MPCK視角下的數學概念教學
——以七年級“4.3.1角”新授課為例

張世欽

（廈門市翔安第一中學，福建廈門 361101）

美國學者舒爾曼（Shulman）于1986年提出PCK（Pedagogical Content Knowledge）理論.他認為，PCK包括（學科內容知識、一般教學法知識、課程知識、學科教學知識、關于學生及其特性的知識、教育情境知識、教育目標和價值的知識）等七類知識.早先人們普遍認為只要擁有豐富的CK就是優秀教師，事實證明教師還必須熟練掌握PK.只有當PK與CK高度融合，教師才能將自己所掌握的純學術形態的知識轉化成學生理解的教育教學形態的知識，這正是PCK理論及最初的界定.在我國，它有“學科教學知識”“學科教育知識”等多種譯法，我們直接稱之為PCK，它是PK（Pedagogical Knowledge即一般教學法知識）與CK（Content Knowledge即學科內容知識）和教育學的特殊整合，這種知識在很大程度上決定著教師能否有效地進行教學.

一、MPCK理論

MPCK（數學學科教學內容知識）就是從PCK泛學科研究中演繹出來且專門論述數學學科教學內容知識，是MK（數學學科知識）與PCK的完美結合，是數學教師的學科關鍵能力知識.教師具備MPCK知識能夠幫助學生實現學術形態數學知識向教育教學形態數學知識的轉化.

概念教學是數學教學的核心環節，整個數學知識體系是建立在概念之上.新課程改革要求學生全程參與數學概念產生、生成過程，體驗概念引入、發展、歸納及提煉歷程，讓學生在辨析概念基礎上鞏固概念，在構建概念動態過程中理解、掌握、悟透概念的內涵、外延和本質特征，優化思維品質，激發創新意識及創造思維，促進學生數學核心能力的形成與發展，打造魅力課堂.教學實踐證明，數學教師開展概念教學應具備三類知識即MK、PK、CK，實際教學時，教師一般需要綜合運用這三類知識，才能把學術形態的數學知識有效地轉化為教育（教學）形態的數學知識，才能達到幫助學生理解數學的目的.

二、MPCK視角下的概念課展示

在2021年廈門市市級教學視導活動中，陳秉藝老師開了一節新授課“4.3.1角”.本節選自義務教育課程標準實驗教科書《數學》（人教版）七年級上冊，是第4章“幾何圖形初步”第3節第1課時的內容.

本節是一節概念教學課，通過優化數學概念教學案例及教學設計，以問題解決為線索而展開，以探究式教學法為主，引導學生建立概念探究的方法與結構，在“自主探索、合作交流、動手實踐”的氛圍中愉快學習，讓學生從“學會”到“會學”，真正成為學習的主人，讓學生在探索新知、獲取知識的同時，看到自身潛能，增強學習的樂趣和信心.養成積極探索的精神和合作意識，感受數學的魅力，具有很好的示范性.

以下分享基于MPCK視角下的教學設計、反思等亮點以及專家點評.

（一）依據課標，合理設計教學目標，找準核心素養的孕育點、生長點

1.教學目標

（1）通過實例，理解角的兩種描述，掌握角的相關概念.

（2）掌握角的四種表示方法，并能恰當選擇表示法.

（3）會用量角器進行角的度量.

（4）認識角的度量單位度、分、秒，并會進行簡單的單位換算.

2.目標解析

（1）目標1解析：體會數學源于生活，又高于生活，并運用于生活的科學價值與文化價值，培養積極參與數學學習活動的熱情和對數學的好奇心與求知欲.

（2）目標2解析：使學生經歷概念的形成過程，學會用運動變化的觀點看問題，培養觀察、探究、抽象、概況的能力.

（3）目標3解析：培養學生的識圖能力，運用講練結合的方式實現“圖形語言—文字語言—符號語言”三種語言的自然轉換.

（4）目標4解析：通過探究度分秒之間的換算，滲透類比的思想方法.

3.教學重點

（1）角的相關概念和角的表示方法.

（2）角的度量單位及單位之間的換算.

4.教學難點

（1）角的表示方法的選擇.

（2）角的單位轉換.

5.點評

《義務教育數學課程標準（2011年版）》第三學段對“點、線、面、角”要求如下：

（1）理解角的概念，會比較角的大小.

（2）認識度、分、秒，會對度、分、秒進行簡單的換算，并會計算角的和、差.

本節課學習的主要內容有兩部分：一是角的定義，角的表示方法，用運動的方式描述角，周角、平角等概念.二是角的度量，角的度量單位（度、分、秒）及換算，引導學生從動態的角度去認識角的概念，進而類比時間單位的轉化學習角的度量和度分秒單位換算，滲透類比的思想方法.最后回顧量角器的使用，從數的角度認識角.由此可見，除了點、線，角也是基本的幾何圖形之一，學生在小學對于角的圖形就已經有粗淺的認識，教材在介紹完直線、射線、線段后繼續學習角，從靜態和動態兩種描述理解角的概念，要求要學會如何正確表示一個角，如何度量一個角等，這既是對前面所學知識的延續，也是為后面進一步學習復雜圖形做準備.

從MK上看，目標的解析緊扣教材重難點，“角”的知識與實際生活息息相關，學生在獲得“角”概念的過程中，對已有的相關概念獲得更深刻的理解.通過探究角的靜態定義和角的表示方法，體會研究幾何圖形的方法和步驟.同時，通過角的動態定義的學習，初步會用運動、變化的觀點研究幾何圖形.

從PK上看，教師積極引導學生參與課堂活動，課堂氣氛濃厚.通過豐富的數學活動，體驗學習數學之旅充滿著探索和創造，激發學習數學的興趣，培養學生的觀察、探究、抽象、概括的能力以及把實際問題轉化為數學問題的能力.

從CK上看，教師設置通過實例和情景，引導學生思考、討論、舉例，達成教學目標，引導與培養學生對概念的學習方法，建立“為什么學—如何學—學有何用”的基本結構體系，通過建構知識體系，提高學習數學知識的能力.

（二）創設情境，優化概念認知結構，凸顯數學抽象與數學建模

1.問題1：同學們，今天我們來一起學習“角”，角，你認識嗎？

追問：你能舉出生活中的角的例子嗎？

教師在黑板上板書課題“4.3.1角”，開門見山引入.

通過學生熟悉的實際生活背景入手，讓學生在具體情境中抽象數量圖形，為探究歸納角的定義做鋪墊.引導學生熱愛生活，體驗數學與現實生活的聯系.

2.問題2：同學們，讓我們一起來畫角吧.

觀察圖形，什么是“角”？如何下定義？

教師與學生一起板書畫角，在畫的過程中，與學生共同回憶起“兩條射線、公共端點、角的邊、角的頂點”等角的靜態定義中的相關內容.之后，教師請學生打開課本P132，將課本中相應的定義劃線.（見圖1）

圖1

3.問題3：同學們，角如何表示？

追問1：在表示角時，要注意什么？

追問2：增加射線OC呢？能把∠BOC記作∠O嗎？為什么？

教師請學生閱讀課本P132相關內容，并板書幾個角.（見圖2）

教師及時引導學生歸納角的四種表示方法及適用范圍：

（1）用角的頂點字母表示角，如：∠O

適用范圍：以該點為頂點的角只有一個.

（2）用三個大寫字母表示，表示頂點的字母寫在中間：∠AOB

適用范圍：可以表示任何角.

（3）用一個阿拉伯數學表示：∠1

適用范圍：角的內部沒有其他角.

（4）用一個希臘字母表示∠a.

適用范圍：角的內部沒有其他角.

圖2

4.點評

學生在小學階段已對角有了初步的認識，讓學生動手畫角，結合本章剛學的三線（直線、射線、線段），學生不難發現角的組成特征，更容易理解和歸納角的概念，學生操作、探究、交流，形成角的相關概念，經歷從具體情境中抽象數學概念并回歸生活情景，經歷對具體問題的探索過程，培養學生的觀察、探究、猜測、聯想與概括能力；在概念生成過程中，教師不斷的設問與追問，點燃學生思維的火花，激發學生學習的熱情.在教學過程中注意規范書寫，實現“圖形語言—文字語言—符號語言”三種語言的自然轉換，體會三種語言的轉化與數學的簡潔美.

從MK上看，《義務教育數學課程標準（2011年版）》三學段對“角”的論述是根據學生的學情基礎提出的，本節課所學的角是平面幾何最基本的圖形之一，學生已學習了直線、射線和線段，特別是掌握了線段基本學習方法，在此基礎上學習角的兩種定義和四種表示方法，進而學習角的換算與度量，為后續深化學習角的相關知識奠定基礎，也為幾何概念學習打下扎實的結構化學習體系。數學源于生活，教師用學生熟悉的實際生活素材，讓學生在具體情境中抽象數量圖形，激發學習興趣，凸顯MK（數學學科知識）的價值。

從PK上看，在教法上，主要采用探索體驗式的教學模式，學生在小學對于角的圖形就已經有粗淺的認識，教材在介紹完直線、射線、線段后繼續學習角，從靜態和動態兩種描述理解角的概念，并要求要學會如何正確表示一個角，經歷在現實情境中認識角的數學活動過程，感受圖形世界的豐富多彩，增強審美意識，激發學生的求知欲.

從CK上看，在學法上，教師善于鼓勵學生獨立思考，學生對角并不陌生，但如何理解角的概念、正確表示一個角還缺乏深刻理解，故在課堂上重點關注引導學生如何選擇正確的方式表示一個角是教學的關鍵.對于學生能正確總結歸納角的四種表示方法及適用范圍，教師均給予充分的肯定.

（三）活動載體，識別探究概念本質，培養直觀想象的素養

1.問題1：如果我們從運動的角度來看，角是如何生成的？

追問1：通過剛才的演示，你能否再給角一個定義呢？

追問2：在旋轉的過程中，有哪些特殊的角？

教師用兩只手展示運動變化并進行說明：我們知道，隨著兩條射線張開的大小不同，角也就不一樣.緊接著，教師用圓規，從兩條射線重合開始進行旋轉，啟發學生思考角的動態定義：角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形.

教師多媒體展示小程序“認識角”，學生在動畫中再次體會角的生成過程，認識平角和周角.

2.問題2：周角是多少度？你知道1度的角是怎么來的嗎？

追問：除了“度”之外，還有其它的度量單位嗎？

學生學習度分秒60進制的轉化，教師進一步類比說明：角的度、分、秒是60進制的，這和計量時間的時、分、秒是一樣的.

［教師板書］

時間：時、分、秒

角度：度、分、秒（60進制）

3.問題3：給你一個具體的度數，你會畫出這個角嗎？怎么畫？

追問：還記得量角器怎么使用嗎？

教師啟發學生，如果是30°、45°、60°、90°等特殊角，可以直接借助三角尺，其他的可以用量角器.教師通過多媒體輔助，可使學生熟練掌握使用量角器準確獲得一個角的大小，且可以根據度數準確畫角，從數的角度認識角.

4.點評

該環節用運動觀點看問題，為學生提供更大的思維發展空間，運用動態描述學習平角、周角，可加深對概念的理解.這樣通過類比線段的學習，重新探究認識角，形成類比思想，體會幾何概念的學習方法，體驗概念學習的結構化價值；經歷從具體情境中抽象數學概念并回歸生活情景，經歷對具體問題的探索過程，培養學生的觀察、探究、抽象與概括能力；通過角的動態定義學習，培養學生會用運動、變化的觀念看待問題，培養識圖能力.

從MK上看，明確本環節教學的重點是理解角的多種表示方法和熟練進行角度的準確換算，通過本部分知識的學習將為后面繼續探究角的知識，如角的和差、角平分線等做下鋪墊，也為今后高中學習做好知識儲備.

從PK上看，將多媒體有機融入課堂教學，以教學目標為基點，細化教學環節，合理設置學生活動，運用類比的方式指導學生自主探究，有利于培養學生的發散思維.

從CK上看，教師通過開展活動設置問題，實物動態演示，啟發學生思考角的產生過程.對于問題2，教師不是直接讓學生回答，而是追問：“除了度之外，還有其他的度量單位嗎？”鼓勵學生大膽猜想、質疑、比較、遷移，讓學生對“角的轉化”有更深的體會.在解決問題的過程中，教師引導學生理解性記憶：角的轉化是60進制的，這和計量時間的轉化是一樣的.

中學數學中的概念不僅數量多，而且抽象，需要在有效、恰當的策略指導下，演繹為具體、生動的案例，便于學生容易接受、理解和掌握的概念.教師要有足夠的耐心、智慧，綜合、合理運用學科教學策略，掌握MPCK的核心知識，從某種意義上，數學概念教學是衡量一個數學教師專業功力、數學素養的標桿.未來，須不斷優化發展MPCK的核心知識，以促進教師專業成長.