小學數學建模思想如何建立

劉曉彤

在小學數學的學習過程中，北京版小學數學四年級上冊第十單元中《方陣問題》一課是體現模型思想的典型課例，它以實際生活中的“方陣”為研究對象，是對“植樹問題”變式的再研究和靈活運用。學生通過核心活動，自主研究方陣中“每邊數量”“邊數”“頂點數”與“最外層總數”的關系，不斷探索此類問題所蘊含的數量關系及變化規律，充分體驗模型建立的一般過程，感受數學模型的實際應用與其獨特的魅力。下面就以《方陣問題》一課為例，淺談教師如何通過設計核心活動，引領學生感悟模型思想，經歷模型建立的過程。

借助問題，自主探究，初探模型

發現和提出問題是數學建模的起點，在小學進行數學建模教學具有鮮明的階段性、初始性特征，因此要從學生的生活和已有經驗出發，引導他們經歷將實際問題初步抽象成數學模型并進行解釋與運用的過程。

因此，本節課伊始，我首先讓學生觀察體育節學生表演隊形圖片，理解方陣的含義，然后給出數學信息：最外層同學每人拿一束花，中間同學每人拿一個足球。隨后提出一個開放性問題：想一想，在準備的過程中，他們會遇到哪些數學問題？學生根據所給信息，自然提出“最外層有多少個同學？”的問題，為后續構建模型賦予了現實意義。然后我根據學生所提問題，引導學生將最外層每個同學抽象成一個“小圓點”，形成一個空心方陣，然后再次明確“最外層有多少個同學”是求哪里的數量，這個環節是在幫助學生對信息進行再加工，培養學生數學抽象能力及模型思想。

在明確問題后，出示第一個核心活動：

一是圈一圈，畫一畫，讓別人一眼就能看出你的想法，然后再列式解答。

二是解答完可以用數一數的方法驗證結果對不對。

三是想想還有沒有別的方法，然后小組交流。

該環節讓學生自主獨立探究解決方法，再交流互動，展示各種算式并讓學生圖式結合來解釋算理。學生們的探究結果體現了解題策略的多樣性，分別有：①6×4-4；②（6-1）×4；③（6-2）×4+4；④6×2+（6-2）×2；⑤6×6-4×4共5種解題方法。

在學生圖式結合把每種算法解釋清楚后，我選取學生更好理解、更便捷、使用的更多的方法：6×4-4，進行第一次變式：如果每邊的數量變成8個，10個……不斷增加，那么最外層的總數怎樣計算呢？學生通過第一次活動的探究，顯然有了一定的經驗，很快就得出了結論：原來每條邊的數量發生了變化，但是4條邊和重復的4個頂點永遠不變，因此概括出通法：最外層總數=每邊個數×4-4。至此，學生通過第一個核心活動，發現規律、歸納通法，找到最外層總數與每邊數量、邊數、頂點數的內在聯系，經歷了初步建模的過程。

深挖本質，多元變式，優化模型

如果本課都是在“每邊上的數量”這個單一的維度上進行變式，歸納出“最外層總數=每邊個數×4-4”這個具有特殊性的模型，那么能讓學生深入感知事物之間的聯系、規律和歸納總結的素材不夠多元、不夠廣泛，不能說明一類事物的一般性，學生對于建模過程的體驗自然也就不夠豐富，這樣就會導致學生不能更好地根據現實問題構建數學模型。于是我在活動一的基礎上，設計第二個核心活動，即通過每邊個數、邊數的多元變式，逐步引導學生探索規律，歸納出具有概括性的一般模型，提升學生的推理、概括能力，感悟用模型來刻畫現實世界的聯系。

在第二個核心活動中，我設計將四邊形的形狀進行改變，變成三角形、五邊形、六邊形等多邊形，每邊的數量也進行相應改變，引導學生發現其中蘊含的通法。學生通過觀察、思考、歸納后，恍然大悟，原來雖然每邊個數和邊數都在不斷改變，但是背后不變的都是用“每邊個數×邊數-頂點數=最外層總數”。這個新的模型是在原模型基礎上的優化，且更準確、更具有描述“方陣問題”的一般性。

用模型講述現實世界的故事

學生構建模型的最終目的是能用模型溝通數學與現實世界的聯系，解決現實問題，因此應讓學生通過聯系生活實際，將模型一般化，體會數學模型的價值。

在學生經歷了兩次活動，歸納總結出一般模型后，我出示第三個活動：一是這些“小圓點”還能代表什么？二是如果最外層共有32枚棋子，那么一共有多少枚棋子？第一個問題的目的在于幫助學生發現剛才所構建的數學模型不僅適用于隊列方陣，同時也適用于生活中的很多不同的方面，從而感受數學模型的一般性與應用的廣泛性。第二個練習的目的在于讓學生通過逆向思考的題目，嘗試用自己親自建立的數學模型來解決問題，不僅將知識進一步內化，而且還能充分體會到數學模型的實際應用價值，體驗到數學模型的便利性，進一步培養學生借助數學思維、數學知識解決實際問題的能力。

總之，在小學數學教學中，引導學生探索模型的過程是幫助學生積累數學活動經驗的有效方法，教師應利用合適的生活素材，設計充分的核心活動，讓學生親身經歷數學模型構建的過程，逐步培養學生數學建模思想，讓學生學會用發展、聯系的眼光看待世界，擁有自主、合作、探究、創新的精神，為提升學生的核心素養奠定堅實的基礎。

（作者單位：北京市房山區長陽鎮長陽中心小學）