小問(wèn)題 大盤(pán)點(diǎn)

文 鄒苗苗

16世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾在蜘蛛結(jié)網(wǎng)的啟發(fā)下創(chuàng)建了平面直角坐標(biāo)系，從而將數(shù)學(xué)中的代數(shù)與幾何建立了聯(lián)系。在平面直角坐標(biāo)系中，我們可以將平面內(nèi)的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。為了更精準(zhǔn)地指導(dǎo)大家，老師現(xiàn)將涉及坐標(biāo)問(wèn)題的一些典型錯(cuò)誤進(jìn)行梳理歸類(lèi)，并剖析其錯(cuò)誤的根源，供同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中借鑒和參考。

一、對(duì)坐標(biāo)的理解

例1點(diǎn)M是第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，且到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為3，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（____，___）。

【錯(cuò)解】點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，-3）或者（-4，3）。

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解是將點(diǎn)到x軸的距離當(dāng)作橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，將到y(tǒng)軸的距離當(dāng)作縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，從而導(dǎo)致橫、縱坐標(biāo)混淆。還有的錯(cuò)解是混淆了坐標(biāo)的符號(hào)特征，從而導(dǎo)致坐標(biāo)符號(hào)錯(cuò)誤。在平面直角坐標(biāo)系中，確定一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的方法為：過(guò)該點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，垂足表示的數(shù)即為該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；過(guò)該點(diǎn)作y軸的垂線(xiàn)，垂足表示的數(shù)即為該點(diǎn)的縱坐標(biāo)。同時(shí)，在此過(guò)程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)（x，y）到x軸的距離為 ||y，到y(tǒng)軸的距離為 ||x。

【正確解答】在本題中，點(diǎn)M到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為3，點(diǎn)M在第四象限，所以過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)，垂足表示的數(shù)為3，過(guò)點(diǎn)M作y軸的垂線(xiàn)，垂足表示的數(shù)為-4，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，-4）。提煉一下也可得到如下規(guī)律：到橫看縱，到縱看橫，符號(hào)看象限。

二、坐標(biāo)的特征不清晰

例2已知點(diǎn)A（b-4，3+b），B（3b-1，2），AB⊥x軸，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________。

【錯(cuò)解】依題意得3+b=2，所以b=-1，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，2）。

【錯(cuò)因分析】通過(guò)畫(huà)圖，我們不難發(fā)現(xiàn)與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：與x軸垂直，橫坐標(biāo)x相等；與y軸垂直，縱坐標(biāo)y相等。錯(cuò)解是通過(guò)AB⊥x軸得到了縱坐標(biāo)y相等，混淆了點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系。

【正確解答】根據(jù)題意，得b-4=3b-1，所以代入點(diǎn)A（b-4，3+b），得點(diǎn)A的坐標(biāo)為。

三、對(duì)坐標(biāo)中對(duì)稱(chēng)的理解

例3在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P1（a-1，6）和P2（3，b-1）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則a+b的值為_(kāi)_______。

【錯(cuò)解】由題意得a-1=-3，b-1=6，所以a=-2，b=7，所以a+b=5。

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)誤理解了點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系。通過(guò)畫(huà)圖，我們可以得到點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-y），點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，y），點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，-y）。我們可以歸納出如下規(guī)律：關(guān)于橫軸橫不變，關(guān)于縱軸縱不變，關(guān)于原點(diǎn)一切皆變。

【正確解答】由題意得a-1=3，b-1=-6，所以a=4，b=-5，所以a+b=-1。

四、對(duì)坐標(biāo)中距離的理解

例4 若點(diǎn)（6-2a，a+6）到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______。

【錯(cuò)解】令6-2a=a+6，得a=0，代入原坐標(biāo)，得點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，6）。

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解是認(rèn)為點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等就等同于橫縱坐標(biāo)相等，但事實(shí)上，點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等意味著橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，而橫縱坐標(biāo)有正有負(fù)，所以橫縱坐標(biāo)應(yīng)該是相等或者互為相反數(shù)的關(guān)系。因此，我們?cè)趯⒕嚯x轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)時(shí)，一定要考慮坐標(biāo)的正負(fù)性，否則很容易出現(xiàn)漏解的情況。

【正確解答】令6-2a=a+6或6-2a=-（a+6），解得a=0或12，所以該點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，6）或（-18，18）。

例5 已知直線(xiàn)a平行于x軸，點(diǎn)M（-2，-3）是直線(xiàn)a上的一個(gè)點(diǎn)。若點(diǎn)N也是直線(xiàn)a上的一個(gè)點(diǎn)，MN=5，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為_(kāi)_____。

【錯(cuò)解】由題意可知直線(xiàn)a是過(guò)點(diǎn)M（-2，-3）且平行于x軸的一條直線(xiàn)，直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，所以由MN=5得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為-2+5=3，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，-3）。

【錯(cuò)因分析】如果能根據(jù)題意畫(huà)出草圖，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析，不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)N也可以在點(diǎn)M的左側(cè)。

【正確解答】點(diǎn)N的橫坐標(biāo)應(yīng)為-2+5或-2-5，縱坐標(biāo)不變，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，-3）或（-7，-3）。

在涉及坐標(biāo)類(lèi)的問(wèn)題中，上述幾種錯(cuò)誤比較常見(jiàn)。實(shí)際上，這些問(wèn)題的出現(xiàn)，其根本原因是我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中沒(méi)有抓住圖形去全面分析問(wèn)題。因此，如果我們每做一道坐標(biāo)類(lèi)問(wèn)題，都能結(jié)合圖形予以分析，做到數(shù)形結(jié)合不分離，那么錯(cuò)誤率自然會(huì)大大降低。