構造法在初等數學中的應用探究

一、前言

構造性的方法從數學產生的那一天起也就伴隨著產生了。 直到這個方法達到一個新的高度，并致力于對這種方法的研究，這與直覺數學的基礎是密切相關的。由于直覺派考慮到數學的“可信性”，于是提出了這樣一個口號：“存在必須是被構造的。”這就是構造主義。近現代數學對構造法的研究探討，經歷了如下三個階段：一是直覺數學階段。 直覺是克隆先鋒派尼克德國在第十九世紀末，他明確提出和強調的效果，認為沒有能行性就不承認它的存在。二是算法數學階段。算法數學的目的是把可容許數學目標的范疇限定到某個任意選定的類，而不像直覺數學那樣去考慮傳統的證明規則和條例。 馬爾可夫和他的合作伙伴成立了“算法”是特別吸引某人的注意力。三是現代構造數學階段。以肖泊書的出版為標志。

二、構造法

1.有關構造法的相關知識

構造法是指當解決某些數學命題時，利用常規方法，依據定向思維難以解決這個問題時，根據命題的題設條件或結論的性質、特點，從新的角度去觀察、分析和理解對象之間的內在聯系，把握問題結論的關鍵，條件的應用數據等特點，對于已知條件的使用，是將一個已知的數學關系和理論作為一種工具，用數學思想構建數學對象，條件和結論之間的關系，并借助該數學對象輕松地解決數學問題的方法。

在建設性思維的應用，需要知識和創造性思維品質的堅實基礎：二是要有一個明確目的，即需要構建的是什么：三是明確條件和結論，針對這些特點，設計構造方案。

2.幾種常見的構造方法

歷史上如高斯，奧拉，拉格朗日等許多數學家，已成功地應用構造性的方法解決了許多數學難題，構造性的方法是培養創造性思維能力的一種實用方法。下面介紹一些常用的構造方法。

構造數學命題法：給出一個命題，如果直接證明該數學命題有困難，可以構造一個與此命題等價的命題，并證明此等價命題成立，從而證得原命題。

構造反例法：有時候，在某些數學問題的證明中，直接證明問題的結論比較困難，一般可以構造命題的反例，證明其不正確性，從而使原問題得到簡介證明。

構造矛盾法：構造矛盾法實際上就是反證法，即一般先否定原命題，然后再利用否定后的命題，構造出一個與題設條件或者某些公理定理相矛盾的數學對象，從而使原命題得證。

構造幾何圖形法：在數形結合思想指導的問題，對于一些復雜的問題，通過構造一個圖的啟發式思維，用圖形問題的幫助往往使求解方法是方便的問題。

構造結論法：就是按照命題的條件構造新的結論，從而使命題得到證明的解題方法。 一些數學命題的之證明數學對象存在的本質，或者說一個數學對象具有一定的數學對象的某些屬性。 這種類型的數學問題，關鍵是要顯示的數學對象，構建了數學命題的證明方法，通過構造的方法證明的結論稱為“構造性證明“。

構造復數法：因為復數具備代數、幾何和三角等多種表現形式，以及復數自身所特有的性質和運算法則，我們能夠通過構造復數，求解很多問題。

三、構造法在初等代數中的應用

1.構造引理

在中學數學解題過程中，常常遇到直接求解很難得出結論的問題，這個需要我們等價轉化一下，構造相關引理，間接得到問題的結果。

2.構造方程法

在中學數學中，常常使用構造方程法來解題。 學生可以根據設計條件，對定義的方程的根，根的判別，韋達定理及相關知識建立方程或方程組，然后利用知識有關的方程或方程組，解決問題。

3.構造函數法

函數是數學學習中重要的知識點之一，而構造函數在求解相關數學問題中也有著廣泛的應用。比如在求解等式，不等式，證明等問題中。

4.構造遞推數列法

在求解數列問題時，如果數列既不是等差數列，也不是等比數列等特殊數列，一般我們可以構造遞推數列，將問題轉化，然后求解。

5.構造復數法

對于某些證明題，復數可以作為證明條件和證明結果之間的橋梁。

四、總結

通過以上討論，我們可以發現，該方法在解決數學問題中有意想不到的效果，使問題很快得到解決。利用構造法求解問題關鍵在于“構造”， 它可以啟發學生的思維，是學生學會從多角度看問題，從而得到了很多巧妙的設計，通過新穎獨特，簡單而有效的方法來解決問題，加深對知識的認識和理解，培養思維的靈活性。因此研究構造法，數學能力，數學方法的研究，不僅具有重要的意義，它是一種重要的數學思想也有了更加深刻的內涵。數學思想是一種重要的思想，它是人們研究數學科學的本質及規律的重要基礎。這種認識包括了人類歷史上過去、現在以及將來有名無名的數學家對數學科學的對象及其特征的認識研究，探索途徑與方法的特點，其研究成就的精神文化價值和實用功能的物質世界的研究成果對社會進步有重要意義。

天津經濟技術開發區第一小學 陳克新