一種月球表面飛躍轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計(jì)方法

王浩帆，張洪華，王澤國，關(guān)軼峰

北京控制工程研究所，北京 100190

20世紀(jì)70年代以來，巡視器一直是行星表面無人探測(cè)的主要工具[1]。然而，這種探測(cè)方式存在固有的缺點(diǎn)：著陸作業(yè)時(shí)，需要一個(gè)著陸器將巡視器部署到行星表面。這既增加了任務(wù)飛行器的總質(zhì)量，也增加了到達(dá)地面后巡視器與著陸器分離的復(fù)雜性。從功能的角度來看，傳統(tǒng)的巡視器可以探測(cè)的地形類型是有限的，適合在相對(duì)平坦的地面上活動(dòng)，但卻不能爬上陡峭的懸崖，不能越過裂縫，也不能從地面的危險(xiǎn)中逃生。如果目標(biāo)是探索更危險(xiǎn)、更多樣的行星、衛(wèi)星和小行星，目前的巡視器技術(shù)可能會(huì)限制實(shí)現(xiàn)任務(wù)的能力。

飛躍器是一種在星體表面上跳躍飛行的交通工具，與現(xiàn)有的巡視器相比具有顯著的優(yōu)勢(shì)[2]。飛躍器可以快速移動(dòng)至待探測(cè)區(qū)域，并能克服地形障礙，如巨石和火山口。因此，飛躍器作為一種可以為行星探索提供重要用途的技術(shù)，在未來具有重大的發(fā)展?jié)摿Α?007年，南加州大學(xué)的信息科學(xué)研究所和航天與空間技術(shù)部門開發(fā)了月球進(jìn)入與接近的地面研究平臺(tái)(lunar entry and approach platform for research on ground, LEAPFROG)，將其作為月球著陸技術(shù)的開發(fā)和測(cè)試相關(guān)挑戰(zhàn)的解決方案[3]。2009年，為了發(fā)展一種可以在月球表面著陸，穿越指定距離，并將數(shù)據(jù)發(fā)回地球的飛行器，谷歌舉辦了X-Prize競(jìng)賽。麻省理工學(xué)院的下一個(gè)巨大飛躍團(tuán)隊(duì)(next giant leap, NGL)將飛躍器作為主要研究項(xiàng)目，并開發(fā)了陸地人造月球與簡化重力模擬器(terrestrial artificial lunar and reduced gravity simulator, TALARIS)試驗(yàn)臺(tái)[4]，用來研究飛躍器的制導(dǎo)、導(dǎo)航與控制算法。文獻(xiàn)[5]中設(shè)計(jì)了一種新型高原地形飛躍器(highland terrain hopper, HOPTER)，該飛躍器結(jié)構(gòu)簡單，機(jī)動(dòng)性強(qiáng)，成本低廉，可以編隊(duì)組網(wǎng)飛行對(duì)復(fù)雜地形進(jìn)行探測(cè)。文獻(xiàn)[6]中設(shè)計(jì)了一種基于氣囊的飛躍器，具有魯棒性好、成本低等優(yōu)勢(shì)。

標(biāo)準(zhǔn)軌跡設(shè)計(jì)是實(shí)施制導(dǎo)和控制的重要指標(biāo)，要求能夠預(yù)定著陸場(chǎng)景，同時(shí)滿足多種約束條件，從而提高任務(wù)的安全性和可靠性。從產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)軌跡的計(jì)算復(fù)雜性和實(shí)時(shí)應(yīng)用考慮，將標(biāo)準(zhǔn)軌跡生成可以劃分為離線軌跡優(yōu)化和在線軌跡優(yōu)化兩種。采用離線生成軌跡作為標(biāo)準(zhǔn)軌跡，是在任務(wù)之前進(jìn)行計(jì)算，然后將數(shù)據(jù)存儲(chǔ)到星載計(jì)算機(jī)上，對(duì)計(jì)算成本要求較低，更多是考慮如何在多約束的復(fù)雜條件下尋找到最優(yōu)解。離線軌跡優(yōu)化的本質(zhì)是解決復(fù)雜約束下的最優(yōu)控制問題。間接法和直接法是最常用的兩類方法[7]。間接法是利用極大值原理將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)或者多點(diǎn)邊值問題，需要引入?yún)f(xié)態(tài)變量，但是協(xié)態(tài)變量沒有明確的物理意義，算法對(duì)協(xié)態(tài)變量的初值猜測(cè)很敏感。直接法是將變量參數(shù)化，將連續(xù)動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為一系列代數(shù)方程，原最優(yōu)控制問題就變成了非線性規(guī)劃問題，然后通過已有的數(shù)值算法求得最優(yōu)軌跡。直接法相對(duì)間接法應(yīng)用更為廣泛，而且有很多不同類型的直接法。偽譜法是一種求解非線性規(guī)劃問題很有效的直接法[8]，通過使用非均勻網(wǎng)格，以及計(jì)算可行解時(shí)需要的較少的節(jié)點(diǎn)，從而得到更平滑的解。文獻(xiàn)[9]針對(duì)臨近空間滑翔式高超聲速的特點(diǎn)，采用高斯偽譜法對(duì)固定翼飛行器和折疊翼飛行器進(jìn)行了軌跡優(yōu)化，提出了一種綜合目標(biāo)與約束的軌跡優(yōu)化思想。但是偽譜法由于需要對(duì)控制變量參數(shù)化， 無法保證全局最優(yōu)性，而且計(jì)算成本高，應(yīng)用受到了一定的限制[10]。近年來，全局智能優(yōu)化算法的發(fā)展為解決軌跡優(yōu)化問題提供了一種新的直接方法。文獻(xiàn)[11]針對(duì)升力式火星探測(cè)器進(jìn)入火星大氣段，采用遺傳算法對(duì)進(jìn)入軌道進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，提出不同的推力發(fā)動(dòng)機(jī)制動(dòng)方案。文獻(xiàn)[12]提出一種基于隨機(jī)森林的模型對(duì)月球著陸過程軌跡重規(guī)劃技術(shù)，利用離線訓(xùn)練好的模型根據(jù)航天器狀態(tài)在線計(jì)算其控制量，降低了航天器位置速度誤差。但是，由于智能方法目前仍缺乏完善的理論證明，可靠性較低，限制了其實(shí)際應(yīng)用。

另一種近年來發(fā)展迅速的直接法是凸優(yōu)化方法，對(duì)于一個(gè)優(yōu)化問題而言，得到全局最優(yōu)解的條件取決于系統(tǒng)的凸性而不是線性，極大擴(kuò)展了使用優(yōu)化方法求解的問題[13]。在此條件下，問題可以實(shí)時(shí)解決，而且如果問題是可行的，計(jì)算出的解就是全局最優(yōu)解。文獻(xiàn)[14]中將火星動(dòng)力下降問題轉(zhuǎn)化為求解二階錐問題(second order cone problem, SOCP)，通過內(nèi)點(diǎn)法使問題在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)得到求解，從而使在線軌跡優(yōu)化成為可能。隨后采用凸優(yōu)化方法求解飛行器最優(yōu)軌跡的研究逐漸增多。文獻(xiàn)[15]中提出了一種連續(xù)凸化技術(shù)，解決了動(dòng)力下降段中存在氣動(dòng)阻力和非凸約束的問題。文獻(xiàn)[16]中考慮了導(dǎo)航及障礙檢測(cè)敏感器視場(chǎng)約束及制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小，研究了凸優(yōu)化方法處理含有復(fù)雜約束的著陸軌跡優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[17]針對(duì)傳統(tǒng)內(nèi)點(diǎn)法求解效率不高的問題，提出了一種機(jī)載使用的實(shí)時(shí)算法。文獻(xiàn)[18]中，美國國家航空航天局(national aeronautics and space administration, NASA)基于凸優(yōu)化理論開發(fā)了大轉(zhuǎn)向燃料最優(yōu)制導(dǎo)(guidance for fuel-optimal large diverts, G-FOLD)軟件，并在Xombie火箭上驗(yàn)證了其有效性。文獻(xiàn)[19]中考慮了小天體的不規(guī)則地形和弱引力場(chǎng)，提出了一種基于凸優(yōu)化方法的小天體飛躍的制導(dǎo)算法，將飛躍器在初始段和著陸段受到的約束均考慮為二階錐約束，具有較高的魯棒性和精度。這些方法可以適用于飛躍器單個(gè)階段的最優(yōu)燃料軌跡規(guī)劃，但不能解決全任務(wù)階段的軌跡規(guī)劃問題。這是由于這些研究都是在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中約束相同的條件下進(jìn)行的，而在實(shí)際工程中，飛躍器在起飛時(shí)受發(fā)動(dòng)機(jī)指向限制且不能與周圍環(huán)境相撞，因此需要垂直上升。上升到一定高度后發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)向開始飛躍。到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)時(shí)，為了保證飛躍器安全穩(wěn)定地著陸，加入了垂直下降約束。這三個(gè)階段受到不同的高度和推力約束，因此需要對(duì)凸優(yōu)化方法進(jìn)行擴(kuò)展。

本文針對(duì)飛躍器轉(zhuǎn)移過程中存在垂直起飛、飛躍、垂直下降階段約束不同的問題，從凸優(yōu)化求解算法出發(fā)，通過假設(shè)上升和著陸時(shí)間相同，簡化了分析模型，然后利用黃金分割法搜索最優(yōu)燃耗對(duì)應(yīng)的上升、著陸時(shí)間以及飛躍全程的時(shí)間，在整個(gè)凸優(yōu)化框架內(nèi)對(duì)不同的階段采用不同的推力和位置約束，采用內(nèi)點(diǎn)法得到了最優(yōu)燃耗解，并通過兩個(gè)仿真算例校驗(yàn)了算法的合理性和有效性。

1 飛躍過程建模

飛躍過程是指飛躍器從起始點(diǎn)以靜止?fàn)顟B(tài)垂直起飛，利用變推力發(fā)動(dòng)機(jī)到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)上方，然后垂直著陸至目標(biāo)點(diǎn)。

1.1 坐標(biāo)系建立

忽略月球表面曲率影響，建立如圖1所示的月球表面飛躍坐標(biāo)系O-XYZ，原點(diǎn)O為目標(biāo)著陸點(diǎn)，OX軸指向從著陸點(diǎn)到月球質(zhì)心的反方向，OY軸指向初始飛躍點(diǎn)，OZ軸由右手法則確定。

圖1 飛躍坐標(biāo)系Fig.1 Hop trajectory frame

1.2 動(dòng)力學(xué)方程建模

行星飛躍主要有兩種方式——巡航式和彈道式，飛躍方式如圖2所示。由于受到姿態(tài)要求和推力指向要求，彈道式飛躍在飛躍器上升到一定高度后，增加推力進(jìn)行彈道式飛躍，達(dá)到一定的高度和速度后減小發(fā)動(dòng)機(jī)推力或關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)。當(dāng)飛躍器即將接近目標(biāo)時(shí)進(jìn)行減速制動(dòng)，飛躍器到達(dá)目標(biāo)上空一定高度時(shí)下降，實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)軟著陸。通常還需要滿足半矩形約束，即除了上升段和著陸段外，飛行軌跡不能與虛線相交。這種方式只需要發(fā)動(dòng)機(jī)在發(fā)射段和著陸段提供推力，可以節(jié)省燃料。

巡航式飛躍是指飛躍器先上升到一定高度，然后水平向目標(biāo)移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中，垂直方向上必須始終由發(fā)動(dòng)機(jī)施加與月球重力加速度相等的控制加速度，水平方向上采用先加速，然后滑行，最后減速的方式接近目標(biāo)點(diǎn)。由于發(fā)動(dòng)機(jī)在整個(gè)飛行過程中都是開機(jī)狀態(tài)，因此預(yù)計(jì)飛行燃耗會(huì)更高[20]。

圖2 兩種類型的飛躍軌跡Fig.2 Two types of hop trajectories

不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，并且將月球加速度視為常量處理，飛躍器的動(dòng)力學(xué)方程為：

(1)

(2)

式中：Isp為發(fā)動(dòng)機(jī)比沖；ge為地球表面加速度大小。

1.3 優(yōu)化問題建模

對(duì)于深空探測(cè)任務(wù)，燃耗是重要的性能指標(biāo)，節(jié)約燃料越多，越有利于有效載荷的增加和成本的節(jié)約。同時(shí)，燃耗少也能節(jié)省整個(gè)飛行器的質(zhì)量，更加有效地進(jìn)行探測(cè)任務(wù)，因此把燃料消耗最少即燃料最優(yōu)作為著陸軌跡優(yōu)化目標(biāo)的研究可以為著陸之后的探測(cè)任務(wù)提供更好的基礎(chǔ)。

以燃料最優(yōu)為目標(biāo)的模型可以描述如下：

(1)性能指標(biāo)

(3)

式中：tf表示到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的時(shí)間；J為燃料最優(yōu)的性能指標(biāo)。

(2)約束條件

對(duì)于彈道式飛躍器來說，首先由月面飛行到一定高度，然后進(jìn)行彈道式飛躍，飛躍至目標(biāo)點(diǎn)上方一定距離后，緩慢到達(dá)預(yù)定著陸點(diǎn)，狀態(tài)約束條件如下：

(4)

式中：r0，r1，r2，rf，v0和vf∈R3為常值。

此外，因?yàn)槌跏忌仙魏湍┒酥懚我笫谴怪鄙仙拖陆档模虼诉@兩個(gè)階段的推力方向約束為:

(5)

式中：e1=[1,0,0]T表示OX方向的單位列向量。

考慮一定的工程實(shí)際，由于推進(jìn)系統(tǒng)的能力有限，飛躍器的控制推力幅值約束為:

0≤Tmin≤‖T‖≤Tmax

(6)

式中：Tmin和Tmax分別為推進(jìn)系統(tǒng)的最小推力幅值和最大推力幅值。

飛躍過程中，為了保證飛躍器不與障礙碰撞，需要加入高度約束，即:

rx(t)≥hd,t∈[t1,t2]

(7)

式中：rx為r在OX方向的分量；hd為根據(jù)任務(wù)軌跡附近月球表面的起伏程度所確定的高度。

2 飛躍轉(zhuǎn)移過程的凸優(yōu)化方法

2.1 控制約束的凸化處理

由以上分析，燃料最優(yōu)飛躍模型是求在滿足式(4)到式(7)的約束條件和式(1)的運(yùn)動(dòng)方程下使得式(3)的性能指標(biāo)最小的最優(yōu)控制變量和最優(yōu)狀態(tài)變量。由于式(6)描述的約束條件中含有幅值下界從而成為一個(gè)非凸約束問題，直接求解可能會(huì)陷入局部最優(yōu)，所以需要將非凸約束問題進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化后再求解。由文獻(xiàn)[14]可知，可以通過引入松弛變量Γ而將式(6)轉(zhuǎn)化為如下的凸約束：

推力方向約束為

(8)

約束(8)導(dǎo)致無法利用傳統(tǒng)的凸優(yōu)化算法進(jìn)行計(jì)算，因?yàn)樵陲w躍的過程中，不同階段約束不同，對(duì)于這種情況，可以采取兩種處理方式——分段凸優(yōu)化和全程凸優(yōu)化。分段凸優(yōu)化指將飛躍過程分為上升段、飛躍段、下降段，每個(gè)階段分別進(jìn)行計(jì)算，但是這種方式需要給定上升段和飛躍段末端速度約束，否則無法得到全局最優(yōu)解。而如果采用全程凸優(yōu)化，一個(gè)關(guān)鍵的難點(diǎn)是無法確定推力約束的切換時(shí)間點(diǎn)。因此，本文考慮采用線搜索的方法得到推力切換點(diǎn)。

2.2 推力切換點(diǎn)的計(jì)算

對(duì)于一般工程情況，上升段和下降段的時(shí)間遠(yuǎn)小于飛躍時(shí)間，不妨先假設(shè)上升段和下降段的時(shí)間相同，通過下述方法來確定飛行時(shí)間的上界和下界。

考慮如果用最短的時(shí)間上升，即采用最大推力上升，所需時(shí)間為:

(9)

式中：av為飛躍器的垂向加速度大小；gl的定義見式(1)；hd的定義見式(7)。式(9)在計(jì)算過程中未考慮質(zhì)量變化，由于采用最大推力時(shí)，飛躍器質(zhì)量變化較大，因此實(shí)際上升時(shí)間更少。

對(duì)于時(shí)間上界的計(jì)算，如果按照最小推力計(jì)算，即：

(10)

(11)

2.3 變量等效與離散化

為了方便采用數(shù)值算法來求解，考慮如下的變量等效：

(12)

式中：σ為松弛變量的等效變量；u為等效推力矢量；z為等效質(zhì)量。

將式(12)代入式(1)，則動(dòng)力學(xué)方程式(1)的第二、三個(gè)等式變?yōu)椋?/p>

(13)

(14)

從式(14)可以推出：

(15)

式中：m0是飛躍器的初始質(zhì)量。

因?yàn)棣?0，則燃耗最小性能指標(biāo)函數(shù)等價(jià)于：

(16)

用等效變量表示的控制約束如下：

‖u(t)‖≤σ(t),?t∈[0,tf]

(17)

(18)

將式(12)代入式(14)和(18)得：

(19)

Tmine-z(t)≤σ(t)≤Tmaxe-z(t),?t∈[0,tf]

(20)

不等式(20)的第一部分定義了可行解的凸區(qū)域，但是第二部分不是。因此考慮采用二階錐和線性近似來處理這些不等式約束。將第一部分用二階錐來近似(通過用e-z(t)泰勒展開的前三項(xiàng)來近似)：

Tmine-z0(t){1-[z(t)-z0(t)]+

式中：z0(t)=ln(m0-αTmaxt)。

式(20)的第二部分用線性近似(通過用e-z(t)泰勒展開的前兩項(xiàng)來近似)：

σ(t)≤Tmaxe-z0(t){1-[z(t)-z0(t)]}

(21)

從而得到式(20)的二階錐和線性近似:

將整個(gè)著陸過程的時(shí)間[0,tf]均勻分為N-1段，每段間隔為Δt，則對(duì)應(yīng)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)為

tk=kΔt,k=0,…N

式中：k表示離散時(shí)間序列的第k個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)，終端時(shí)間為第N個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)，即tf=NΔt。

然后將各離散時(shí)間節(jié)點(diǎn)的控制量u和σ通過M個(gè)基函數(shù)來表示，即:

式中，φj表示第j個(gè)離散點(diǎn)的控制量基函數(shù)，pj為待優(yōu)化的常系數(shù)列向量。

本文選取分段常值基函數(shù)，且取M=N，則最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題:

則動(dòng)力學(xué)方程(1)可以表示為：

(22)

式中：

式中：

式中：Ac和Bc為連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和控制輸入矩陣;A和B為對(duì)應(yīng)的離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和控制輸入矩陣。

定義如下常值矩陣:

(23)

定義垂直上升段與飛躍段的切換點(diǎn)為k1，飛躍段與垂直下降段的切換點(diǎn)為k2，滿足:

1≤k1

則飛躍軌跡燃耗最優(yōu)問題最終轉(zhuǎn)化為如下問題。

(1)性能指標(biāo)

(24)

(2)約束條件

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

對(duì)于任意給定的N，式(24)～(29)定義了一個(gè)有限維二階錐問題，通過使用現(xiàn)有的SOCP算法，可以非常有效地求解，并保證收斂到全局最優(yōu)解。需要注意到N也是一個(gè)解參數(shù)，對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間上界tf，且滿足0

(30)

式中：mwet為飛躍器總質(zhì)量;mfuel為燃料質(zhì)量;α定義見式(2)。

式中：δ為需要調(diào)節(jié)的參數(shù)。

則參數(shù)N滿足

Nmin≤N≤Nmax

式中：

式中：int為向下取整函數(shù)。

2.4 飛躍全程的凸優(yōu)化算法

為了便于全程凸優(yōu)化，還需對(duì)垂直起飛和著陸段進(jìn)行約束。利用式(26)對(duì)式(25)進(jìn)行近似處理，首先將2.2節(jié)計(jì)算出的tas換算為離散時(shí)間點(diǎn)k1，在此時(shí)間節(jié)點(diǎn)前，滿足：

(31)

在k1點(diǎn)以后的飛躍段，施加如下約束：

(32)

垂直下降階段約束與垂直上升段約束相同：

(33)

最終即可把飛躍問題轉(zhuǎn)化為求解SOCP問題，具體的算法步驟見式(34)至式(39)，算法流程圖見圖3。本文算法通過固定上升、下降時(shí)間，將分段凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為全程凸優(yōu)化問題進(jìn)行求解，因此得到的結(jié)果優(yōu)于分段優(yōu)化的結(jié)果。

(34)

令i=0，轉(zhuǎn)步驟2。

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

圖3 算法流程Fig.3 Algorithm flowchart

3 仿真校驗(yàn)

對(duì)于已建立的SOCP問題，采用MATLAB求解二階錐規(guī)劃問題的工具包YALMIP[22]并借助SDPT3[23]解算器來求解，仿真條件見表1。考慮平地飛躍與向坑內(nèi)飛躍兩種情況進(jìn)行仿真。

表1 仿真條件

由于本文坐標(biāo)系OY軸指向起始點(diǎn)，且初始和終端速度都為0，因此任何3維飛躍問題都可以轉(zhuǎn)化到2維平面。若不采用本文的坐標(biāo)系定義方法，對(duì)于3維空間，只需對(duì)OZ軸方向進(jìn)行與OY軸同樣的約束，即將式(23)中eu向量改為[0,1,1,0]T，并適當(dāng)增加飛行時(shí)間上界即可。

3.1 平地飛躍

考慮如圖4所示工況，其中虛線為半矩形約束，飛行軌跡不能落在該區(qū)域內(nèi)。為進(jìn)行燃耗的比較，考慮了分段凸優(yōu)化和全程凸優(yōu)化兩種情況。

圖4 月球飛躍軌跡Fig.4 Hop trajectory on the Moon

(1)分段凸優(yōu)化

將運(yùn)動(dòng)軌跡分為三段，分別進(jìn)行凸優(yōu)化求解燃料最優(yōu)軌跡。起始點(diǎn)位置為r0=[0,15000,0]T，速度為v0=0，上升段為從月面垂直起飛到30 m高處懸停。飛躍段的初始位置為r1=[30,15 000,0]T，初始速度為v1=0，飛躍過程保持高度大于30 m，橫向移動(dòng)15 km，即末端位置為r2=[30,0,0]T，末端速度為v2=0。著陸段為從高度30 m垂直著陸到月面，即rf=0，vf=0。仿真結(jié)果如圖5所示，其中虛線為30 m高度半矩形約束。

從圖5可以看出，飛行軌跡滿足半矩形約束；飛躍器先加速到一定速度后，發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)進(jìn)行滑行，直到接近目標(biāo)點(diǎn)后重新開機(jī)制動(dòng)；由推力曲線可以看出，推力幅值在每個(gè)階段都呈最大-最小-最大的趨勢(shì)。

圖5 平地飛躍分段凸優(yōu)化的第一種情況Fig.5 The first case of piecewise convex optimization of flat hop

續(xù)圖5 Fig.5 Continued

第二種情況考慮了放寬飛躍段的末端速度約束，假設(shè)飛躍段末端飛躍器的質(zhì)量仍為200 kg，如果采用最大推力著陸，容許速度為：

(40)

式中：vh為高度方向的容許速度；Tmax為最大推力；假設(shè)質(zhì)量m恒定，因此加速度a恒定。

由式(40)，并考慮一定的工程余量，設(shè)置飛躍段末端垂向下降速率小于10 m/s，并將上升段末端速度v1設(shè)為自由，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 平地飛躍分段凸優(yōu)化的第二種情況Fig.6 The second case of piecewise convex optimization of flat hop

(2)全程凸優(yōu)化

采用本文所提出的算法進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖7所示。表2列出了三種仿真條件下的燃料消耗，可以看出，放寬垂直上升段和飛躍段的末端約束可以減少燃料消耗，但總的來說，分段凸優(yōu)化的燃料消耗始終高于全程凸優(yōu)化的方法，這主要是因?yàn)槿掏箖?yōu)化是綜合考慮了所有約束，而分段凸優(yōu)化只能保證在每個(gè)階段的燃耗是最優(yōu)的。

圖7 平地飛躍全程凸優(yōu)化仿真結(jié)果Fig.7 Full trajectory convex optimization simulation of flat hop

表2 平地飛躍不同條件下的燃料消耗

表3列出了三種仿真條件下的飛行時(shí)間。

表3 平地飛躍不同條件下的飛行時(shí)間

可以看出兩種分段凸優(yōu)化的總飛行時(shí)間相差不大，而全程凸優(yōu)化方法在飛躍段的飛行時(shí)間多于分段凸優(yōu)化方法，這是因?yàn)楦偷娜己囊馕吨昧烁鄷r(shí)間的最小推力，因此增加了飛行時(shí)間。此外，注意到搜索得到的最優(yōu)時(shí)間并不在給定搜索范圍的邊界處，因此在計(jì)算垂直上升、下降段時(shí)間的搜索邊界時(shí)，不考慮質(zhì)量變化是合理的。

3.2 坑內(nèi)飛躍

為進(jìn)一步校驗(yàn)算法的有效性，考慮如圖8所示工況，虛線為半多邊形約束，除垂直上升段和著陸段外，飛行軌跡不能與該半多邊形相交。

圖8 向坑內(nèi)飛躍軌跡Fig.8 Hopping into the pit

首先直接用之前的算法進(jìn)行仿真，得到如圖9所示結(jié)果。可以注意到在初始段違反了約束，因此要對(duì)約束條件進(jìn)行修改。而由前面的仿真可知，飛躍器橫向運(yùn)行1 km的時(shí)間為30 s，因此在全程凸優(yōu)化框架內(nèi)，對(duì)離散化后的前60個(gè)節(jié)點(diǎn)，增加約束使其高度大于4 030 m，仿真結(jié)果如圖10所示。可以看出，運(yùn)動(dòng)軌跡滿足約束，最優(yōu)燃耗為25.069 2 kg，總飛躍時(shí)間171.244 6 s。由此工況可知，對(duì)本文算法的拓展應(yīng)用只需根據(jù)實(shí)際情況修改式(31)～(33)參數(shù)即可。

圖9 坑內(nèi)飛躍運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.9 Trajectory of hopping into the pit

圖10 坑內(nèi)飛躍仿真結(jié)果Fig.10 Simulation of hopping into the pit

續(xù)圖10 Fig.10 Continued

4 結(jié)束語

本文研究了飛躍器轉(zhuǎn)移過程中的燃料最優(yōu)軌跡設(shè)計(jì)問題，通過對(duì)凸優(yōu)化方法進(jìn)行擴(kuò)展，求解燃料最優(yōu)問題從而得到最優(yōu)軌跡。

1)算法通過假設(shè)垂直上升和下降段時(shí)間相同，利用黃金分割法搜索得到了上升、飛躍和下降段的時(shí)間，能將原問題中的非凸約束轉(zhuǎn)化為凸約束。

2)算法能在滿足約束的情況下實(shí)現(xiàn)精確飛躍轉(zhuǎn)移。對(duì)于平地飛躍情況，相同仿真參數(shù)下其燃耗為24.968 2 kg，優(yōu)于兩種不同速度約束條件下分段凸優(yōu)化的結(jié)果。

3)坑內(nèi)飛躍的仿真結(jié)果表明，對(duì)于不同的工況，只需根據(jù)實(shí)際情況修改算法中的期望高度值，利用本文思想重新分段，便可得到燃耗最優(yōu)軌跡。

由于考慮到計(jì)算效率的問題，本文算法近似了實(shí)際的上升、著陸段的飛行時(shí)間，因此，在不提升計(jì)算復(fù)雜性的情況下，精確考慮不同階段飛行時(shí)間的燃料最優(yōu)解將是下一步的研究方向。