有關統計與概率的那些典型題型

文 王 磊

專題復習：統計與概率

領 銜 人：王 磊

組稿團隊：江蘇省連云港市海州實驗中學

“統計與概率”是初中數學非常重要的知識。通過這部分內容的學習，我們能增強對事物的判斷能力，能更科學地認識世界。在中考中，這部分知識也是必考的，因此，學好統計與概率就顯得更加重要。下面就讓我們一起來看一下相關典型問題的解題策略。

一、抽樣的合理性

這類問題主要考查同學們的生活和學習經驗，難度不大，注意抽樣的科學性即可。

例1為調查某大型企業員工對企業的滿意程度，以下樣本具有代表性的是（ ）。

A.企業男員工

B.企業年滿50歲及以上的員工

C.用企業人員名冊，隨機抽取三分之一員工

D.企業新進員工

【解析】關注數據來源的均衡性、廣泛性、一致性即可輕松解決這類問題。故選C。

二、數據分析

這類問題主要考查數據的整理和處理，做好數據的分類、排序、計算，就可以完成問題的解答。

例2 如圖1是成都市某一周內日最高氣溫的折線統計圖，關于這7天的日最高氣溫的說法正確的是（ ）。

A.極差是8℃ B.眾數是28℃

C.中位數是24℃ D.平均數是26℃

圖1

【解析】極差是一組數據中的最大值減最小值后得到的數據；眾數是出現次數最多的數；中位數是把一組數據按從小到大或從大到小排列后，中間的一個數或兩個數的平均數；平均數是一組數據的和除以這組數據的個數所得的商。故選B。

三、摸球試驗

這類問題的典型特征是在一個不透明的袋子里摸球，球的形狀和大小都相同，顏色不同。這類問題的難度不大，仔細讀題，看清數據，按照概率的定義解答即可。

例3一個不透明的袋子里裝有4個紅球和2個黃球，它們除顏色外其余都相同。從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為（ ）。

【解析】本題考查了同學們對概率基本定義的理解。袋子中一共有6個球，其中紅球有4個，因此，從袋子中任意摸出一個球是紅球的概率。故選D。

四、平面圖形類

這類問題的載體一般是網格。在網格中，利用陰影的面積來計算某事件發生的概率。解決這類問題的關鍵是準確地算出陰影部分圖形的面積。

例4一個小球在如圖2所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚上。每塊地磚的大小、質地完全相同，那么該小球停留在黑色區域的概率是 。

圖2

【解析】將網格的邊長看作單位1，算出每個小三角形的面積，然后數一數有多少個三角形，或者將兩個三角形看作一個正方形，數一數正方形的個數，最后利用P=這個公式計算即可。故答案為。

五、樹狀圖（或表格）探究

這類問題，需要同學們在樹狀圖（或表格）的幫助下，科學地列出所有等可能的結果，然后計算出事件發生的概率。

例5現有四張正面分別標有數字-1、1、2、3的不透明卡片，它們除數字外其余完全相同。將它們背面朝上洗均勻，隨機抽取一張，記下數字后放回；再背面朝上洗均勻，隨機抽取一張記下數字。前后兩次抽取的數字分別記為m、n，則點P（m，n）在第二象限的概率為________。

【解析】本題考查了概率的計算和各象限內點坐標的特征，列表表示所有等可能的結果如下：

-1 1 2 3-1（-1，-1）（1，-1）（2，-1）（3，-1）1（-1，1）（1，1）（2，1）（3，1）2（-1，2）（1，2）（2，2）（3，2）3（-1，3）（1，3）（2，3）（3，3）

由上表可知，共有16種等可能的結果，其中點P（m，n）在第二象限的結果有3種，即（-1，1），（-1，2），（-1，3），所以點P（m，n）在第二象限的概率為。故答案為。

六、概率設計

這類問題調用已有的學習經驗（常見的載體主要是骰子和轉盤），仔細推敲，運用概率的基本定義，認真計算即可解決。

例6如圖3，可以自由轉動的轉盤被它的兩條直徑分成了四個分別標有數字的扇形區域，其中標有數字“1”的扇形圓心角為120°。轉動轉盤，待轉盤自動停止后，指針指向一個扇形的內部，則該扇形內的數字即為轉出的數字，此時稱為轉動轉盤一次（若指針指向兩個扇形的交線，則不計轉動的次數，重新轉動轉盤，直到指針指向一個扇形的內部為止）。

（1）轉動轉盤一次，求轉出的數字是-2的概率；

（2）轉動轉盤兩次，用畫樹狀圖或列表法求這兩次分別轉出的數字之積為正數的概率。

圖3

【解析】（1）分別求出標號為1、-2和3的三個扇形圓心角的度數即可判斷是否是等可能性的，然后求出概率為；（2）三個數字出現的機會均等，故可直接列表把所有結果列出，找出其中積為正數的情況，再求概率。

1-2 3 1 1-2 3-2-2 4-6 3 3-6 9

由表格可知，共有9種等可能的結果，其中積為正數的有5種，所以兩次轉出的數字之積為正數的概率。

七、統計與概率綜合題

在各地的中考題中，統計與概率的綜合題經常出現。同學們用數學方法解決實際問題，可以提高數學的應用能力，提升數學素養。

例7某校舉行了“防溺水”知識競賽，八年級兩個班各選派10名同學參加預賽。依據各參賽選手的成績（均為整數）繪制了折線統計圖（如圖4）和統計表。

（1）統計表中，a=________，b=________，c=________；

（2）若從兩個班的預賽選手中選四名學生參加決賽，其中兩個班的第一名直接進入決賽，另外兩個名額在成績為98分的學生中任選，求另外兩個決賽名額落在不同班級的概率。

圖4

班級最高分眾數中位數平均數八（1）班100 a 96 c八（2）班99 98 b 94.5

【解析】（1）由折線統計圖分別寫出八（1）班和八（2）班各10名同學的參賽成績，再根據眾數、中位數的概念得出a=96，b=96，最后求出八（1）班成績的平均數c=94.5。（2）找出兩個班級中成績為98分的學生，利用列表法或畫樹狀圖求出另外兩個決賽名額落在不同班級的概率。設（1）班學生為A1、A2，（2）班學生為B1、B2、B3，畫出樹狀圖如下：

圖5

一共有20種等可能的結果，其中2人來自不同班級的情況共有12種，所以這兩個人來自不同班級的概率。