能夠標準地建立直角坐標系，并用實數對表示坐標位置，標準地使用橫向和縱向的正負坐標，推導圓錐曲線的方程和性質.在此基礎上，橢圓方程也完成了文字敘述到符號表達的現代標準形式的演變過程.

18世紀，瑞士數學家歐拉建立了完備的圓錐曲線理論.他在《分析引論》(1748)中，系統地建立了直角坐標、斜坐標及極坐標的概念，給出了坐標的變換公式和轉軸公式.19世紀中葉，各種坐標制的建立，又把圓錐曲線的理論推進了一步.19世紀末，受分析學的影響，圓錐曲線在理論發展上達到高峰，在實際應用中也得到了充分利用.

圓錐曲線學在明末第一次輸入中國，與當時的歷法書籍有關(45)白尚恕.圓錐曲線小史[J].數學通報,1964(4)：36-41.清中葉第二次輸入，比較有影響的是李善蘭和偉烈亞力合譯的《代微積拾級》(1859)，書名中的“代”，指的就是“解析幾何”.謝洪賚，潘慎文翻譯的《代形合參》(1893)，是中國第一本全面、系統介紹西方解析幾何學的教科書，其內容包括平面與立體解析幾何.清末廢科舉興學堂后，解析幾何成為新學的必修科目(46)欽定學堂章程.1902(47)奏定等學堂章程.1904.解析幾何首先進入大學課堂，如1907年兩江師范學堂就開設了解析幾何課程(48)蘇云峰.三(兩)江師范學堂——南京大學的前身(1903-1911)[M].南京：南京大學出版社,2002：45，1922年才開始全面進入中學數學教科書.之后，圓錐曲線得到了廣泛地流傳.民國時期商務印書館、中華書局等出版了更多的自編或翻譯的解析幾何教科書.直至如今，以圓錐曲線為主要內容的解析幾何，仍然是高中數學的必修科目，其方程和坐標的歷史，體現了解析幾何的基本思想，具有豐富的教育價值.