一種吹瓶機取送瓶機械手取瓶運動的改進設計

葛嵇南，馮志華

(蘇州大學 機電工程學院，江蘇 蘇州 215021)

0 引言

我國塑料機械已成為機械制造業發展最快的行業之一，年需求量在不斷地加大[1]。目前，高速PET吹瓶機已有了長足的進展。如克朗斯新型高速吹瓶機Contiform 3 Speed，單模產能已達到2 750 BPH，最高設備產能達到82 500 BPH[2]。旋轉式吹瓶機作為一種新型的高效吹瓶設備，逐步取代直線式吹瓶機，占據主要的市場份額，并逐步向吹—貼—灌—旋一體機發展[3]。

旋轉式吹瓶機作為吹—貼—灌—旋一體機中最關鍵的一環，它的運行速度決定了機器整體的工作效率。凸輪作為旋轉式吹瓶機取送瓶(坯)機構的關鍵傳動零件，控制著機械手的運行軌跡。在設計機械手凸輪輪廓曲線時，文獻[4]采用擺線規律和簡諧規律作為取、送瓶凸輪的升程和回程規律，這使得凸輪曲線比較平滑，曲率波動較小。文獻[5]通過三次插值函數對機械手運動軌跡進行了擬合，并配以試驗表明吹瓶機的出瓶質量及效率得到了提高，減小了振動和噪聲。

現有文獻報道對機械手運動的設計偏簡單，未考慮到每個階段之間機械手加速度銜接的連續性，因此設計一條保證加速度連續的凸輪輪廓曲線是機械手運行穩定的最低保障。本文以實現取送瓶加速度的連續性為基本條件，提出了以五次多項式擬合靠近階段運動規律，并利用三次樣條函數對同步階段進行擬合的設計方法，為實際設計制造提供參考。

1 機械手運動參數方程的建立與改進

旋轉式吹瓶機凸輪機構簡圖如圖1所示，OO1為主動盤，繞O點順時針勻速轉動；O1O4為擺動凸輪從動件，在主動盤的帶動下沿著軌跡繞O1做相對擺動運動；O1O3為直動凸輪從動件，在主動盤的帶動下沿著軌跡做相對直線運動。

圖1 機械手各機構簡化圖

本文以機械手取甁動作為例進行分析。將取甁階段運動軌跡分為三段：取甁靠近階段、取甁同步階段和取甁退出階段，并采用復數矢量法導出平面凸輪機構的輪廓參數計算式[6]。

1.1 機械手軌跡方程的建立

建立矢量模型如圖2所示。以主動盤回轉中心O為原點，主動盤回轉中心與模腔回轉中心的連線OO′為極軸，逆時針方向為正方向建立極坐標系。

圖2 機械手取甁矢量圖

為保證機械手能準確取到瓶子，在靠近階段機械手直動手臂需指向模腔中心即點O2、O4、P在一條直線上。曲線SABC為機械手運行軌跡，A點為靠近階段起點位置，B點為同步階段起點位置，C點為同步階段終點位置。吹瓶機主動盤回轉半徑為R，模腔回轉半徑為r，主動盤回轉中心與模腔回轉中心的圓心線長度為o。凸輪盤的轉速與模腔回轉速度成正比，比值為η，由此可以推斷出φ與φ′之間的比值也為η。表1給出吹瓶機各部件的基本尺寸。

表1 吹瓶機的部件尺寸

假設機械手OO4的長度為ρ，順時針方向與極軸的夾角為ω。因此可得機械手運動軌跡矢量方程如下：

OO4+O4P=OO′+O′P

(1)

轉化為歐拉方程：

ρejω=o+rej(π-φ′)-Sej(φ+θ)

(2)

其中：

OO2+O2P=OO′+O′P

(3)

Rejφ+lej(φ+θ)=o+rej(π-φ′)

(4)

可得θ的函數如下：

(5)

整理后可得參數方程為：

(6)

結合矢量圖和參數方程可將這段運動分為兩段，第一段：機械手在心與模腔之間的距離S在不斷減小，直至為0，這一階段可稱之為取瓶靠近階段；第二段：機械手心與模腔完全重合，機械手完全跟隨模腔的軌跡運動，這一階段稱之為取瓶同步階段。

1.2 曲線規律的改進

分析上文得出的機械手運動軌跡參數方程，ρ、ω、θ都是關于φ的變量，只有S的變化規律是不確定的，因此需要設計出一種函數規律以保證機械手運動軌跡的平穩流暢。對于S的規律函數文獻[4]采用擺線規律，如式(7)所示。

(7)

此規律在靠近階段直動凸輪的加速度變化很大，會對凸輪機構造成很大的沖擊，為減小控制機械手的直動凸輪最大加速度，同時保證機械手運動軌跡在取甁靠近階段前后加速度連續，本文將高階插補方法與可行的凸輪曲線動態改進模型相結合，建立確定最優高階運動參數的改進模型[7-8]。最終采用五次多項式運動規律對運動軌跡進行改進設計，并根據機械手的實際運動規律設計出理想的邊界條件。

本文根據吹瓶機實際工況設計出以下機械手運動規律：在靠近階段，機械手在徑向做減速運動；機械手在到達夾取目標位置的時候預留一小段空隙，此時徑向速度和加速度都變為0，留一小段空隙是為在同步階段能更好地進行速度和加速度匹配。如圖3所示，與常規設計運動軌跡曲線SA′BC′相比。改進后的運動軌跡SA′B′C′在取瓶同步時速度、加速度銜接得更順暢平緩。

圖3 軌跡改進前后對比示意圖

設S關于φ的五次函數S(φ)，如式(8)所示。將函數S(φ)帶入ρ的參數方程，因為S(φ)有6個未知系數，因此需要設置6個邊界條件：始末位移、始末速度、始末加速度。

S(φ)=C0+C1φ+C2φ2+C3φ3+C4φ4+C5φ5

(8)

始末位移直接采用現有的設計參數，而在末尾位置時空缺一小段距離，根據機械手偏置的誤差距離，設ST=0.5 mm；選出合理的初始徑向速度以及徑向加速度。而終止徑向速度和加速度是在設計運動軌跡時就已確定，都為0。機械手在靠近階段的邊界條件如表2所示。

表2 機械手靠近階段邊界條件

為了保證高速運動的平穩性，機械手運動軌跡曲線需要在靠近階段與同步階段結合點二階導數連續。在實際加工中是選取曲線上的點，然后再形成輪廓曲線。因此基于這樣的實際情況，本文提出一種新的規律曲線設計方法對原有規律進行改進，方法如下。

機械手在抓取瓶子的實際工況中，因其手指是由彈簧進行約束的，在誤差允許的情況下，機械手在跟隨階段的運行軌跡可以略微有些偏差，只需在整個過程中大體上跟著模腔運動。基于這種工況，在設計機械手同步階段中，無需完全同步整個軌跡。因此利用三次樣條插值函數的特性，結合機械手運動軌跡的基本要求，只要在原有的精確軌跡上取足夠的點，并進行擬合，可以求出一條既在誤差允許范圍之內又能保證在銜接處速度、加速度平穩連續的規律曲線。

首先將同步階段極坐標方程轉化為直角坐標方程：

(9)

將原有取甁同步階段運動軌跡劃分為n個小區間，任取小區間[xi-1,xi]，

si(x)=ai+bix+cix2+dix3，i=1,2,…,n

(10)

其中待定系數是ai、bi、ci、di，共有4n個。

表3是對本文機械手進行的取點，在機械手到達銜接位置時，主動盤每轉動1°就在原軌跡上取1個點。

表3 三次樣條函數點集

第二類邊界條件:

綜上可以求得機械手在同步階段的三次樣條擬合曲線。

2 建立機械手凸輪曲線參數方程

確定好機械手運動軌跡參數方程后，可由軌跡方程反推出擺動凸輪和直動凸輪的運動軌跡。將機械手凸輪結構進行簡化后如圖4所示，凸輪結構與上文機械手運動軌跡在同一極坐標系里，因此這里不再設置坐標系。圖中OO1為主動盤，半徑為R；O1O2為擺動從動件，長度為N；O1O3為直動從動件，長度為M，與擺動從動件之間的夾角為ε，與主動盤之間的夾角為θ；O3O4為機械手臂，長度為m。凸輪結構各部件尺寸如表4所示。

表4 機械手凸輪機構的部件尺寸

從圖4中可以列出機械手的矢量方程：

OO3=OO1+O1O3

(11)

轉化為歐拉方程：

ρejω=Rejφ+lej(φ+θ)

(12)

(13)

擺動凸輪的軌跡方程為：

OO4=OO1+O1O4

(14)

轉化為歐拉方程：

RBejb=Rejφ+Nej(φ+θ+ε)

(15)

由此可得擺動凸輪的參數方程為：

(16)

直動凸輪曲線方程：

OO2=OO1+O1O2

(17)

轉化為歐拉方程：

RZeja=Rejφ+Mej(φ+θ)

(18)

其中M=l-m。

由此可得直動凸輪的參數方程為：

(19)

圖4 機械手與凸輪結構關系矢量圖

3 改進設計結果分析

考慮到壓力角與凸輪轉角的關系[9]，當壓力角增到一定數值時，由于摩擦阻力大于有效分力，機構將發生自鎖。有時機構雖然沒有自鎖，但是過大的壓力角會導致摩擦損耗增大，傳動效率低，加劇零件的磨損。

圖5、圖6為改進前后擺動凸輪和直動凸輪壓力角隨運動時間變化的曲線圖。

圖5 擺動凸輪改進前后壓力角結果對比

圖6 直動凸輪改進前后壓力角結果對比

擺動凸輪的最大壓力角為10°，根據表5給出的工程推薦許用壓力角[10]可知，是遠小于45°，在同樣的尺寸大小下，改進前后擺動凸輪的壓力角并沒有變化，是保持一致的。但是直動凸輪的壓力角由之前的劇烈波變得連續平緩，同時改進前的最大壓力角為35°，僅僅滿足最低要求，而且在銜接點處還是斷開的。改進后的直動凸輪壓力角有了明顯的改進，不僅最大壓力角為13.5°，遠小于所允許的最大壓力角，而且在銜接點處壓力角保持連續的。由圖7可知與改進前的方案相比，擺動凸輪的相對速度并沒有發生變化，這也可由推導出的公式得知。從圖8中可以看出改進前直動凸輪的相對速度從3.7 m/s急劇降低到-3 m/s，然后再回到2.1 m/s，并且在銜接點處還存在速度斷點，與之相比改進后的相對速度變化則比較平緩，沒有突然變大或變小，而且在銜接點處速度連續。

表5 凸輪機構許用壓力角值

圖7 擺動凸輪改進前后滾子相對角速度結果對比

圖8 直動凸輪改進前后滾子相對速度結果對比

圖9為擺動凸輪改進前后滾子的相對角加速度圖。從圖中可以看出，改進前后的相對角加速度沒有變化，這也符合推導出的公式。圖10為改進前后的直動凸輪相對加速度對比圖。改進前的加速度呈波浪型上下浮動，且幅度較大，最大加速度能達到2000 m/s2，而改進后的相對加速度幾乎呈一條直線，與同步階段的相對加速度保持一致。

對機械手的參數方程(ρ,ω)進行求導，求出徑向速度、加速度和切向速度、加速度，如式(20)所示。

(20)

圖9 擺動凸輪改進前后滾子相對角加速度結果對比

圖10 直動凸輪改進前后滾子相對加速度結果對比

通過極坐標速度、加速度合成公式推導出機械手的絕對速度和加速度如式(21)、式(22)所示。

(21)

(22)

由此可以分析得出機械手的速度、加速度隨時間變化情況，如圖11、圖12所示。

圖11 機械手改進前后絕對速度結果對比

圖12 機械手改進前后絕對加速度結果對比

在同樣的結構和工況下，改進前機械手的絕對速度上下波動逐漸變得平緩，而改進后的速度則是均勻變化從低到高直至達到平穩；改進前絕對加速度呈“M”型大幅波動，與之相比，改進后的絕對加速度則變得平緩并且與同步后的加速度基本保持一致。

4 結語

本文首次將五次多項式應用于取瓶靠近階段，根據實際工況設計出合理的邊界條件，同時還將理想運動曲線與實際工況相結合，提出用三次樣條函數對同步階段運動曲線進行擬合。期望能夠降低機械手在運動過程中的最大加速度，并為機械手設計提供理論與方法指導，具體結論如下：

1)在取瓶靠近階段將機械手徑向運動設置為減速運動，同時在銜接點處不與理論點相重合，而是在誤差允許范圍內偏移一定距離，讓機械手過渡得更平穩。

2)通過設計計算出邊界條件，并采用五次多項式對靠近過程的運動軌跡進行擬合，比原有設計采用的擺線規律相比整個運動過程中的速度、加速度都有大幅度降低，使得運動過程更穩定。

3)對同步階段的運動軌跡進行取點，使用三次樣條函數進行擬合，在誤差允許范圍內不僅能保證機械手在同步過程中與模腔同步，還與靠近階段改進設計方案相匹配，使得銜接處速度、加速度更平穩。