探究初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中的合情推理

程衛(wèi)東

在初中數(shù)學(xué)中，“圖形與幾何”屬于重要的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的空間觀念與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成有著重要作用?！皥D形與幾何”在初中數(shù)學(xué)中有著較大的比重，但由于該內(nèi)容較為抽象，其概念知識(shí)較多，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)存在困難，而合情推理教學(xué)則能夠讓學(xué)生在邏輯推理下進(jìn)行探索，有助于啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

一、類比推理——加深數(shù)學(xué)認(rèn)知

類比推理是合情推理中的重要手段，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著極為重要的作用，所以教師在展開相關(guān)教學(xué)時(shí)，需要將類比推理靈活運(yùn)用，根據(jù)“圖形與幾何”相關(guān)屬性來進(jìn)行研究，從而合情合理地類比推理相關(guān)事物的屬性特征。教師需要盡可能地挖掘類比推理的價(jià)值，最大限度地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行橫向與縱向聯(lián)系，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的提升。教師需要帶領(lǐng)學(xué)生不斷探索數(shù)學(xué)原理，以此加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。例如，在初中數(shù)學(xué)“多邊形內(nèi)角和”的教學(xué)中，讓學(xué)生了解多邊形內(nèi)角和并不難，甚至部分學(xué)生在預(yù)習(xí)過程中就已經(jīng)掌握該知識(shí)點(diǎn)，因此，教師需要深入挖掘類比推理價(jià)值，盡可能地讓學(xué)生在習(xí)得知識(shí)的過程中，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維與素養(yǎng)。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)時(shí)，不僅需要學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證多邊形內(nèi)角和的特征，同時(shí)還需要通過實(shí)驗(yàn)教學(xué)讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，從而培養(yǎng)學(xué)生的探索精神。首先，教師可以通過認(rèn)知沖突來將課題引出：“同學(xué)們，我們之前已經(jīng)學(xué)過三角形內(nèi)角和定理，讓我們回憶下，三角形的內(nèi)角和是多少度？那么四邊形呢？我們應(yīng)該如何計(jì)算多邊形內(nèi)角和？”教師先讓學(xué)生說出三個(gè)三角形的類型，然后引導(dǎo)學(xué)生用類比推理的方法展開推理，比如一個(gè)正方形可以分為兩個(gè)等腰三角形，而等腰三角形的內(nèi)角和為180°，所以正方形的內(nèi)角和應(yīng)該是等腰三角形的兩倍，即180°×2=360°，那么正方形的內(nèi)角和便是360°。同理，長方形可以分為兩個(gè)直角三角形，而直角三角形的內(nèi)角和為180°，因此長方形的內(nèi)角和也是360°。之后，教師再提出問題進(jìn)行引導(dǎo)：“從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，五邊形、六邊形能夠引出多少條對(duì)角線？而這些對(duì)角線能夠?qū)⒍噙呅畏指畛啥嗌賯€(gè)三角形？”等學(xué)生思考得出結(jié)論后，教師再讓學(xué)生進(jìn)行歸納：“從中你們可以知道該如何計(jì)算多邊形的內(nèi)角和嗎？那公式是怎樣的？”在學(xué)生交流與探討后，能夠在推理中對(duì)計(jì)算方法進(jìn)行歸納，即“多邊形內(nèi)角和=（n-2）×180°，其中n是大于或等于3的正整數(shù)”。歸納總結(jié)后，教師再讓學(xué)生回顧整個(gè)學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生思考他們是怎么得到這個(gè)結(jié)論的，方法又是什么，這樣是能夠幫助學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思考方法。類比推理不僅能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程以及發(fā)展過程完整地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，同時(shí)還能夠幫助學(xué)生更好掌握數(shù)學(xué)定理與概念，使得學(xué)生能夠獲得解決問題的能力。

二、直觀推理——探索問題規(guī)律

三、歸納推理——實(shí)現(xiàn)去粗取精

歸納推理在合情推理中有著重要作用，能夠全面、綜合地幫助學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題。而歸納推理在初中數(shù)學(xué)中可以分為兩個(gè)方面，首先，利用事物中的特殊情況來推理事物的一般性，其次，通過自身經(jīng)驗(yàn)來歸納、推理觀察結(jié)果，能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，并最大限度地提高課堂教學(xué)效益，因此，教師在教學(xué)過程中，需要引導(dǎo)學(xué)生歸納推理數(shù)學(xué)知識(shí)。例如，教師在教授“展開與折疊”相關(guān)知識(shí)時(shí)，主要是幫助學(xué)生了解立體圖形展開是哪種平面圖形，而哪些平面圖形能夠折疊為立體圖形，教師應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生的自主探究與總結(jié)反思，使得學(xué)生在歸納推理中培養(yǎng)自身能力。首先，教師創(chuàng)設(shè)情境，出示一個(gè)正方體，“你們還記得這個(gè)立體圖形嗎？你們對(duì)于正方體的了解有多少？如果要剪開這個(gè)正方體，你們能夠想象出它是什么模樣嗎？”隨后，教師讓學(xué)生動(dòng)手剪一剪正方體盒子。之后，教師再根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知規(guī)律與已有經(jīng)驗(yàn)來進(jìn)行層層設(shè)疑、層層推理。教師可以將同桌兩人分到一組，讓學(xué)生展示自己剪開的正方體，然后觀察正方體展開的結(jié)果有什么不同，并讓學(xué)生分析為什么會(huì)有這種結(jié)果。學(xué)生最終可以歸納出“根據(jù)不同的方式展開，同一個(gè)正方體也能夠得到許多種不同的平面圖形”，之后教師再引導(dǎo)學(xué)生分析同一個(gè)正方體能夠展開出多少種平面圖形，并對(duì)其進(jìn)行歸納。學(xué)生從問題入手，進(jìn)行層層推理與嘗試，最終得出正方體有十一種不同的展開結(jié)果，第一類為“兩排各三個(gè)，展開方式僅有一種”；第二類為“中間二連方，兩側(cè)各兩個(gè)，展開方式僅有一種”；第三類為“中間三連方，兩側(cè)各一個(gè)、各二個(gè)，展開方式有三種”；第四類為“中間四連方，兩側(cè)各一個(gè)，展開方式有六種”。隨后，教師提出問題讓學(xué)生歸納推理：“哪些圖形沿虛線折疊后能夠圍成正方體？”這種方法讓學(xué)生再次經(jīng)歷折疊與展開的過程，并感知正方體與長方體展開圖的區(qū)別，并在正方體的認(rèn)知基礎(chǔ)上，推理長方體展開圖的特點(diǎn)，能夠進(jìn)一步鞏固學(xué)生的初步空間觀念。教師再讓學(xué)生歸納正方體與長方體的展開圖規(guī)律與類型，然后以小組為單位進(jìn)行補(bǔ)充式發(fā)言。最后，教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行鞏固強(qiáng)化：“這節(jié)課你們經(jīng)歷了什么？收獲了什么？你們得到了什么感悟？”通過這種方法，能夠促使學(xué)生更加深刻地理解“展開與折疊”的內(nèi)容與概念，同時(shí)還能夠最大限度地提高學(xué)生推理能力與歸納能力，并提高合情推理的準(zhǔn)確性。

簡而言之，教師在開展“圖形與幾何”教學(xué)時(shí)，需要將學(xué)生的實(shí)際學(xué)情作為切入點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行合情推理來優(yōu)化傳統(tǒng)教學(xué)方式，使得學(xué)生能夠積極主動(dòng)地投入“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中來，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有著重要意義。