文化引領提素養 關注能力促發展

【摘 要】 同課異構是提升教學質量和教師專業素質的一種行之有效的校本教研方式.文章呈現四位青年教師對同一教材內容《二項式定理》（第1課時）的不同處理，不同的教學策略、迥異的風格所產生的不同教學效果，并加以點評，然后給出自己的見解，彰顯了數學文化的融入和學科素養的發展.

【關鍵詞】 同課異構;數學文化;數學素養;教學思考

前不久筆者應邀參加了洋縣中學開展的《二項式定理》（北師版教材第1課時）教學的同課異構活動，活動組織安排的井然有序，首先是連續四節聽課，評委打分，緊接著兩節交流研討，評委及聽課教師分類評課交流，活動開展的扎實有效，受益匪淺.但反思參與授課的四位年輕教師的教學設計和課堂表現，我很想談幾句，不當之處，盡請指正.

1 教學情景呈現與評析

1.1 創設情境引入課題

四位授課教師引入環節的設計，按參賽順序整理如下：

杜老師：[思考]今天是星期五，再過23天后是星期幾？追問：再過810天后是星期幾，不借助計算器你能給出答案嗎？

趙老師：[情景問題]生活中常見的勵志語“積跬步以至千里，積怠惰以致深淵”，其中蘊含著重要的數學公式：（1+0.01）365≈37.8，（1-0.01）365≈0.03.

[抽象問題]公式的實質就是計算（a+b）n的問題.

范老師：回顧（a+b）2的展開式，進而提出：（a+b）3的展開式如何得到？（a+b）4，（a+b）5，…，（a+b）100 還能用此方法展開嗎？

尹老師：本節課開始我們學習二項式定理.什么叫二項式？針對（a+b）2的展開式都是學過的，那更高次冪的展開式如何呢？這就是我們本節課所要研究的問題 ：（a+b）n的展開式？

評注 杜老師采用了傳統的方法，利用星期的周期性，推算星期幾也就是求被7除的余數，貼近生活，但最終過渡到課題明顯不在知識的最近發展區，顯得牽強不自然.又由于學生對星期五這一天算不算在23天內，及“再過——后”詞義含糊不清，出現“星期六、星期日、星期一”等不同答案，嚴重消弱了原本的設計意圖;趙老師用出自荀子

《勸學篇》的語句中蘊含的數學文化，抽象出數學問題引入，其中365次方代表一年365天，1代表每一天要做的努力，1.01表示每天多做0.01，0.99代表每天少做0.01.365天后，一個增長到了37.8，一個減少到0.03，差別太大了！ 這兩個公式被網友解讀為：“每天進步一點點，屌絲一年變富帥;每天退步一點點，富美一年變挫矮”.作為教學勵志用語，要明確表達這層意思：“希望同學們懂得每天多做一點點，就可以積少成多，帶來飛躍;每天少做一點點，就會不進則退，跌入谷底.”如此這般，文化意蘊濃厚，教育意義突出，又能順利點題，但這對后續介紹公式（1+x）n≈1+nx（x→0）略有影響，因為若要利用二項式定理驗證公式（1+0.01）365≈37.8需要計算到展開式的第13項C12365（0.01）12方可;范老師和尹老師基本上屬于開門見山的方法，直接提出數學問題“（a+b）n的計算”引入課題，但前者先展開了（a+b）2和（a+b）3，有溫故知新的“憤”狀，而后者并未調動起學生的思考，屬于老師的個人表演.

1.2 問題探究發現定理

四位老師均采用從特殊到一般的探究、歸納、猜想、證明的思路來推進定理的教學，但呈現方式卻不同.

杜老師：問題1 請展開（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3），并分析各項，你能用本章所學的知識解釋各項的構成嗎？

問題2 若令a1=a2=a3=a，b1=b2=b3=b，能得到什么？展開式整理過后各項的系數有什么特點？

問題3 （a+b）4展開后有哪幾種形式的項？各項的系數分別是什么？

問題4 觀察上面幾個式子的展開式中項數、指數變化以及系數變化，你發現了什么？你能猜想（a+b）n的展開式嗎？

趙老師：[閱讀文獻] （a+b）n的展開式問題，早在公元1261年我國南宋數學家楊輝在《詳解九章算術》一書中給出了二項式系數的三角形數塔，即“楊輝三角”：

1

11……（a+b）1=a+b

121 ……（a+b）2=a2+2ab+b2

1331 ……（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

14641 ……（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

15101051

……………… ……

問題1 利用楊輝三角試著寫出（a+b）5的二項展開式？

問題2 試猜測（a+b）n展開式的項數，項的一些規律？

問題3 試用多項式乘法展開（a+b）3，分析展開式的特點？

問題4 試用上述規律展開（a+b）4.

問題5 試用上述規律分析（a+b）n的展開式.

范老師：問題1 分析（a+b）2=a2+2ab+b2的展開式是如何得到的？追問：再從組合的角度對其進行分析.

問題2 類比以上過程，分析（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b）的展開式.

問題3 不計算，能否寫出（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）的展開式？

問題4 利用組合的知識得到了（a+b）3，（a+b）4的展開式，推廣到一般，能否用同樣的方法將（a+b）n展開？

尹老師：問題1 展開（a1+b1）（a2+b2），每一項是怎樣構成的？

問題2 請展開（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3），展開式中有多少項？每一項是怎樣構成的？

問題3（a+b）3的展開式又是什么？

探究 合并同類項之前共有多少項？各項是怎么來的？合并整理過后有幾項？各項的系數是怎么來的？

問題4 猜想（a+b）4展開式有哪幾種形式的項？各項的系數分別是什么？

問題5 猜想（a+b）n的展開式是什么？并說明理由.

評注 杜老師采用教材的方法探究，但未達到教材編者的意圖.問題1前半問目的是弄清多項式乘法法則，即展開式的每一項都是由各個因式中的一項相乘得到的，后半問意在表達每一項都是由各個因式中的一項的組合，明顯這個問題放在問題2后面更合適;相比之下尹老師的設計更加細膩，不僅在問題1給出了兩個多項式相乘的鋪墊，而且問題3強調了合并同類項前后的異同，又在問題4通過二項四次式展開來強化展開式的特點，為一般情況的猜想和證明打好了基礎.

教材在下一節《二項式系數的性質》中就是依據“楊輝三角”來學習的，趙老師第一節便介入“楊輝三角”不僅整體上顯得累贅，而且問題2的完成難以實現，也不利于揭示二項式定理的形成過程，不利于問題3，4展開式的乘法規律的發掘，同時也影響了這兩個問題的教學效果，成為單純為了證明n次展開式的方法探尋.若將其放在課時最后給出，并提示“關于楊輝三角有很多有趣的結論，望大家課后進行探索.”是否可起到拋磚引玉的良好預習效果.

范老師直接分析完全平方公式的特點，表面看是從學生熟悉的公式出發研究，但學生已知公式的簡化形式，這就需要回到公式的形成中觀察展開式各項及其系數的規律，否則容易形成探究假象或教師枯燥講解.事實上，從組合角度直接寫出系數的組合數形式也的確困難.

1.3 熟悉定理學以致用

本節課內容較多，時間緊張，想面面俱到是不可能的，因此在例題的選擇上要盡量做到精講.四位老師對教材例題都做了一定的篩選，但效果差異較大.

杜老師：[小試牛刀] 在二項式定理中，令a=1，b=x，寫出二項展開式.

例1 展開x+1x25.

例2 展開2x-1x4.

思考 （1）展開式中第三項的二項式系數是什么？（2）展開式中第三項的系數是什么？（3）如果不展開所有項，你能求出其中的常數項嗎？如何求出？

評注 公式（1+x）n=1+C1nx+…+Crnxr+…+xn作為二項式定理的特例，在這里出

現起到讓學生理解公式中a，b的任意性和熟悉定理的作用（這個作用例1，例2同樣可以體現），但其它豐富的價值，如理解1+x的n次展開式中多項式的結構特征、研究二項式系數的性質、近似計算及賦值法的應用等難以發揮.另外，在講授例1時老師引導對應公式中的a，b，寫出展開式，板書過程，強調了結果的化簡，體現了解題的規范性;在講授例2時直接將2x-1x4化為（2x-1）4x2，然后展開，接著回答思考問題.如此講解，并未體現替換教材中的例2、例3的作用.筆者建議：去掉“小試牛刀”環節，直接使用教材中的例2、例3，其中例2用來熟悉定理的展開過程及二項式系數和項的系數的區別，而把例3作為側重建立二項式定理這個數學模型和落實數學運算素養的問題，強調把2x-1x看成2x+-1x，以及根指互化、指數運算、通分變形等運算能力，根據情況增加變形轉化解法以及求常數項等問題.

趙老師：例1 利用二項式定理展開下列各式：

（1）（x+2）5;（2）2+1x4; （3）x-1x4.

例2 求（x-2y）6展開式中的第四項，并求該項的系數.

變式 （2018年全國卷改編）求x2+2x5展開式中x4項的二項式系數、系數.

評注 此處雖然保留了教材中的例1，例2，例4，但揚棄教材中例3，忽視根式的運算及該題的不同求解策略，似有不妥，且例1中三小題的設計顯得重復，筆者認為至少可以刪去一個小題，如（2）.

范老師：（1）知識應用： 展開（1-2x）5.

（2）小試牛刀： 課本練習1，2.

（3）變式訓練：已知（1-2x）5，求①展開式中第四項;②展開式中第四項的二項式系數;③展開式中第四項的系數.

（4）鏈接高考：（x+a）10展開式中，x7的系數為15，則a=.

評注 范老師采用階梯式上升的策略對能力欠佳的學生較為有利，但（1）（3）兩個環節放在一起似乎更緊湊，且完全拋棄課本的例題值得商榷.課本中的每一個例題都有用意，題可以替換，但其作用不能忽視！

尹老師：例1 求2+1x4的展開式.

變式 求2-1x4的展開式.

思考 1.寫出展開式的第三項;2.寫出展開式的第三項系數;3.寫出展開式的第三項的二項式系數;4.你能直接寫出展開式的第四項及系數嗎？5.展開式中有無常數項？若有，是多少？

例2 已知2x-1x4.（1）求其展開式;（2）展開式中第5項;（3）寫出含x2的項;（4）常數項.

評注 尹老師將例1板演講授，并給出變式題，接著提出5個思考問題直指展開式的指定項問題可謂一箭三雕：第一，強調定理“a+b”的模式;第二，參透通項公式的應用;第三，強化項的系數及其二項式系數概念.但隨后把例2作為學生自主練習，筆者認為難度偏大，把例2和變式1對調是否更好？

2課后反思

四位老師的教學基本做到重視二項式定理的形成過程，定理的特征及二項展開式的通項公式這一核心內容，作為工作三五年的年輕教師已經很不錯了，但俗話說“教學沒有最好只有更好”，特別是對數學內容的本質認識和學科素養的孵化.

2.1 整體把握教材系統優化教學

要備好一節課，首先要從整體上把握該課內容，通常包括兩個方面：一方面是這部分知識的前后聯系，一方面是本課內容本身的要求及橫向拓展.二項式定理涉及組合數，而且由二項式定理可以推導出一些組合數的恒等式，因此它最好是計數原理的后繼內容，另一方面，它也為后面學習二項分布奠定基礎.教材安排第一節學習二項式定理，第二節學習二項式系數的性質，其中滲透了楊輝三角，由表及里，二項式系數通過“式算”和“圖算”結合的方式呈現，利于學生接受.

二項式定理本質上是多項式運算的推廣，利用多項式乘法法則，通過從特殊到一般的推理過程進行歸納概括，探索得出二項式定理，是本節的重點也是難點.本節的另一個重點就是二項式定理的簡單應用，特別是利用通項公式求指定項及其系數或二項式系數問題.對于二項式系數的性質（包括楊輝三角）、賦值法的應用、最值問題、參數問題、二項式的拓展，即三項式和兩個二項式的冪的展開中項的問題等 ，都不宜在本節出現.

2.2 融入數學文化提升數學素養

二項式定理其實就是一個公式，也就是一個二項式的n次冪及其展開的關系式，它由艾薩克·牛頓于1664—1665年期間提出，所以又稱牛頓二項式定理.在中國與二項式定理相應的結論“古法七乘方圖”出現在楊輝的《詳解九章算法》（1261）之中，因其記載為北宋數學家賈憲所創，故稱為楊輝三角或賈憲三角.在歐洲，帕斯卡在1654年發現這一規律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形.帕斯卡的發現比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.

四位老師只有范老師和趙老師將數學史融入教學中.數學史的滲透貴在自然，對比之下范老師做得較好，他在出示課題后指出：“二項式定理就是研究（a+b）n=？，早在南宋時期，我國數學家楊輝在《詳解九章算法》一書對此有了結論.1664年，年僅22歲的牛頓發現并完善了二項式定理.”該處理既讓學生了解了數學家的貢獻，定理產生的時間，又激發了學生學習新知的熱情和了解中華燦爛歷史的渴望，我國早西方幾百年的發現究竟是怎樣的知識？

2.3 培養探究意識強化思想方法

在教學中，教師要努力把表現的機會讓給學生，發揮他們的自主精神;盡量創造讓學生活動的機會，讓學生在直接體驗中構建自己的知識體系;盡量引導學生的發展和創造意識，使他們能在再創造的氛圍中學習[1].如（a1+b1）（a2+b2）（a3+b3）展開時各項規律的探究——每一項都是3個字母相乘，且這3個字母分別來自原來3個不同的因式;（a+b）3展開式中項的系數規律的探究——項的系數就是該同類項的個數，也就是i個a和3-i個b的排列數（i=0，1，2，3）;由（a+b）2，（a+b）3展開式的特征歸納猜想（a+b）n的展開式;利用組合數對猜想進行“說理證明”;定理中展開式的特點;通項公式的應用;二項式系數與項的系數的區別;例題的不同解法等等，這些都是很好的探究點.如何發揮其探究功能，增強學生學習的主觀能動性，既需要教師在設計上下功夫，也需要教師有很強的課堂駕馭能力.

波利亞在《數學的發現》一書中指出“高中數學教學目標首先和主要的，是必須教會那些年輕人去思考.”[2]二項式定理的推導體現了從特殊到一般的思維方式，定理的證明和應用時“標準式（a+b）n”的模型化思想，例3求解的轉化劃歸思想，這些都是促進學生思維能力的生長點.事實上，二項式定理就是二項式乘方的展開式規律的反映，但對其形成本質的理解程度則直接影響后續的學習，如“求（2-x2）（3x+4）5展開式中x4項的系數”“求（2x-3y+z）6展開式中x2yz3項”“二項分布”等新知的學習.

總之，二項式定理的學習過程是培養學生思維品質，提高學生觀察歸納能力、抽象概括能力、邏輯推理能力和運算求解能力的好素材，在教學中應充分加以利用.

參考文獻

[1] 嚴士健，王尚志主編.數學（選修23）教師教學用書[M].北京：北京師范大學出版社，2012.6.

[2] 喬治·波利亞.數學的發現——對解題的理解、研究和講授[M].北京：科學出版社，2015.8.

作者簡介 劉正章（1968—），男，陜西旬陽人，正高級教師， 特級教師，陜西名師，主編數學書籍29部，發表文章103篇，主要鉆研于中學數學教學及數學文化的研究.