基于邏輯推理素養(yǎng)的幾何綜合試題評價與教學關注
——以2017-2020年福建省中考試題為例

李 霞

（福州教育研究院，福建福州 350001）

張奠宙、李士锜［1］等認為數學素養(yǎng)就是數學思維能力（數學素質），其核心是邏輯思維能力.《普通高中數學課程標準（2003年實驗版）》（以下簡稱“課標”）早已把推理論證作為數學課程標準中的數學五大基本能力之一.在對《普通高中數學課程標準（2017年版）》的解讀中，史寧中，王尚志［2］認為邏輯推理素養(yǎng)是能依據規(guī)則，從一些定理或基本事實出發(fā)推出其他結論的素養(yǎng)，特別提到邏輯推理素養(yǎng)的落腳點在于素養(yǎng)，它與“邏輯推理能力”有區(qū)別，邏輯推理素養(yǎng)不僅體現個體具有邏輯推理能力，還表明其個體具有良好的邏輯思維品質.可以說無論是2003年版的普通高中數學課程標準，還是2011年版的初中數學課程標準（以下簡稱《課標》），抑或是2017年版的高中數學課程標準，邏輯推理的內容要求都在加強，但這個內容的學習效果從近年來的終結性試卷測評所反饋的情況看不容樂觀.在抽查的中考測評試卷中，學生不能識別圖形中的基本幾何元素，不能根據條件和圖形獲得基本幾何結論，無法對一些基本要素的屬性聚焦，不能理清相關元素的關系關聯等.

一、綜合幾何推理命題的立意與試題內涵

［案例1］（2018年福建省中考數學A卷第24題）：已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AC是⊙O的直徑，DE⊥AB，垂足為E.

（1）延長DE交⊙O于點F，延長DC，FB交于點P，如圖1.求證：PC＝PB；

（2）過點B作BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點H，且點O和點A都在DE的左側，如圖2.若AB＝，DH＝1，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小.

［案例2］（2019年福建省中考數學卷第24題）：如圖3，四邊形ABCD內接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足為E，點F在BD的延長線上，且DF=DC，連接AF，CF.

（1）求證：∠BAC=2∠DAC；

圖1

圖2

圖3

（一）從素養(yǎng)的角度看問題的立意

觀察試題的表現形式，可以看到兩道試題要求學生都必須具備在復雜問題的數學情境中通過歸納、類比、演繹等方式探索推理的能力。兩道試題都將初中的直線型知識進行了融合，考查的知識點有平行線、等腰三角形、直角三角形、相似三角形等內容，會用圓的工具功能（導邊導角）實現基本元素與相關元素間的關聯；會探究結果的一般性結論并能準確地表述結論的推理過程.可以說從素養(yǎng)的評價體系看，學生不僅要具備對知識理解的水平，還要有實現知識遷移的能力.

（二）從測評的數據看問題的存在

調研了7萬份試卷，例1的區(qū)分度在0.4以上，表明此題的區(qū)分度很好；例2的區(qū)分度接近0.3，說明此題的區(qū)分度較好，但例2第二問的區(qū)分度低于0.19.例1難度系數為0.23，滿分率0.59%；例2難度系數為0.15，滿分率0.83%.為什么考生滿分率這么低？由答題情況我們發(fā)現：對幾何問題的解決，大部分學生不具備幾何綜合試題解決的思維，具體表現為：不能識別圖形中的基本幾何元素；不能根據條件和圖形獲得基本幾何結論；不知道如何添加輔助線；對于所要證明的目標找不到切入點等.

（三）從題旨的內涵看問題的解決

1.從等腰和直角入手，讓“定性”“定量”齊放

兩道題的第一問均考查考生對幾何圖形的基本認知，要求考生尋找圖形基本元素間的定性、定量關系.兩道題均由基本圖形出發(fā)，以特殊的△ABC為主體，促成幾何位置的形成與演化.

2.從題干與設問入手，讓“合情”“演繹”并重

兩道題都是以圓為背景，基于特殊的三角形（等腰或直角三角形）再疊加相關圖形的關系而設置：如圖2，例1題干設置了垂直條件（DE⊥AB），考生可得DF∥BC，第二問又疊加了垂直條件（BG⊥AD），考生亦可得BG∥DC，從而得到DCBH為平行四邊形.同樣在例題2中，題干同時設置了AB=BC，DC=DF的條件，而DC=DF對第一問的解答是沒有作用的，這體現了目前高考評價體系所倡導的“結構不良題”設置的理念.而這條件對第二問則是等線段條件疊加下結論的不變性遞推，如圖4，由兩對線段相等，考生能夠推出AW（AW過圓心）為三角形ABC的對稱軸，AD亦為三角形ACF的對稱軸（命題者的構圖邏輯）.有了這些感知，考生不難獲得角之間關聯.

圖4

兩道例題中的垂直或相等皆為同類條件，同類條件帶來同類結論——平行或軸對稱，這正體現了幾何推理中思維的合情性.上述對試題題旨的理解，不僅能解決問題，還可以助學生發(fā)展推理感，形成邏輯推理的素養(yǎng)。

另外兩道題的題干背景都為圓內接四邊形，不涉及幾何變換；兩道題的解題思路均為先分析小問之間的關聯、結論之間的關聯，再思考結論中要解答的問題.這種思路為“正逆結合”“兩邊挖掘”，已知走一點，求證走一點，慢慢匯集在一起，非常適合平面幾何中較難命題的證明，也體現了初中階段合情推理與演繹推理培養(yǎng)并重的教學模式.

二、綜合幾何問題的考查視角與考試本質

福建省2017年開始中考統一命卷，在幾何的綜合題題面設置上一般是純幾何知識應用，題目的作用體現選拔的功能，因此設計的題面有一定難度.近四年中考幾何綜合題考查的視角一般有以下兩種（以下試題題目略）：

（一）綜合幾何視角

圖5

如圖5所示以圓為背景，基于特殊的三角形為基本圖形背景下，特定狀態(tài)的定性判斷與定量計算.

第（1）問主要考查以特殊的三角形（直角或等腰）為基本圖形下，研究特定狀態(tài)下線或角的定性判斷.如2017年的21題由線垂直證線垂直；2018年的24題由線垂直證線段相等；2019年24題由線段相等證角數量關系等.

第（2）問則是相關圖形條件的疊加而設置，如2018年24題疊加垂直條件，得到平行結論疊加.2019年24題線段疊加相等條件，得到對稱結論疊加，關注的是一些條件疊加下，結論的不變性探究.這些要求，學生不僅要有推理論證的能力，還應該具備類比歸納的數學思維品質.

（二）變換幾何視角

圖6

以變換為工具，尋找一種圖形滿足一定條件下運動后，規(guī)律或結論的不變性探究.

如一些一般性結論的獲得如圖6所示：2017與2020年的第24題一定有共圓；2018，2019年的第21題一定存在平行四邊形等.

兩種考查方式，第一種突出圓的工具功能，利用圓對稱等性質，發(fā)揮導邊導角的作用，第二種突出變換工具的作用，以基本圖形與基本元素的位置及關系為核心，通過圖形變換，研究平面幾何在運動變化過程中，相關元素間的位置關系的不變性和一些量的不變性探究.幾何變換是初中幾何問題解決的核心功能，無論哪一種方式考查，最后都能實現兩種考查方式的融合.這些都要求學生不僅通過合情推理發(fā)現結論，還需要通過演繹推理得出結論.

作為終結性的考試，其本質想從測量學的角度來認識或評估教育現象，它雖不能替代教育評價，但為教育評價帶來了量化依據.福建中考四年來的綜合試題讓學生通過特殊位置的合情推理，猜想結果，探索思路，發(fā)現結論，再利用演繹推理證明這一結論.這種研究方式與教學是一脈相承的.因此理解命題的立意與試題的內涵，才能讓考試為教學服務，為學生的素養(yǎng)養(yǎng)成服務.

三、發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)的幾何綜合題教學啟示

幾何綜合題的一般具體以下特征：涉及的幾何知識點多；涉及數學思想方法多；推理過程的解題距長；幾何要素屬性不聚焦；幾何要素的關系復雜等.《普通高中數學課程標準（2017年版）》降低了以演繹推理為主要形式的定理證明要求［3］，教材中刪去了大量繁難的幾何綜合證明試題.從培養(yǎng)學生的幾何綜合問題解決思維能力而言，如何讓學生具備邏輯推理的能力，以便更好完成幾何綜合問題解決的素養(yǎng)需要關注.

（一）關注問題解決的本源［4］

［案例3］（2020年福建省中考試題第23題）如圖5所示已知C為線段AB外的一點.（1）作CD∥AB，且2AB＝CD；（2）在（1）作圖所得的四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于P點，M、N分別為CD、AB的中點，求證：M、N、P三點共線.

對于第一問：試題明確要求過直線外一個點做已知直線的平行線，本題的立意原本是考察如何作一個角等于已知角，但從學生作答的過程中發(fā)現，學生更多去構造形（平行四邊形或三角形）來實現平行，而不是通過角來刻畫平行.出現這種情況，說明了學生對于兩直線平行（CD∥AB），用誰來刻畫不理解.我們知道幾何位置關系的定義辦法一般用低維來定義高維，即可以用角的關系來刻畫兩條線的位置關系.在教學中我們要讓學生明白：基本作圖最核心的思維是構造相等的線段，而作一條線段等于已知線段，無論是技能操作還是作圖原理，學生比較好掌握.作一個角等于已知角的操作方法，先把已知角放置于一個三角形中，然后用邊邊邊定理去構造一個三角形與這個三角形全等，從而獲得對應的角相等，這一過程的核心思維是構造相等的線段，這一核心思維就成為本小題問題解決的本源。有了這一思維，學生對如何做一個角等于已知角就不會學而不用.

對于第二問：通過增加條件（中點），再根據圖形形成條件，證明一般性的結論.抽取的樣本7萬左右，滿分率只有6.55%.對于第二問典型思路如下：

思路一：如圖7，連接PM，PN.通過AB∥CD及M、N分別為CD、AB的中點，得到△ABP∽CDP，推出又從∠BAP＝∠DCP出發(fā)推出△APM∽△CPN，得到∠APM＝∠CPN，繼而推出M，P，N三點在同一條直線上.

圖7

思路二：如圖8，連接AN交BD于點Q，連接BN交AC于點O.通過AB∥CD及M、N分別為CD、AB的中點，得到四邊形ABCN，ABND為平行四邊形，得到O，Q分別是BN，AN中點，得到AO，BQ為△ABN的中線，且相交于點P.再去證明M，N過P即可.本思路契合命題的立意，求證：三角形的三條中線交于一點（三角形重心的性質）.

圖8

思路三：如圖9，由AB∥CD，推得△ABP∽△CDP，得到又AC，BD交于點P，得到△ABP與△CDP是位似圖形，且位似中心為P.又M，N為AB，CD的中點，且AB，CD為此位似圖形的對應線段，M，N也是此位似圖形的對應點，根據位似圖形的定義，連接MN，則MN經過位似中心P，即M，N，P三點共線.

圖9

教學思考：通過解答可以發(fā)現以上無論哪一種思路，學生首先要明白何為三點共線？共線是一種定性表達，如何用定量來刻畫它？常用的定量刻畫可以通過證相鄰的角互為補角；其中一邊共線的對頂角相等；同平行一直線的兩直線平行；一些命題的結論（重心的性質、位似的定義）以及其中一點滿足另外兩點所在的直線上等.造成學生解答不出來的原因：如何將共線的定性說明用定量問題來處理.幾何的平直性問題的理解與運用思維欠缺.

本源從研究問題的方法看，應該指研究問題的本質與起源，幾何問題解決的本源就是利用對稱性、平直性去推導圖形基本元素的各種特征及相關元素的相互關系.在初中階段，對稱性不僅在幾何中體現，如圖形的全等，本質上就是研究某個圖形對于某一條直線的對稱反射關系［5］；絕對值也是研究某段數值在數軸上關于原點對稱的具體反映，三類初等函數（一次，二次，反比例）的增減性問題也都是研究它關于某直線的一側性質后反射出另一側的情況等.因此“對稱性”要成為解決問題的一種觀念，“對稱”能讓思維減半.平直性包含平行與重合，2020年福建中考的23題的各種解答都在指向平直性問題的理解與應用.

《課標》中幾何內容，要求從這幾個基本事實出發(fā)，推導三角形及四邊形的一些基本性質和判定，讓學生體會歐氏幾何的精髓，感受局部的公理體系.其中的兩條平行線所得的同位角相等的性質與判定事實導向“平直性”應用的基本事實；三角形全等的判定與性質事實則是導向“對稱性”應用的基本事實.

（二）關注“圓”“變換”的性質功能

《課標》對于幾何證明中推理僅限于三角形，四邊形的重要性質運用，對“相似形”“圓”的內容中不再要求證明相關的結論，但是我們發(fā)現如果利用好“相似形”“圓”的工具功能，對綜合幾何問題解決的思維提升至關重要.“相似形”它也是一種縮放變換，是合同變換的拓展，是定性問題轉定量研究的工具；“圓”中的軸對稱性，旋轉不變性則是導邊導角的工具，它對直線性有統籌的功能.

1.圓的性質功能

圓的基本性質從對稱的角度去理解，可以有軸對稱、旋轉對稱以及旋轉不變性等對于軸對稱的試題要關注補全圖形，還原基本性質中的基本圖形；旋轉對稱要關注以弧導角，用角找弧；旋轉不變性則是實現了等角之間的聯系.

［案例4］（2020年福州市中考適應性試卷第24題）如圖10，四邊形ABCD內接于⊙O，AC為⊙O的直徑，DB=DC，過點C作CD ⊥BD，垂足為E，交AB于點F，交DA的延長線于點G.

圖10

（1）求證：GA=GF；

（2）若AG=2，DC=8，求AC的長.

分析：從題目的條件出發(fā)，將條件放大可以找到兩類三角形：①等腰三角形：△DBC，△GAF；②直角三角形：△DAC，△BAC，△DGC，△BFC，△DEC，△DEG，△BEC，△BFE等.第（1）問中，要證GA=GF，轉而求證∠GAF=∠GFA，利用外角及對頂角關系即可得到∠AFG=∠BFC=∠DBC=∠DCB=∠GAF.第（2）問中，所給的條件AG=2，DC=8，它們所在的三角形只有邊之間有不變關系，具體量不好求得.可以尋找結論轉移，將求AC的長轉移成求AD的長，思考AD與FC的數量關系.通過測量及猜想得到CF=2AD，再通過推理證明這一結論，進而結論繼續(xù)轉移，去求AD與CF的位置與數量關系.

教學思考：本題的關鍵就是回歸圓的基本性質，識別圓的性質定理圖形，如有共端點的等線段，尋找等線段所在圖形的軸對稱性.發(fā)現點D，O在對稱軸上，推導出ADOB為平行四邊形.另外直線形問題的分析方法是：執(zhí)果索因，因為需要研究的是線段之間的關系，需要把它們放在可以確立關系的圖形（△DGC）中才可能實現，那么就需要尋找未知的線段（AD）與（CF）之間的數量關系。

2.變換工具作用

［案例5］（2018年北京市豐臺區(qū)初三模擬考試卷）

如圖11，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB.過點C在△ABC外作射線CE，且∠BCE=α（0°＜α＜45°），點B關于CE的對稱點為點D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CE于點M，N.用等式表示線段AM，CN之間的數量關系，并證明.

圖11

分析：依據測量（AM=kCN），探究特殊位置（α=0°或45°）時候K的取值，猜想而后將轉移成某線段，再證明線段相等.構造的方法可以是：如圖12，以CN為邊，C或N點為直角頂點，構造等腰直角三角形；以點C為銳角頂點構造一個等腰直角三角形CFN或CNG；還可以將CN轉化為兩線段和、用AM表示CN或者轉為線段比的方法求證.無論如何轉移，最終都是構造全等或者相似.

圖12

教學思考：幾何變換的試題一定要關注的是我們需要什么，若是需要等量關系，力求構造全等；若是需要線段之間的數量關系，則需構造一圖形使得邊長得以轉移.

（三）關注問題解決的抓手

面對幾何綜合試題，我們需要思考的是，為什么要添加這樣的輔助線？添加輔助線后形成了什么問題？為什么高線會成為比較常見的輔助線？構造全等三角形與構造特殊三角形之間有什么關聯？能進行幾何變換的一些“標志”是什么？如何用好銳角三角函數求角的工具？如何理解三角形的可解？

對于一個幾何問題，如果我們發(fā)現它的基本圖形存在一個或者若干個不完整的情況，那么我們嘗試著把這些基本圖形補充完整，［6］如垂經定理的基本圖中，若有垂直即可延長被垂直的線段，然后再用垂徑定理的相關結論.所以添加輔助線的目的是為了把不完整的基本圖形補全，使得能形成結論的基本圖形的性質得到應用而完成證明；為什么高線會成為比較常見的輔助線？添加高線，可將斜三角形問題轉化為直角三角形問題進行處理，而在直角三角形中，勾股定理顯然是解決數量關系的重要工具；構造全等，實現的是圖形之間的轉移和變換，而構造特殊三角形，則是實現形中的角與線段的數量的轉移；抓住共端點、等線段，這一定是幾何變換（全等）的“標志”；圓對原來的線段、角及三角形帶來的變化就是能把不在同一個三角形的邊角轉化為同一個三角形中，銳角三角函數的函數值只與這一銳角的大小有關，結合圓中導角功能，將角轉到所需的較易求得的三角形中，只要這個三角形穩(wěn)定，它就一定可解.

初中階段的邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)，對一個人在數學思維的品質發(fā)展上極為重要.數學思維不僅有探究活動的合情推理過程，這過程包含著直覺、類比、聯想與感知，還要有嚴謹理性的證明過程（演繹推理）.小學階段讓學生直觀感悟合情推理的素養(yǎng)，初中階段要關注幾何綜合試題問題解決的思維能力培養(yǎng)，教學中多思考合情與演繹如何結合，讓學生逐步形成邏輯推理素養(yǎng)，進而進入高中階段的學習.