圖形變換題的設計思路及應對策略

文 夏濟軍

圖形的變換主要以圖形為載體，通過對圖形的平移、翻折、旋轉等方式，將圖形的位置改變，并以此考查同學們分析問題和解決問題的能力。現結合2020年中考試題，從命題者的角度談談此類題目的設計思路及應對策略，希望對大家的學習有所幫助。

一、設計對稱

例1（2020·江蘇鹽城）如圖1，已知點A（5，2），B（5，4），C（8，1），直線l⊥x軸，垂足為點M（m，0），其中若△A′B′C′與△ABC關于直線l對稱，且△A′B′C′有兩個頂點在函數的圖像上，則k的值為________。

圖1

【命題思路】（1）本題考查坐標的對稱變換，由m的取值范圍m＜，得△A′B′C′的3個頂點落在第二象限；（2）△A′B′C′有兩個頂點落在反比例函數y=的圖像上，考查了同學們分類討論的意識。

【應對策略】第一步：因為△A′B′C′與△ABC關于直線x=m對稱，所以縱坐標不變，橫坐標之和的一半等于m，不妨設A′（x′，2），則=m，所以x′=2m-5，所以A′（2m-5，2）、B′（2m-5，4）。同理可求出C′（2m-8，1）。

第二步：分類討論。當函數圖像經過A′、C′兩點時，k=xy=2（2m-5）=1（2m-8）；當函數圖像經過B′、C′時，k=xy=4（2m-5）=1（2m-8）；當函數圖像經過B′、A′時，這種情況不存在。分別解得m=1或2，所以k=-6或-4。

二、設計平移

例2（2020·河南）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，邊BC在x軸上，頂點A、B的坐標分別為（-2，6）和（7，0）。將正方形OCDE沿x軸向右平移，當點E落在AB邊上時，點D的坐標為（ ）。

圖2

【命題思路】通過平移變換、坐標與線段長度之間的轉化，著重考查了同學們動手操作的能力和對正方形的性質、基本的相似圖形以及銳角三角函數的運用能力，同時還考查了一次函數方面的有關知識。

【應對策略】首先將點的坐標轉化為線段長，由點A（-2，6）可知OC=2，即正方形OCDE的邊長為2，所以正方形OCDE沿x軸向右平移不改變點D的縱坐標2。如圖3，先畫出平移后點E落在AB上的示意圖，思路1：抓住相似三角形的基本圖形（正A型），由△BO′E∽△BCA可求得O′B=3，從而推算出點D的坐標為（2，2）；思路2：分別在Rt△ABC和Rt△EBO′中表示出tan∠ABC=tan∠EBO′得解；思路3：在求得直線AB函數表達式的基礎上，令縱坐標等于2，求得點E的橫坐標，由正方形邊長為2，可以推算出點D的坐標。

圖3

三、設計旋轉

例3（2020·江蘇蘇州）如圖4，在△ABC中，∠BAC=108°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到△AB′C′。若點B′恰好落在BC邊上，且AB′=CB′，則∠C′的度數為（ ）。

A.18° B.20° C.24° D.28°

圖4

【命題思路】利用三角形旋轉的不變性（三角形形狀、大小不改變，對應點到旋轉中心的距離不變），如∠C′=∠C、AB=AB′，構造等腰三角形，考查了同學們對旋轉變換的理解和運用方程解決問題的意識。

【應對策略】“設小表大”，列方程求解。所謂“設小表大”，就是設較小角的度數為x，并用含x的代數式表示出與之相關的較大角，然后從中找出相等關系并列出方程，最終解決問題。設∠C′的度數為x，則∠C=x，因為AB′=CB′，所以∠B′AC=x。接著利用△AB′C的外角表示出∠AB′B=2x，由旋轉得AB=AB′，所以∠B=∠AB′B=2x。在△ABC中，據三角形的內角和等于180度可列方程x+2x+108=180，所以x=24，即∠C′的度數為24°。

圖形的變換歷來是中考考查的重要內容，我們只要抓住圖形變化過程中變化的特征和規律，找準變化前與變化后始終保持不變的量，就能以不變應萬變，解決多種問題。