低軌Walker星座構型偏置維持控制方法分析

李玖陽，胡敏，王許煜，李菲菲，徐家輝

航天工程大學，北京 101416

衛星星座在運行過程中，由于受到各種攝動力影響，各衛星之間相對位置會逐漸漂移，進而逐漸偏離其標稱軌道，使星座整體結構發生變化。這種變化積累到一定程度，會使星座幾何構型遭到破壞，致使星座性能大幅度下降[1]。

Walker星座以其重訪特性均勻和全球范圍內緯度帶覆蓋性好而被廣泛應用，典型的Walker導航星座有美國的GPS全球定位導航系統、歐洲Galileo導航系統、中國的北斗衛星導航系統和俄羅斯Glonass導航系統等[2-4]。典型的低軌Walker星座有美國的Glboalstar等系統[5]。隨著衛星發射成本的降低和衛星互聯網技術的發展，低軌星座的衛星數目逐漸增多，小衛星技術的發展和發射成本的降低使得低軌衛星星座中衛星數量劇增，OneWeb公司計劃發射由2 620顆衛星組成的星座[6]、Samgsung公司計劃發射由4 600顆衛星組成的星座[7]、Boeing計劃發射2 956顆衛星組成的星座和Starlink最終計劃發射4.2萬顆衛星組成星座，這些星座規模巨大，星座中衛星分布密度很高，為了實現全球覆蓋和星座長期穩定運行，對星座構型保持精度提出了很高的要求。目前國內外對衛星星座的構型保持的研究主要集中在中高軌星座，文獻[1,8-10]針對中軌星座利用參數偏置法來維持星座構型長期穩定，對處于共振軌道和非共振軌道的星座均具有良好的效果；陳雨等[2]基于在軌實測數據，通過機動累計相位差相對漂移較小的衛星來控制相位角相對漂移，可以使一年內的相位角相對漂移維持在±5°閾值內，但該方法星座中衛星數目較少且閾值偏大，無法滿足衛星數目較多的Walker星座構型維持要求。文獻[11]使用Lyapunov控制方法計算了星座絕對控制和相對控制所需的速度增量；文獻[12]利用線性二次控制器借助推力實現星座中星間相對位置保持；文獻[13-14]研究了保證2維點陣花狀星座在J2攝動影響下星座構型穩定性的初始參數設置方法，但研究并不適用于Walker星座。

本文首先針對低軌Walker星座構型演化進行理論分析，得出影響星座構型穩定性的影響因素。而后，使用高精度軌道積分進行仿真分析，采用兩次偏置策略對升交點赤經相對漂移和沿跡角相對漂移進行補償，對比仿真兩種不同規模的低軌Walker星座補償前后的相對漂移量。

1 軌道攝動及星座構型穩定性影響因素分析

沃科于1971年提出了Walker-δ星座的概念[15]。Walker-δ星座由構型碼N/P/F表示，分別代表星座中衛星總數、星座軌道面數和相鄰軌道面衛星的相位因子，星座中所有衛星均勻對稱分布，各衛星的升交點赤經和沿跡角為：

(1)

式中:pi,qi分別為軌道面編號和面內衛星編號；N，P，F分別為衛星總數、軌道面數和相位因子；Ωi,λi為各衛星的升交點赤經和沿跡角。

1.1 軌道攝動分析

衛星在軌運行過程中，除了受到地球中心引力外，還會受到各種攝動力的影響[16]，針對低軌衛星，其所受的主要攝動力攝動加速度量級隨軌道高度變化如圖1所示。從圖1可以看出，軌道高度在1 000 km以下的低軌衛星地球非球形J2項攝動和大氣阻力攝動為主要攝動力，其他攝動量為小量，可忽略不計。

圖1 攝動加速度量級隨軌道高度變化Fig.1 Perturbation acceleration level changes with orbital altitude

在地球中心引力和非球形J2項攝動的作用下，衛星各軌道根數的長期變化率為[17]：

(2)

航天器所受大氣阻力的加速度為[18]：

(3)

大氣阻力攝動主要影響衛星的半長軸和偏心率，引起的半長軸和偏心率變化主要取決于衛星面質比和大氣密度，大氣密度隨著衛星軌道高度的增大而降低，在軌道高度高于1 000 km時，大氣阻力攝動可以忽略不計。

1.2 星座構型穩定性影響因素分析

Walker星座在軌運行過程中，星座中各衛星都會在攝動力作用下逐漸偏離其標稱軌道，而影響Walker星座長期穩定運行的兩個關鍵因素為升交點赤經和沿跡角的相對漂移。星座中衛星i的升交點赤經和沿跡角的相對漂移量如下式所示，其中沿跡角相對漂移指衛星i所在軌道面相對軌道面內衛星平均漂移量的偏差。

(4)

升交點赤經和沿跡角的相對漂移在攝動影響下隨時間變化滿足如下關系[19]：

(5)

(6)

衛星在入軌過程中，會由于入軌偏差和大氣阻力衰減的影響產生衛星間的初始偏差，設兩顆衛星間的初始偏差為Δa1,Δe1,Δi1,ΔΩ1,Δλ1，對于近圓軌道衛星，可忽略偏心率的影響，在J2攝動的作用下，相對漂移的變化加速度可以忽略，結合式(5)和式(6)，可得出衛星之間相對漂移量隨時間變化：

(7)

式(7)中，升交點赤經的相對漂移和沿跡角的相對漂移主要受相對漂移的一階變化率的影響。在J2攝動的作用下，相對漂移一階變化率主要受衛星標稱半長軸和初始偏差的影響。在傾角偏差為0°時，升交點赤經和沿跡角相對漂移量隨半長軸偏差和衛星半長軸變化如圖2和圖3所示。從兩張圖中可以看出，低軌衛星對半長軸偏差較為敏感，相對漂移量隨軌道高度的增加而下降。

圖2 升交點赤經相對漂移Fig.2 Relative drift of right ascension node

圖3 沿跡角相對漂移Fig.3 Relative drift of argument of latitude

圖4和圖5仿真了軌道高度800 km的兩顆衛星升交點赤經和沿跡角相對漂移隨初始偏置量變化的變化情況。對于近圓軌道衛星，半長軸和軌道傾角的初始偏置量均可對升交點赤經和沿跡角的相對漂移產生影響，但各偏差值對相對漂移的影響程度不同。由仿真結果可知，軌道傾角偏差在升交點赤經相對漂移中占主要影響，半長軸偏差在沿跡角相對漂移中占主要影響。

圖4 升交點赤經相對漂移Fig.4 Relative drift of right ascension node

圖5 沿跡角相對漂移Fig.5 Relative drift of argument of latitude

2 兩次偏置策略

2.1 兩次偏置策略補償原理

(8)

為了抑制星座中衛星在一定時間內的相對漂移，式(8)中相對漂移需要滿足如下關系：

(9)

式中：t0,tend為仿真開始時間和結束時間。由式(9)可得出一階變化率為：

(10)

在無偏置狀況下，可以通過二次多項式擬合得出式(10)中的一階變化率和變化加速度，進而計算出偏置產生的一階變化率，聯立式(6)可求解出衛星初始偏置量。

在高階攝動項和二次多項式擬合誤差的影響下，第一次偏置后的相對漂移一階變化率和變化加速度還會存在一定的殘余項和高階項沒有消除，在1次偏置后的相對漂移量隨時間變化為：

(11)

因此，可以在第一次偏置的基礎上再對偏置后的相對漂移進行二次多項式擬合，并通過式(10)和式(6)計算出初始偏置量，該偏置量和第一次偏置量疊加，使殘余項和高階項進一步減小，進而使星座中各衛星的相對漂移達到較低水平。

2.2 仿真實驗驗證

實驗采用HPOP高精度軌道預報器對兩種不同規模的低軌Walker星座進行了仿真分析，兩種星座所受攝動力均為地球非球形J2攝動和大氣阻力攝動，大氣密度模型為Jacchia 70，大氣阻力系數為2.2，衛星面質比為0.003，仿真時長為10年。

(1)算例1

小規模低軌Walker星座構型為24/3/1，軌道高度800 km，偏心率0.001，軌道傾角為60°，如圖6所示。

圖6 小規模星座示意Fig.6 Small scale constellation diagram

在未偏置時升交點赤經相對漂移和沿跡角(沿跡角)相對漂移如圖7所示，(圖7～圖9、圖11～圖13中各顏色分別代表星座中各衛星相對漂移的變化規律)升交點赤經最大相對漂移量達到了13.74°，沿跡角最大相對漂移量達到207.6°。第一次和第二次各衛星偏置量如表1和表2所示，在1次偏置和2次偏置后，星座相對漂移如圖8和圖9所示，一次偏置后升交點赤經和沿跡角相對漂移量均大大降低，升交點赤經相對漂移量達到0.1°以下，沿跡角相對漂移量最大不超過0.4°，但兩者仍具有一定的發散趨勢，在二次偏置后，升交點赤經和沿跡角相對漂移量均降至0.1°以下，且呈現收斂趨勢。

表1 半長軸偏置量

表2 軌道傾角偏置量

圖7 星座在未偏置時相對漂移量Fig.7 Constellation relative drifts without offseting

圖8 星座在1次偏置后的相對漂移量Fig.8 Relative drifts of constellation after first offset

圖9 星座在2次偏置后的相對漂移量Fig.9 Relative drifts of constellation after second offset

(2)算例2

構型為80/4/1，軌道高度800 km，軌道傾角60°的大規模低軌星座，如圖10所示。

圖 10大規模星座示意Fig.10 Large scale constellation diagram

初始狀態下相對漂移如圖11所示，升交點赤經最大相對漂移量達到了15.69°，沿跡角最大相對漂移量達到201.5°。在1次偏置和2次偏置后，偏置量分別如表3、表4和表5、表6所示。星座相對漂移如圖12和圖13所示。一次偏置后升交點赤經和沿跡角相對漂移量均大大降低，升交點赤經相對漂移量達到0.1°以下，沿跡角相對漂移量最大不超過0.6°，但兩者仍具有一定的發散趨勢。在二次偏置后，升交點赤經和沿跡角相對漂移量均降至0.1°以下，且呈現收斂趨勢。

表3 半長軸偏置量(第1次偏置)

表4 軌道傾角偏置量(第1次偏置)

表5 半長軸偏置量(第2次偏置)

表6 軌道傾角偏置量(第2次偏置)

圖11 星座在未偏置時相對漂移量Fig.11 Constellation relative drifts without offseting

圖12 星座在1次偏置后的相對漂移量Fig.12 Relative drifts of constellation after first offset

圖13 星座在2次偏置后的相對漂移量Fig.13 Relative drifts of constellation after second offset

根據兩種規模的星座仿真結果，在第一次偏置后升交點赤經和沿跡角相對漂移大大減小，但仍有一定的發散趨勢，而在第二次偏置后相對漂移成收斂趨勢，最大相對漂移保持在0.1°以下。以上實驗結果證明了兩次偏置策略能有效的降低相對漂移量，且不受星座規模限制，對小規模和大規模的低軌Walker星座均有良好的效果。本方法相較于現有方法具有操作簡單、僅在初始入軌時偏置、星座構型維持精度高的特點，理論上不需要后續燃料消耗。但實際中衛星入軌精度與理論存在一定偏差，后續需要進行一定的修正，修正的頻次和燃料消耗與衛星所處空間環境有關，可與衛星軌道維持同步進行。

3 結束語

本文首先分析了低軌Walker星座所受攝動和影響星座構型穩定性的影響因素。結果表明：

1)低軌Walker星座升交點赤經和沿跡角的相對漂移主要是由星座中各衛星初始軌道參數偏差引起的。

2)半長軸偏差對沿跡角相對漂移影響較大，軌道傾角偏差對升交點赤經相對漂移影響較大。

因此，本文采取了兩次偏置策略，在第一次偏置的基礎上，根據第一次偏置后的相對漂移情況再次進行偏置，補償由第一次偏置產生的殘余項誤差，使相對漂移量達到理想水平。仿真實驗驗證了兩次偏置策略的效果。

1)對于小規模和大規模低軌Walker星座，兩次偏置策略能有效地降低升交點赤經和沿跡角的相對漂移量，達到十年漂移量低于0.1°的水平。

2)使升交點赤經和沿跡角相對漂移發散的趨勢收斂，可以大大降低星座在運行過程中構型維持頻次，提高星座構型穩定性。