基于雙邊界層滑模觀測(cè)器的雙軸直驅(qū)平臺(tái)迭代學(xué)習(xí)輪廓控制

原浩， 趙希梅， 杜暢

(1.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870；2.大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

0 引 言

目前，隨著制造業(yè)對(duì)加工品質(zhì)的需求日趨提高，由永磁直線同步電動(dòng)機(jī)(permanent magnet linear synchronous motor, PMLSM)組成的雙軸直驅(qū)平臺(tái)因其響應(yīng)速度快、定位精度高、可靠性好等特點(diǎn)已經(jīng)廣泛用于精密制造領(lǐng)域[1-2]。由于雙軸之間運(yùn)動(dòng)不協(xié)調(diào)和系統(tǒng)存在的參數(shù)變化、摩擦力等不確定性，從而產(chǎn)生的輪廓誤差將嚴(yán)重影響伺服系統(tǒng)的輪廓控制性能[3-4]。因此必須保證雙軸的協(xié)調(diào)控制并對(duì)系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行補(bǔ)償，以減小輪廓誤差。

為滿足雙軸直驅(qū)平臺(tái)的輪廓加工要求，文獻(xiàn)[5]通過(guò)交叉耦合控制(cross-coupled control, CCC)，將實(shí)際輪廓近似為直線輪廓，利用雙軸的跟蹤誤差計(jì)算得到輪廓誤差，達(dá)到減小輪廓誤差的目的。但這種方法僅適用于斜率緩慢變化的線性輪廓，在加工高進(jìn)給率和存在尖角的輪廓時(shí)，該方法產(chǎn)生的輪廓誤差較大。為了克服這一問(wèn)題，文獻(xiàn)[6]在切向輪廓控制中提出了坐標(biāo)變換的方法，將沿輪廓法線方向的跟蹤誤差分量近似為輪廓誤差；在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[7]提出一種在全局任務(wù)坐標(biāo)系下建立的輪廓誤差模型，在高進(jìn)給率的參考輪廓下能夠有效地減小輪廓誤差。然而該方法需要建立準(zhǔn)確的輪廓誤差模型，對(duì)于復(fù)雜輪廓難以適用[8]。文獻(xiàn)[9]提出了一種基于牛頓極值搜索算法的動(dòng)態(tài)輪廓誤差估計(jì)來(lái)搜索輪廓誤差點(diǎn)，對(duì)輪廓誤差進(jìn)行精確估計(jì)。但低通濾波器可能會(huì)導(dǎo)致相位滯后。文獻(xiàn)[10]提出一種迭代學(xué)習(xí)控制器(iterative learning controller,ILC)，通過(guò)學(xué)習(xí)輪廓誤差的估計(jì)量提高下一次迭代的輪廓精度。然而，ILC對(duì)系統(tǒng)的不確定性非常敏感，這導(dǎo)致了系統(tǒng)魯棒性受到影響。因此對(duì)系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行補(bǔ)償也十分關(guān)鍵。文獻(xiàn)[11]提出一種模型預(yù)測(cè)控制器和擾動(dòng)觀測(cè)器相結(jié)合的控制方法，利用擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行觀測(cè)，提高系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)[12]提出了一種滑模觀測(cè)器(sliding mode observer, SMO)用于補(bǔ)償含有非線性不確定性的系統(tǒng)，然而滑模觀測(cè)器的抖振問(wèn)題并未解決。

因此，本文采用自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制器(adaptive iterative learning controller, AILC)和SMO相結(jié)合的控制方法。在任務(wù)坐標(biāo)系下建立輪廓誤差模型，利用AILC對(duì)輪廓誤差進(jìn)行控制，對(duì)于高進(jìn)給率和存在尖角的輪廓進(jìn)行有效跟蹤；采用雙邊界層SMO對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，通過(guò)改變的雙邊界層厚度有效地削弱抖振，從而提高系統(tǒng)的魯棒性。最終，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提出的控制方案能夠減小系統(tǒng)輪廓誤差，滿足雙軸直驅(qū)平臺(tái)高精密加工要求。

1 雙軸直驅(qū)平臺(tái)伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型與輪廓誤差分析

1.1 雙軸直驅(qū)平臺(tái)伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

雙軸直驅(qū)平臺(tái)伺服系統(tǒng)的電磁推力方程和機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為

Fei=Kfiiqi，

(1)

(2)

式中：Fei為電磁推力；Kfi為電磁推力常數(shù)；iqi為q軸電流；vi為動(dòng)子速度；Mi為動(dòng)子總質(zhì)量；Bi為粘滯摩擦系數(shù)；Fi為包括系統(tǒng)參數(shù)變化、摩擦力等非線性不確定性的擾動(dòng)；i=1或2。

假設(shè)不存在擾動(dòng)Fi，根據(jù)式(1)和式(2)得到理想狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)方程為

(3)

式中：di為動(dòng)子位置；Ani=-Bi/Mi，Bni=Kfi/Mi，ui=iqi為控制器輸出。考慮各種不確定性因素存在時(shí)，則式(3)變?yōu)?/p>

(Cni+ΔCi)Fi=

(4)

式中：Cni=-1/Mi；ΔAi、ΔBi和ΔCi為系統(tǒng)參數(shù)Mi和Bi所引起的不確定量；Hi為系統(tǒng)不確定性總和，表示為

(5)

假設(shè)Hi有界，即|Hi|≤ρi，ρi為正常數(shù)。

1.2 輪廓誤差分析

在任務(wù)坐標(biāo)系中，雙軸直驅(qū)平臺(tái)伺服系統(tǒng)產(chǎn)生的輪廓誤差示意圖如圖1所示。

圖1 輪廓誤差示意圖Fig.1 Schematic of contouring error

在Σw坐標(biāo)系中，雙軸直驅(qū)平臺(tái)伺服系統(tǒng)的實(shí)際位置為

(6)

式中，t為時(shí)間。參考輪廓為

(7)

定義跟蹤誤差為期望位置點(diǎn)到實(shí)際位置點(diǎn)的距離，表示為

(8)

在Σl坐標(biāo)系中，跟蹤誤差表示為

(9)

式中：en為法向分量；et為切向分量；θ為傾斜角。

輪廓誤差為實(shí)際位置到參考輪廓的垂直距離，用跟蹤誤差的法向分量en近似表示。在Σw坐標(biāo)系中對(duì)en進(jìn)行正交分解

en=[en1en2]T=Rnew，

(10)

2 基于AILC和SMO的雙軸直驅(qū)平臺(tái)伺服系統(tǒng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

基于AILC和SMO的雙軸直驅(qū)平臺(tái)伺服系統(tǒng)框圖如圖2所示。其中，Cpx1，Cpx2為位置環(huán)控制器；Cvx1，Cvx2為速度環(huán)控制器，這4個(gè)控制器均設(shè)計(jì)為PI控制器。

圖2 基于AILC和SMO的雙軸直驅(qū)平臺(tái)伺服系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of dual axis direct drive platform servo system based on AILC and SMO

2.1 AILC設(shè)計(jì)

ILC可以在沒(méi)有精確的動(dòng)態(tài)模型的情況下自動(dòng)生成最佳控制信號(hào)，因此廣泛地應(yīng)用于高精密運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)中[13-14]。ILC輸入—輸出關(guān)系為

(11)

kewj+1(t)。

(12)

q(b-1)ψPjkPLenj(t)+

q(b-1)ψDjkDL{enj(t)-enj(t-1)}，

0≤t≤T-1。

(13)

(14)

為驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，將脈沖信號(hào)輸入到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，形成提升系統(tǒng)。則式(11)的提升形式為

(15)

那么，式(12)的提升形式為

(16)

式中

(17)

式(17)代入式(16)，得

(18)

(19)

2.1 雙邊界層SMO設(shè)計(jì)

為了觀測(cè)系統(tǒng)中的擾動(dòng)，SMO設(shè)計(jì)為

(20)

(21)

式中：β1為正常數(shù)，表示第一層邊界的厚度；emax為誤差的最大值；β2為第二層邊界的厚度

(22)

當(dāng)誤差減小時(shí)，β2將擴(kuò)大并降低SMO的觀測(cè)范圍；當(dāng)誤差由于不確定性的存在而增加時(shí)，β2將收縮以提高SMO的觀測(cè)范圍并使得誤差控制在一定范圍內(nèi)。這種雙邊界層SMO增強(qiáng)了觀測(cè)器的魯棒性，并可以有效地削弱抖振。

為驗(yàn)證雙邊界層SMO的穩(wěn)定性，選擇Lyapunov函數(shù)為

(23)

式(23)求導(dǎo)，得

(24)

式(20)代入式(24)，得

(25)

3 系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)分析

實(shí)驗(yàn)中選擇慧摩森科技公司生產(chǎn)的LM22-26系列XY平臺(tái)作為控制對(duì)象進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。采用美國(guó)GSI公司的Micro-EMercury II 1600-40型光柵編碼器作為兩軸位置傳感器，X-RS232與Y-RS232分別為PC與X軸、Y軸的驅(qū)動(dòng)器通訊口。XY平臺(tái)伺服系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 XY平臺(tái)伺服系統(tǒng)的硬件結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Hardware structure diagram of XY table servo system

為驗(yàn)證雙軸直驅(qū)平臺(tái)伺服系統(tǒng)的跟蹤性和魯棒性，對(duì)系統(tǒng)輸入r1=0.02cos(πt)，r2=0.02sin(πt)的圓形輪廓，并在2 s對(duì)兩軸同時(shí)施加50 N負(fù)載，系統(tǒng)產(chǎn)生的輪廓誤差如圖4所示。從圖4(a)、圖4(b)可以看出，采用AILC產(chǎn)生的輪廓誤差的均方根值為0.75 μm；采用AILC-SMO產(chǎn)生的輪廓誤差的均方根值為0.4 μm。這表明兩種控制方法都可以較好得跟蹤輪廓。系統(tǒng)突加負(fù)載時(shí)，AILC產(chǎn)生的輪廓誤差為8.8 μm，而AILC-SMO產(chǎn)生的輪廓誤差為4.64 μm。因此，AILC對(duì)系統(tǒng)的不確定性比較敏感，魯棒性受到影響；而AILC-SMO能夠有效地跟蹤系統(tǒng)輪廓，同時(shí)可以對(duì)系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行補(bǔ)償，具有較好的魯棒性。

圖4 圓形參考輪廓實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.4 Experimental results of circular reference contour

為了進(jìn)一步驗(yàn)證AILC-SMO的性能，對(duì)系統(tǒng)輸入r1=0.06cos(πt)，r1=0.02sin(πt)的高進(jìn)給率橢圓形輪廓，系統(tǒng)產(chǎn)生的輪廓誤差如圖5所示。在初始時(shí)刻AILC產(chǎn)生的輪廓誤差最大值為9.2 μm，輪廓誤差的均方根值為1.04 μm；AILC-SMO產(chǎn)生的輪廓誤差最大值為5.87 μm，輪廓誤差的均方根值為0.52 μm。因此，AILC-SMO對(duì)于高進(jìn)給率的輪廓可以產(chǎn)生優(yōu)異的輪廓加工性能。

圖5 橢圓形參考輪廓實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.5 Experimental results of ellipse reference contour

當(dāng)系統(tǒng)輸入如圖6(a)所示的r1=0.01cos3(πt)，r2=0.01sin3(πt)的星型參考輪廓時(shí)，雙軸直驅(qū)平臺(tái)伺服系統(tǒng)的輪廓誤差曲線如圖6(b)所示。

圖6 星形參考輪廓實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.6 Experimental results of astroid reference contour

比較兩組曲線發(fā)現(xiàn)，AILC在尖角處產(chǎn)生的最大輪廓誤差約為7.4 μm，AILC-SMO在尖角處產(chǎn)生的最大輪廓誤差約為4.5 μm。AILC在曲線的平滑處可以產(chǎn)生良好的跟蹤輪廓，但是在尖角處的輪廓跟蹤性能惡化；而AILC-SMO可以更精確地跟蹤尖角處的參考輪廓，因此該控制方案有效可行。

4 結(jié) 論

針對(duì)雙軸直驅(qū)平臺(tái)伺服系統(tǒng)的高精密輪廓控制問(wèn)題，考慮到復(fù)雜輪廓以及不確定性因素使得伺服系統(tǒng)的輪廓性能惡化，提出了AILC和SMO相結(jié)合的魯棒迭代學(xué)習(xí)輪廓控制方案。在全局任務(wù)坐標(biāo)系下將跟蹤誤差的法向分量估計(jì)為輪廓誤差，采用AILC對(duì)輪廓誤差進(jìn)行控制；利用雙邊界層SMO對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)和補(bǔ)償，增強(qiáng)了觀測(cè)器的魯棒性。從理論上分析了AILC的穩(wěn)定性與收斂性和SMO的穩(wěn)定性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用的控制方案有效可行，減小了系統(tǒng)的輪廓誤差，具有較強(qiáng)的魯棒性，實(shí)現(xiàn)了高精密輪廓控制。