彩票悖論與序言悖論的同構性與統一解

李章呂，詹 瑩

(西南大學 邏輯與智能研究中心， 重慶 400715)

彩票悖論和序言悖論是關于合理接受的兩個重要悖論。許多學者認為這兩個悖論存在本質差異。例如，弗雷(Foley)認為：“盡管彩票悖論和序言悖論表面上相似，但它們……是非常不同的。”[1]70陳波則將它們歸屬于不同的悖論類型[2]。基于此，很少有學者研究它們的統一解。不過，也有學者認識到這兩個悖論之間存在相似性。比如，霍桑(Hawthorne)認為：“顯然，序言悖論和彩票悖論是類似的……它們分別闡明了定性信念和定量信念之間的關系。”[3]頓新國則更進一步認為這兩個悖論具有同構性[4]。但是，霍桑并沒有詳細闡述這兩個悖論到底在何種程度上相似，頓新國也沒有對“同構性”給出明確定義，僅論證了兩個悖論外在形式上的直觀相似。實際上，彩票悖論與序言悖論除了外在形式上相似，在悖論結構上也相同，并且可以歸屬為同一悖論類型。借用頓新國的概念，我們將彩票悖論和序言悖論之間的這種相似性稱為“同構性”，并把具有同構性的一組悖論稱為同構悖論。

一、彩票悖論與序言悖論對歸納接受規則的質疑

如何接受歸納結論，被稱為歸納接受問題。有三條被廣泛認同的歸納接受規則。

概率接受規則：如果一個命題為真的概率足夠高，那么我們就可以接受它。

演繹閉合規則：應當接受所有已被接受的命題的邏輯后承。

一致性規則：知識集內部不應存在不一致的命題。

1961年，凱伯格(Kyburg)在《概率與合理信念邏輯》[5]一書中提出了彩票悖論(lottery paradox)，表明歸納接受規則在應用時會導致矛盾。該悖論的基本內容如下：

假設我們參加一次公平的抽獎活動，這次活動共有1 000 000張獎券，其中有且僅有一張會中獎，那么我們抽的第一張彩票會不會中獎呢？考慮到它的中獎率只有百萬分之一，基于概率接受規則，我們接受它的否定命題，即“第一張彩票不會中獎”。以此類推，之后抽的每一張彩票，我們都會接受“這張彩票不會中獎”這一命題。基于演繹閉合規則，我們應該接受這些命題的合取，即“所有的彩票都不會中獎”。這就與我們接受的前提“有一張彩票會中獎”矛盾，故違背一致性規則。

1965年，麥金森(Makison)在《關于序言的悖論》[6]一文中提出了序言悖論(preface paradox)。該悖論也表明歸納接受規則存在問題。該悖論的基本內容如下：

假設我是一個負責任的作者，即將出版一本新作，對于書中的每個觀點，我都相信它是正確的。但根據過往的經驗，自己難免會犯一些錯誤，于是我又在序言中寫道：“我相信書中不可避免地存在一些錯誤。”這就導致一個問題：由于書中的每個觀點我都相信它是正確的，根據演繹閉合規則，就有“我相信這本書中所有的觀點都是正確的”。這與“我相信書中有些觀點是錯誤的”相矛盾，違反了一致性規則。

20世紀60年代，出現了歸納悖論的量化解悖方案，即通過概率來刻畫主體的確證度或信念度，并規定主體在何種情況下可以基于證據相信某個歸納結論。彩票悖論與序言悖論就是在這一背景下誕生的。彩票悖論的解悖方案主要有三類：(1)修改演繹閉合規則，其代表成果是凱伯格放棄合取的解悖方案[7]55-62；(2)修改概率接受規則，代表成果是都汶的“概率自毀集”(probabilistically self-undermining set)解悖方案[8]；(3)放棄概率接受規則，代表成果是萊維的認知效用理論[9]。序言悖論的解悖路徑主要有兩條：“一些哲學家用它來證明一個主體的正當信念集不必是演繹一致的，而另一些哲學家則用它來論證你不該與概率論者為伍。”[10]不過，學界對這兩個悖論各自的解悖方案至今仍莫衷一是，更遑論給出它們的統一解了。

二、彩票悖論與序言悖論具有相同的悖論結構

根據張建軍的界定，嚴格的邏輯悖論應當包含三個要素：公認正確的背景知識，嚴密無誤的邏輯推導，可以建立矛盾等價式[11]7。這三個要素共同構成了一個邏輯悖論的“骨架”(我們將之稱為悖論結構)。

(一)彩票悖論與序言悖論要求相同的背景知識

張建軍指出：“公認正確的背景知識是一個涉及認知主體并且具有一定模糊性的語用學概念。”[11]9彩票悖論與序言悖論都要求認知主體具備以下背景知識：

一是主體要信奉歸納法，也即主體會接受歸納結論，并將其納入信念集。如果主體不接受任何歸納結論，那么彩票悖論和序言悖論都將不再是悖論。

二是主體要信奉演繹閉合規則。如果沒有演繹閉合規則，當知識集中出現φ和﹁φ這樣的命題時，就無法得到矛盾式φ∧﹁φ，也就無法認識到矛盾的存在。

三是主體不會嚴格區分信念與知識(1)這里所談論的“知識”指確信度為1的命題，“信念”指確信度小于1的命題。。歸納結論在得到驗證之前只能算作“信念”而非“知識”，但彩票悖論和序言悖論都要求主體把歸納結論應用于推理。

(二)彩票悖論與序言悖論擁有相同的邏輯推導

考慮這樣一個一階邏輯模型：論域是{a1,a2,…,an}，其中，ai(1≤i≤n)是不含量詞的命題，我們在這里將它視作個體詞；謂詞Pa表示“接受a”。我們有如下推導過程：

(1) 對于任意i，ai具有很高的主觀概率。

[前提]

(2) 主體S接受ai這一命題，即Pai

[(1)概率接受規則]

(3) 主體S接受所有ai的合取，即Pa1∧Pa2∧…∧Pan

[(2)合取引入規則]

(4) 因此，?xPx

[(3)全稱量詞引入規則]

(5) 又已知必定存在一個j，﹁aj有很高的主觀概率。

[前提]

(6) 主體S接受﹁aj這一命題，即P﹁aj或﹁Paj

[(5)概率接受規則]

(7) 因此，?y﹁Py

[(6)存在量詞引入規則]

(8) 因此，?xPx∧?y﹁Py

[(4)(7)合取引入規則]

(9) 矛盾。

[(8)一致性規則]

其中，“合取引入規則”“全稱量詞引入規則”和“存在量詞引入規則”都是自然演繹系統中的推導規則，它們都屬于演繹閉合規則。

如果將論域中的ai替換為“第i張彩票不會中獎”，上述推導過程就是彩票悖論的推導過程；而如果將它們替換為“書中第i個觀點是正確的”，上述推導過程就是序言悖論的推導過程。因而，彩票悖論與序言悖論的邏輯推導過程是相同的。雖然彩票悖論推導過程的第(5)步要求完全確信而非高概率，但由于完全確信只是高概率的一種特殊情況，所以這一差異并不會影響結論。

(三)彩票悖論與序言悖論可以建立相同的矛盾等價式

悖論的矛盾等價式一般表示為φ?﹁φ這樣的形式，但它在不同的邏輯系統或不同的刻畫方式下往往會呈現出不同的形式。對于一組悖論而言，只有當它們的矛盾等價式在不同的邏輯系統或不同的刻畫方式下都能保持一致，才能說它們可以建立相同的矛盾等價式。例如，意外考試悖論和理發師悖論就不能建立相同的矛盾等價式。在命題邏輯中，意外考試悖論和理發師悖論的矛盾等價式都可以表示為φ?﹁φ。然而，在認知邏輯中，意外考試悖論的矛盾等價式可以表示為B(ψ1∧ψ2∧…∧ψ5)?B﹁ (ψ1∧ψ2∧…∧ψ5)，但理發師悖論卻無法建立該矛盾等價式。相比之下，彩票悖論與序言悖論卻沒有這一“缺陷”。下面以命題邏輯、一階邏輯和模態邏輯這三種常見的邏輯系統為例來表明這一點。

在命題邏輯中，除了φ?﹁φ之外，彩票悖論和序言悖論的矛盾等價式都可以表示為(ψ1∧ψ2∧…∧ψn)?﹁ (ψ1∧ψ2∧…∧ψn)。其中，ψi分別表示“第i張彩票不會中獎”和“書中第i個觀點是正確的”。

在一階邏輯中，彩票悖論和序言悖論的矛盾等價式都可以表示為?xPx??y﹁Py或?xPx?﹁ ?xPx。其中，謂詞P分別表示“這一彩票不中獎”與“書中這一觀點是正確的”這兩種性質。

三、彩票悖論與序言悖論可以歸為同一悖論類型

陳波認為，彩票悖論屬于歸納悖論(與烏鴉悖論、綠藍悖論并列)，而序言悖論屬于認知悖論(與美諾悖論、意外考試悖論并列)[2]。這種分類直接點出了悖論的主要解悖方向，對人們理解悖論有著很大幫助。但是，這種分類忽略了序言悖論的歸納要素。

首先，根據前面的分析可知，序言悖論也可以視為由歸納接受規則所導致的悖論，它也涉及“信念的合理接受”問題。正如陳波所指出的：“序言悖論的關鍵在于(Bp∧Bq)→B(p∧q)這個信念原則是否成立，以及信念Bp或Bq是否得到證成。”[2]因而，雖然序言悖論主要反映的是信念集內部的一致性問題，但和彩票悖論一樣，都反映了主體在歸納接受過程中對信念的“選擇”問題，也即如何在眾多歸納結論中選擇接受哪個不接受哪個的問題。

其次，彩票悖論與序言悖論都反映了完全信念(信或者不信)與部分信念(主觀置信度)在主體認知中的矛盾。在這兩個悖論中，認知主體都對命題的主觀置信度進行了賦值，以部分信念來接受歸納結論，但在推導過程中，主體卻忽略這些命題在信念程度上的差異，都將其視為了完全信念。

根據張建軍的定義，歸納悖論是“根據通用的歸納邏輯原則導出反直覺結論的疑難”，而且，“歸納悖論的癥結集中于‘信念的合理接受’”[12]，因此序言悖論和彩票悖論一樣，亦可歸屬于歸納悖論。

四、尋找彩票悖論與序言悖論統一解的兩個誤區

彩票悖論和序言悖論具有相同的悖論結構，且可歸屬于同一悖論類型，因而根據同構性的定義，它們是同構的悖論。基于同構性可以發現，彩票悖論和序言悖論的現有解悖方案存在兩個誤區，它們在一定程度上會阻礙我們尋求統一解。

誤區一：情境依賴。當用知道算子而非信念算子刻畫彩票悖論時，由于主體不可能“知道”某一張彩票是否會中獎，那么就不可能得到“第i張彩票不會中獎”這樣的知識，于是他的知識集當中就不會有“所有的彩票都不會中獎”這樣的知識，悖論得以消解。由于這類解悖方案只能在特定情境下起作用，我們將之稱為“情境依賴”型方案。序言悖論的解悖方案同樣面臨這一問題，比如，一些學者用“知道”或“意向”(intention)來刻畫序言悖論從而使其不成立。實際上，情境依賴型方案只是回避了矛盾，并沒有解決我們關于歸納接受過程或者主體信念的困惑，因為可以輕易構建一個同構的新悖論來表明該類方案的解悖功能有限。以“理發師悖論”為例，它的一個情境依賴型解悖方案即聲稱理發師的規定在現實中不合理，從而在現實層面消解該悖論。但是，下述同構的新悖論卻表明，即便沒有“理發師”這一要素，悖論依然成立。

有些形容詞可以用來形容自身，有些卻不能。前者稱為“自謂的”，后者稱為“非自謂的”。例如，“三個字的形容詞”這一詞就是非自謂的，而“七個字的形容詞”這一詞就是自謂的。那么，“非自謂的形容詞”這一詞是否是自謂的？(3)這一悖論是“格雷林悖論”的變體。格雷林悖論是格雷林(Grelling)1908年提出的一個關于自指的形容詞悖論，也被稱為“異己詞悖論”。

類似地，我們也可以對彩票悖論與序言悖論進行同構變形，使其不涉及“知道”或“意向”等要素，那么前文所述的那些依賴“知道”“意向”等特定情境的解悖方案就無法應用于這些同構悖論。由此可知，為了追求彩票悖論與序言悖論的統一解，我們需要擺脫情境依賴這一解悖誤區。

誤區二：概率傾向。惠勒(Wheeler)在回顧彩票悖論的研究時指出：“盡管人們普遍認為，彩票悖論源于合理接受所導致的困惑……造成這一困惑的部分原因在于，當代大多數研究都脫離了凱伯格關于合理接受理論的最初動機。”[13]惠勒所說的最初動機就是對合取閉合規則的反思。如果從概率角度來研究彩票悖論，將會偏離這一研究動機，不利于找到彩票悖論與序言悖論的統一解。在彩票悖論中，每張彩票的中獎概率都是百萬分之一，這是沒有開獎時主體的主觀置信度。但是，假設主體已經知道前999 999張彩票沒有中獎，那么最后一張彩票應該指派怎樣的中獎概率呢？如果主體認為中獎概率是1，那么悖論不會成立；如果主體認為中獎概率是百萬分之一，那么說明主體的主觀概率沒有更新，進而表明主體并沒有將之前接受的信念用于后續推理。因此，從概率角度看，彩票悖論反映的是人們在賦予非獨立事件以主觀概率時存在的問題。然而，這樣的問題在序言悖論中并不存在，因為序言悖論的各個命題在概率上是獨立的。可見，尋找彩票悖論與序言悖論的統一解時，也需要防止概率傾向這一解悖誤區。

五、基于同構性的彩票悖論與序言悖論統一解

上述兩個誤區表明，要想找到彩票悖論和序言悖論的統一解，必須關注它們的同構性，即從它們共同的解悖要素出發來尋找解悖方案。其中，“信念不一致”就是它們所共有的解悖要素之一。

切沃拉尼與舒爾茲在《概率、逼真度與似真度：序言悖論的更多出路》[14]一文中，提出過一種基于“信念不一致”的序言悖論解悖方案。令W是這本書(指導致序言悖論的那本書)所涉及領域的所有正確觀點所構成的集合，即W={a1，a2，a3，…，an}；W′是作者在這本書中所做的m(m≤n)個觀點所構成集合，即W′={b1，b2，b3，…，bm}，其中正確的觀點有t個，錯誤的觀點有f個。顯然，W′中有t個元素與W中的元素相同。令h是作者在這本書中所有觀點的合取，即h=b1∧b2∧…∧bm。P(bi)表示bi為真的概率。

h的似真度(truthlikeness)為這本書中的正確觀點數t與本書所涉及領域的所有正確觀點數n的比值，并減去錯誤觀點帶來的懲罰，記為：

其中，φ是謹慎系數，它反映了主體對犯錯的謹慎程度。

h相對于證據e的預期似真度(expected truthlikeness)是對其所有子命題為真時的似真度與子命題為真概率的乘積之和，記為：

ETrφ(h,e)=∑iP(bi)×Trφ(bi)

預期似真度是判定主體信念合理性的標準，命題的預期似真度越大，說明主體信念的合理性越高。

通過對序言悖論中的信念進行量化，并計算出主體不同信念的預期似真度，切沃拉尼與舒爾茲得出如下結論：在序言悖論中，主體同時相信“書中所有觀點是正確的”和“書中至少有一個觀點是錯誤的”這兩個命題看似矛盾，但是這兩個命題作為整體的預期似真度是最高的，即同時相信它們是最合理的。相比之下，無論是選擇相信“書中第i個觀點是錯的”，或者放棄相信“書中至少有一個觀點是錯的”，都不能實現信念集的最大理性[14]。

與序言悖論不同，彩票悖論中主體面對的是信念與知識之間的沖突，因此很少有學者會從“信念不一致”角度來思考彩票悖論。然而，通過對彩票悖論進行同構變形，可以構建出與序言悖論類似的“彩票悖論2.0”：

假設你參加一次抽獎活動，主辦方宣稱，這次抽獎活動共有1 000 000張彩票，其中有且僅有一張彩票會中獎。實際上這次活動總共發行了1 000 001張彩票，但是主辦方弄丟了其中一張。由于他們隱瞞了這一消息，故你并不知道這一點。

在這個悖論中，作為不知情主體(參與者)，你有“這100萬張彩票都不會中獎”這一信念，以及“這100萬張彩票中必定有一張會中獎”這一知識。考慮到知識的確信度為1，在面對信念與知識之間的沖突時，你應該放棄自己的信念。但是，在知情主體(主辦方)看來，“這100萬張彩票中必定有一張會中獎”這一命題只是一個置信度很高的信念，它有可能被證否，因此你不應輕易地放棄“這100萬張彩票都不會中獎”這一信念。

根據上述分析可知，彩票悖論中信念與知識的沖突本質上是信念之間的沖突，因此可以從“信念不一致”角度進行解悖，而且上述基于似真度的序言悖論解悖方案亦可用于彩票悖論。比如，在謹慎系數φ=1的情況下，令h1=只有彩票i中獎，h2=只有彩票i和彩票j中獎，h3=所有彩票都不中獎。通過計算可知，h1、h2和h3的預期似真度分別為999 996、999 994和999 998(4)為方便討論，這些結果僅精確到了個位。具體計算過程略。。因此，主體相信“所有彩票都不中獎”(h3)比相信“只有彩票i中獎”(h1)或“只有彩票i和彩票j中獎”(h2)更具合理性。實際上，主體相信中獎彩票的數量越多，主體信念的預期似真度越低。

綜上所述，如果認可切沃拉尼與舒爾茲的相關預設，那么預期似真度解悖方案就是彩票悖論和序言悖論的一個統一解。但這種解悖方案也存在一些哲學上的缺陷，比如，如何知道一個領域內的所有正確觀點、如何比較錯誤命題之間的似真度等。即便如此，預期似真度解悖方案同樣為尋找彩票悖論和序言悖論的統一解提供了很好的思路，即從主體的認知需求出發制定新的歸納接受標準，并對歸納結論進行量化比較，從而幫助主體在不一致的信念之間做出取舍，或判定這種不一致是否合理。

六、結語

通過比較悖論結構和悖論類型，我們論證了彩票悖論與序言悖論具有同構性。同構性是統一解悖的重要基礎，同時也是判定解悖方案好壞的重要標準，即一個好的解悖方案應該能夠應用于所有同構悖論。不滿足這一標準的解悖方案容易陷入“情境依賴”或“概率傾向”誤區。通過對彩票悖論進行同構變形，序言悖論的預期似真度解悖方案亦可應用于彩票悖論，從而找到了這兩個悖論的一種統一解。當然，這一方案并不完美，或許還存在更優方案，這有待于進一步研究。