基于自適應干擾觀測器的輸出反饋控制器設計

宋欣，王娜，b，何敏

(青島大學 a.自動化學院; b. 山東省工業控制技術重點實驗室，山東 青島 266071)

0 引言

在復雜環境中,影響系統的干擾來自多方面,如測量噪聲、未建模動態、建模誤差及外部不同環境的干擾。這些干擾因素不僅影響系統的控制精度，而且破壞系統的穩定性。因此，已有文獻嘗試了許多控制策略，研究系統的抗干擾控制問題[1-2]。

為減少外部干擾對系統的影響，提高系統性能，最直接的辦法是測量外部系統產生的干擾，利用干擾的測量值，在控制器中加入前饋補償，抵消外部干擾對系統的影響。然而，干擾一般是不能直接測量得到的。為解決這個問題，干擾估計已經得到了業內人士的廣泛關注，并且提出了許多解決方案，例如擴張狀態觀測器[3]、自適應估計[4]和等價輸入干擾[5]等方法。20世紀80年代末，基于干擾觀測器的控制方法(DOBC)被提出并廣泛應用于控制系統中。在干擾觀測器設計過程中，首要任務是確定觀測器增益，使干擾估計誤差快速收斂為0。為構造干擾估計動態誤差系統，需要獲得干擾的導數信息。文獻[6]提出一種非線性干擾觀測器，該觀測器克服了線性觀測器在摩擦補償、獨立關節控制等方面的缺點，在求解穩態誤差時，假設干擾的導數為0，滿足系統收斂條件，觀測器能快速估計干擾。文獻[7]提出一種滑模非線性觀測器，假設未知干擾項上界已知，觀測器能夠在有限時間內估計系統狀態和未知干擾。文獻[8]假設外部系統模型中參數矩陣已知，提出一種基于全維觀測器的輸出反饋復合抗干擾控制方法，極大地提高了系統的抗干擾能力。

上述文獻假設干擾恒定(或緩慢時變)、有界或參數矩陣已知，但在實際中很難求取精確的參數矩陣或者保證干擾在穩定狀態下是恒定值。文獻[9]提出了一種基于自適應干擾觀測器的控制方法(ADOBC)，引入自適應律估計未知參數矩陣，克服干擾對系統產生影響。此方法與之前文獻提出的方法相比更具實用性。

從上述文獻可知，針對參數矩陣未知的外部系統產生的干擾，在干擾觀測器中引入自適應律能很好地解決此問題。本文針對輸入輸出皆有非線性和外部干擾的系統，設計一種基于自適應干擾觀測器的輸出反饋控制器。構造自適應律來估計未知參數矩陣，利用得到的估計信息設計復合控制器，控制器增益和觀測器增益用線性矩陣不等式(LMI)求解，通過仿真驗證了本文提出方法可以將外部干擾準確估計出來，降低外部干擾對系統的影響，提高系統的抗干擾能力。

1 系統動力學模型

考慮以下狀態和輸出方程均具有非線性和外部干擾的動態系統[10]：

(1)

y(t)=C0x(t)+F02f02(x(t),t)+D0d(t)

(2)

z(t)=Czx(t)

(3)

其中：x(t)∈Rn是狀態向量；u(t)∈Rm是控制向量；y(t)∈Rr是測量輸出向量；d(t)是外部系統產生的干擾；z(t)是H∞性能參考輸出；A0、B0、C0、D0、F01、F02和Cz是已知的系統矩陣；f01(x(t),t)和f02(x(t),t)是非線性部分。

假設干擾是由以下外部系統產生的

(4)

d(t)=Vw(t)

(5)

其中：w(t)Rk是干擾d(t)的狀態向量；V是已知矩陣；W是一個具有已知維數的未知有界常實數矩陣，‖W‖<ε。

假設1：對于任意的xj(t)∈Rn，j=1，2，非線性函數f0i(x(t)，t)(i=1，2)滿足f0i(0，t)=0，i=1，2，

‖f0i(x1(t),t)-f0i(x2(t),t)‖≤‖Ui[x1(t)-x2(t)]‖。

假設2：(A0，B0)是可控的，(W，B0V)是可觀的。

引理1：對于任意正標量λ

其中X和Y是具有適當維數的任意矩陣。

引理2：對于有適當維數的向量x和y，有

xTy=tr(xyT)

其中tr(xyT)是矩陣xyT的跡。

2 自適應干擾觀測器設計

控制系統中存在外部干擾，考慮外部系統中參數矩陣W未知的情況，需要觀測器對其進行估計，對x(t)和w(t)設計狀態觀測器和干擾觀測器如下：

(6)

(7)

(8)

(9)

全維系統可以寫成：

(10)

y(t)=Cη(t)+F2f2(η(t),t)

(11)

f1(η(t),t)=f01(x(t),t)；f2(η(t),t)=f02(x(t),t)。

對x(t)和w(t)設計全維觀測器可以寫為：

(12)

(13)

定義系統的估計誤差

那么e(t)的微分方程為

(14)

根據假設1，可以證明

定理1 自適應律滿足

(15)

存在對稱正定矩陣P,矩陣Y、R滿足

(16)

(17)

證明：選擇Lyapunov函數

(18)

因此，根據式(16)，V1(t)的微分方程為

(19)

其中

根據假設1和引理1，可以證明

(20)

(21)

不等式Λ1<0，利用Schur補性質可得定理1中式(17)，若式(17)成立，則Λ1<0成立。

3 基于自適應干擾觀測器的輸出反饋控制器設計

設計復合抗干擾動態輸出反饋控制器為

(22)

(23)

(24)

其中：xk(t)是動態輸出反饋控制器的狀態；Ak、Bk、Ck、Dk、Nk1、Nk2是待定的動態輸出反饋控制器系數矩陣。

將控制器帶入式(1)，得到

則控制器改寫為

(25)

(26)

z(t)=Czx(t)=CzTξ(t)

(27)

定理2 設定H∞性能指標γ，正實數α、r、θ，滿足下列條件

若δ(t)=0，則limt→∞ξ(t)=0

若δ(t)≠0，則

(28)

那么H∞性能指標為γ的閉環系統式(26)-式(27)穩定。

(29)

Γ+ΓT+2αΘ<0

(30)

(31)

(32)

其中：

可以得到控制器增益矩陣：

證明：選擇Lyapunov函數

ξT(t)Pξ(t)

(33)

由假設1可以得‖f01(x(t),t)‖≤‖U3x‖，所以V2(t)的微分方程為

(34)

(35)

(36)

(37)

利用Schur補性質得

其中：

φ12=A0+B0DkC0+(P1A0Q1+P2BkC0Q1)T+

φ22=P1A0+(P1A0)T+(P1B0DkC0)T+P2BkC0+

P1B0DkC0+(P2BkC0)T。

令：

(38)

不等式Λ3<0等同于定理2中式(29)，若式(29)成立則J(t)<0成立，那么H∞性能指標為γ的閉環系統式(26)-式(27)穩定。

(39)

(40)

(41)

4 仿真結果及分析

考慮具有外部干擾的非線性系統式(1)-式(3)中

系統模型中的非線性部分假設為：

f01(x(t),t)=f02(x(t),t)=sin(2π5t)x2(t)；

U1=diag{0，1，0，0}，U2=U3=U1；

本系統中干擾由外部系統產生，其參數矩陣

選擇控制器的H∞性能等級為γ=7，定理2的LMI區域為(2，20，π/6)，選擇對稱正定矩陣X=I2，系統初始狀態為其他參數r1=1，r2=1。

通過LMI求得的觀測器增益和控制器增益如下：

圖1 系統狀態x1的實際值和估計值

圖3 系統狀態x3的實際值和估計值

圖4 系統狀態x4的實際值和估計值

圖5 干擾d1的實際值和估計值

圖6 干擾d2的實際值和估計值

圖7 外部系統不準確時干擾d1的實際值和估計值

圖8 外部系統不準確時干擾d2的實際值和估計值

5 結語

本文針對輸入輸出皆有非線性和外部干擾的系統，構造一個自適應干擾觀測器來估計外部干擾，應用估計值設計輸出反饋復合控制器，補償和抑制干擾對系統的影響。仿真結果表明，在外部系統參數矩陣未知的情況下，基于自適應干擾觀測器的復合控制方法可以有效地抑制外部干擾，保證系統的穩定性，提高系統抗干擾能力。