精準踩點 順學而教

金曉峰

《義務教育數學課程標準》指出：“數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯。”基于此，教學中要把教學活動建立在學生已有認知發展水平和已有的知識經驗基礎上，緊扣學生的“最近發展區”，找準學生的“新知生長點”，體會數學的整體性，感知知識間的邏輯性，在學習活動中不斷積累將已有知識遷移應用的經驗。我在實際教學中，就如何激活新知生長的節點，有效幫助學生優化知識建構做了如下的思考與實踐。

一、找準新知生長的“停靠點”

新知識是在已有知識的基礎上生成和發展的，教師要找準新知識的生長“停靠點”，有效推進學生建構知識的進程。比如在教學《小數乘整數》這一課時，我先在班級里進行了課前調查。從調查結果來看，學生對于學習這一內容的知識起點差異不大，主要問題是對算理的理解不夠。如，何喚醒學生已有的知識基礎，讓學生明白“小數乘整數的算理”就成了這節課應該思考的一個問題。基于學生這一起點的認識，我設計了如下課堂導入：

出示導學單，要求學生填一填，說一說。

淤直線上從0到1表示整數“1”，平均分成10份后，其中的3份可以表示為（）。

0.6是把整數“1”平均分成（）份，表示這樣的（）份。

于0.8是（）個0.1，3.6是（）個0.1。

盂2.5里面有（）個1和（）個0.1。

榆2.35里面有（）個0.01。

《小數乘整數》這一課是在學習小數的意義和性質以及會進行小數加、減法的基礎上教學的，小數乘整數的算理應聯系小數的意義來進行探究學習。結合整個引入過程來看，我以小數的“計數單位”作為新知的“停靠點”，順著這個“停靠點”引導學生繼續發展，到達后續理解小數乘整數的算理這個問題節點上，直抵學生心中的混沌之處，使得教學更有針對性，也使已有知識與新知之間建立了聯系，從而真正體現數學知識間的整體性，促進數學知識從內在到外在的有序建構。

二、抓住思想方法滲透的“關鍵點”

數學思想是數學的靈魂，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。因此，教師要充分發揮數學思想在教學中的重要作用，抓住思想方法滲透的“關鍵點”，從而優化學生知識建構的路徑。

比如，探究“植樹問題”：學校操場上有一條長50米的跑道，體育教師要在跑道的一邊每隔2米擺放1個標志桶，如果兩端都要擺，一共要擺多少個？先讓學生通過交流，理解題目意思，重點明確只在跑道的一側擺放標志桶，且兩端都要擺。接著引導學生獨立思考：間隔數與標志桶個數一樣嗎？同時啟發學生可以從較少的數量和較短的距離想起，找出其中的規律。有的學生提出，可以用畫圖的方法來表示，如畫4個圓圈代表4個標志桶，中間有3個空格，就說明有3個間隔，容易發現標志桶數比間隔數多1。又有學生說，把一只手的5個手指叉開，代表5個標志桶，每2個標志桶之間就有一個間隔，一共有4個間隔，同樣發現標志桶數比間隔數多1。還有學生提出，在桌子上放3支鉛筆代表3個標志桶，有2個間隔，也發現標志桶數比間隔數多1。學生在探究出不同的方法后，教師不失時機地問：你更喜歡哪一種方法？學生通過討論得出，選擇用畫圖的方法更為直觀、簡潔。教師適當總結，然后引導學生通過畫圖，找到如果只擺一端或是兩端都不擺的時候，間隔數與標志桶數之間的關系有怎樣的規律。

在問題的探究中，我們不難看出所有的結論都是由學生自己發現并表達出來的。教師通過適當的提問，引導學生思考探究，使學生充分經歷從研究簡單問題中找到規律，并最終運用規律解決復雜問題的過程。學生在解決問題的過程中能感悟所滲透的思想方法，如比較、歸納、轉化等，并在“做”和“思考”中積累數學活動經驗。

三、把握思維發展的“切入點”

促進學生的思維發展是數學教學的基本價值追求。學生在學習過程中，難免會出現思維浮于表面或者片面僵化的現象，教師在教學中就應把握學生思維發展的“切入點”，通過深度學習消除學生的思維盲區、誤區，讓學生的思維從“缺席”走向“通透”，才能使學生的數學學習真正有效。以教學《三角形的高》一課為例，由于受生活中身高及物體的高度這些思維定勢的影響，要讓學生一下子接受“三角形的一個頂點到對邊的垂直線段就是這個三角形的高”是有困難的。我們也經常發現大多數學生不能正確找到三角形的其他2條高。由于一個平行四邊形可以分成兩個三角形，而且平行四邊形任意一個頂點到對邊的垂直線段也正好是該平行四邊形的高，同時“三角形的高”這一內容正好編排在平行四邊形的內容之后，這就給教師這樣的印象：“三角形的高”這一知識的生長點是平行四邊形的高。事實上，這一感覺不能說是不對的，因為如果學生掌握了平行四邊形高的作法確實有利于學生掌握三角形高的作法。

對于三角形高這一知識的生長點，可以更進一步：即三角形高的作法實質轉化成“過直線外一點畫已知直線的垂線”的方法。這樣做一是有利于學生理解一些核心知識，如能幫助學生理解頂點和它對應的邊。當學生有了“三角形的高的實質是過直線外一點畫已知直線的垂線”這一認識后，只需借助現代教育技術的幫助，將“三角形”閃爍成“線段和線段外一點”，那么“頂點”和“它對應的邊”“過這一點做對邊的垂線”等核心知識點就綱舉目張、一拎百順了。二是有利于避免先前學習對當前學習的消極影響。教過這一章節的教師都知道，作三角形一邊上的高時，學生時常會出現“高不是從頂點出發”的錯誤。這一方面是因為學生沒有理解“底邊”和“它對應的頂點”，另一方面，也有先前學習對當前學習的消極影響，如學生在學習平行四邊形高的時候，教師可以經常強調“平行四邊形邊上任意一點向對邊作的垂線都是平行四邊形的高。”顯然，相比于將三角形的高的生長點附著于平行四邊形的高上，將三角形的高的生長點附著于“過直線外一點畫已知直線的垂線”更把握住了知識的源頭，更抓住了知識的本來面目。

四、瞄準知識再構的“延伸點”

每一知識點的學習都有它的延伸點。數學知識的延伸點能溝通新舊知識的內在聯系，通過知識的同化，將新知識納入原有的認知結構中，為后續的學習和探究提供準備。在教學中，教師要認真讀教材，溝通教材之間的前后聯系，瞄準知識再構的“延伸點”。同時，教師要引導學生合理遷移，感受數學知識的前后聯系，整合知識建構的路徑。

比如，在學完“百分數的認識”后，出示這樣一道題：“一袋食鹽，用去20%”。

師：根據這個信息，你還想到哪些百分數？

生1：我知道剩下的食鹽占整袋食鹽的80%。

師：你是怎么想的？

生2：我把整袋食鹽看作單位“1”，平均分成100份，用去其中的20份，剩下80份，所以剩下的食鹽占整袋食鹽的80%。

生3：我知道用去的食鹽是剩下的25%。

師：你是怎么想的？

生4：用去其中的20份，剩下80份，用去的和剩下食鹽的比是1頤4，也就是25頤100，所以用去的是剩下食鹽的25%。

生5：我還知道剩下的食鹽是用去的400%。

在這個片段中，教師注重在知識的關鍵處組織學生從不同角度、不同層次來進行表述，既復習了已有的知識，又使學生在原有的知識基礎上有所聯想，這就是學生后續學習的延伸點。數學是思維的體操，無論是新知的學習還是練習的鞏固，都是讓思維在伸展延長，它能有效激發學生對后面知識的學習興趣，并能充分感悟到數學學習是一個充滿變化、富有張力的世界。

綜上所述，學生數學知識的積累和數學素養的形成是一個層層遞進、螺旋上升的過程。在教學過程中，教師要踩準每一點，邁好每一步，幫助學生獲得啟迪智慧的“鑰匙”，讓學生能用自己的認知方式、思維方式去體驗和建構數學知識，從而提升數學學科的核心素養。