注重合情推理教學培養學生思維能力

陳建虹

（福州第二十四中學，福建福州 350015）

所謂合情推理，是指符合問題情景與情理的、自然的、似乎為真的推理，它是根據學生已有的數學事實、或數學經驗和數學直觀進行推測得到某些結論的一種推理.在思維方式上，常表現為憑直觀感覺、或直覺和聯想等非邏輯思維形式，通過學生對問題的觀察、實驗、猜想、歸納、類比等方法直接獲得某種數學結論.初中階段合情推理常用的思維方法是歸納推理和類比推理.

波利亞發現，可以機械地用來解決一切問題的“萬能方法”是不存在的.在問題解決的過程中，人們總是針對具體問題與具體情況，不斷地向自己提出有啟發性與猜想性的問題，從而不斷地啟發與推進著思維的進展.［1］

初中數學教學歷來講究嚴密性、嚴謹性與邏輯性，十分重視對學生演繹推理能力方面的培養，而輕視了合情推理.實際上在數學的研究、科學的探索與日常的生活實踐中，無不有著合情推理的影子，它有力地推動著數學學科的發展，是數學發現和創造的重要方法之一.因此在平時的課堂設計與數學的課堂教學中，教師應有意識、經常性地注重合情推理教學，鼓勵學生對問題提出自己的看法與見解，培養學生養成良好的數學思維習慣，提高學生的整體思維能力.

一、創設問題情境，激發學生參與合情推理活動的興趣

合情推理對初中生來講并不陌生，在小學階段已接觸簡單的合情推理訓練.到了初中，尤其是開始幾何的學習，對學生推理的要求高了，難度大了，但主要是對學生進行邏輯思維能力方面的培養，注重推理過程的嚴謹、嚴密與步步有據，注重套用“公式”“定理”或“口訣”等快捷的教學方式，解題時急于求成，沒有進行必要的分析與推理，導致學生的思維僵化、刻板，對培養學生的思維能力尤其是創新思維能力十分不利.事實上，邏輯推理是論證的手段，合情推理是“發現”的工具，合情推理是發現真理的思維.學生具備了合情推理能力，在學習上學生會善于把實際的生活問題轉化為數學問題，用數學的眼光觀察、猜測、分析、歸納和總結數學的事實與結論，在課堂之外，在日常的生活實踐中學生也會自覺應用這種能力.

所以，在數學教學活動中教師首先要改變教學觀念，讓合情推理走進課堂，走近學生.教師在課堂上要善于激發學生的推理興趣，而創設恰當的問題情境是關鍵.合適的、耐人尋味的、恰到好處的問題，能夠使學生學習興趣盎然，思維活躍，對培養學生的自學能力與創新思維能力十分有利.［2］

其次，創設合情推理的問題情境，要緊密結合初中數學的教材內容.如在進行“有理數的乘方”的教學時，問題設計為:由一張厚度為0.1毫米的紙，

（1）將它對折1次后，厚度為多少毫米？對折2次厚度為多少毫米？對折3次、4次呢?

（2）對折30次后，厚度為多少毫米?

（3）如果我們教室的層高為4.5米，這張紙對折30次后有多少層教室的高度?

以上的教學過程，讓學生經歷了從折紙到猜想再到計算的過程，再引入乘方的概念.這樣的教學設計，不僅有趣，而且給學生的印象十分深刻，提高了學生的學習興趣，鍛煉了學生的推理能力.

初中數學知識體系中無處不充滿著合情推理的知識、內容與方法，初中數學的教學活動，處處皆可使用合情推理.如在進行分式的教學時，與學生共同復習完分數的性質與運算法則后，讓學生大膽的推測與猜想分式的性質與運算法則；復習完一元一次方程的解法后，根據不等式的性質讓學生先說說一元一次不等式的解法；學習如合并同類項時可以類比乘法分配律；推導平方差公式時，讓學生自己歸納與發現等等.還有很多的內容教學時均可進行合情推理能力的訓練.

二、設計層次性問題，激勵學生參與合情推理活動的熱情

問題是數學的心臟.明智的教師都會把枯燥的數學變為一個個有趣的問題呈現給學生，通過對問題的解決，達到培養學生數學推理能力的目的.但由于學生學力的差異，設計同層次的問題不利于班級的課堂教學，因而設計有層次的問題顯得尤其重要.因此教師應根據教材內容，遵循層次性設計的原則，進行科學的、合乎情理的設計，才能在課堂上有意識地、有層次性的開展教學活動，從而讓學生逐漸養成數學合情推理的思維習慣.再者，教師還要根據不同階段的學生所具備的思維能力，設計適合的問題展開推理活動.太過簡單的活動會讓學生覺得索然無味，而太難的活動又會挫傷學生的學習信心.

如在“有理數的減法”教學時，教師根據“減法是加法的逆運算”得出3-（-3）=3+（+3）之后，讓學生把3換成-2并寫出等式，此時就可讓學生進行大膽的推測與猜想有理數的減法可能怎么做，當然要讓猜不出來的學生繼續進行嘗試，嘗試的個數依學生的程度而決定，讓“嘗試—猜想—歸納”不斷的交替進行.在這個過程中，不同層次的學生都參與了推理的活動，學生不斷地進行著猜想、歸納、類比等各種思維方式的鍛煉，同時能加速數學知識點的遷移，提升創新思維能力.

在學習“等腰三角形”這一節時，師生先一起回憶復習等腰三角形的概念后，讓學生把一張長方形的紙按圖中虛線對折，沿AB剪去陰影部分，再把它展開，得到一個△ABC，接著設計以下探究的問題，并要說出具體的推理理由.

（1）找出圖中相等的線段和角，并說出理由；

（2）△ABC是軸對稱圖形嗎？為什么？如果是，請說出對稱軸.

此時教師不要停止教學，而是引導學生回憶三角形中的三線，并結合以上的問題（2）中的對稱軸，得出輔助線AD，進一步讓學生進行觀察、猜想、討論，從而就順其自然地得到了性質2，并要學生寫出證明的過程.這充分體現了一個從觀察、實驗、猜想、論證的研究幾何問題的全過程，也體現了從低到高的一個有層次性的合情推理過程.在這個過程中，教師并不是在高談闊論，而是結合具體的操作步驟，引導學生大膽地進行推測與發現數學的事實，促進學生推理能力發展.

三、設計問題導向，引導學生開展合情推理活動的方向

合情推理是將一個命題在證明之前引導學生提出假設與猜想，這種由發現到猜想的過程就是合情推理.在引導學生對規律或結論進行探究時，根據問題的不同，適時給學生確定問題的導向或目標，然后對該目標進行觀察和分析，據此提出一種可靠與合理的猜想.［3］

這就要求教師首先要認真分析教材，挖掘出其中有價值的、直觀明了的數學問題，有的放矢地進行推理活動的設計.其次對數學問題要進行認真的分析與對比，讓學生明確要解決的問題，引導學生開展有針對性的推理活動.如在學習“軸對稱圖形”時，教師可收集相關的生活中常見的圖片，通過媒體讓學生觀察與比較，展開討論與猜想，在此教師應舍得花時間，讓學生自己發現與總結出結論.經過學生的探究與教師的指導得出軸對稱的概念后，接著可設置以下問題：（1）成軸對稱的兩個圖形全等嗎？（2）如果把一個軸對稱圖形沿著對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形全等嗎？這兩個圖形對稱嗎？（3）請你說說成軸對稱的兩個圖形有什么性質?在問題的引導下，學生的推理有了明確的方向，通過比較、類比與分析，自己得出了軸對稱的相關性質.

當然，對學生偏離了方向的推理，教師不能簡單地否定，而應抓住契機，引導學生分析，找出錯誤，進而提升學生的自我評判能力和反思能力.