七階電力系統混沌振蕩的動態面滑模控制

王江彬， 劉凌， 劉崇新

(西安交通大學 電氣工程學院，西安 710049)

0 引 言

電力系統混沌振蕩因其對整個系統穩定性構成挑戰，因此對其進行控制就顯得尤為必要[1-6]。針對電力系統混沌控制問題，研究最多的模型當屬二階電力系統模型[7-11]。也有眾多混沌控制方法針對四階電力系統模型。具體而言，文獻[12-18]分別針對該系統提出了精確反饋線性化控制、自適應反饋控制、固定時間動態面高階滑模控制、快速固定時間非奇異終端滑模控制、固定時間積分滑模控制以及更為實用化的協同控制。可以看出，目前人們仍然主要研究一些低階電力系統模型。從控制的角度來說，這些模型均是比較簡單的。

對于電力系統動力學模型而言，模型建立過程考慮的因素越全面，也就越能表征實際電力系統的運行特點，最終建立的模型必然也會越復雜。由于實際工程中的電力系統是典型的高維強耦合的復雜動力學系統，因而從實踐的角度來說，控制更為復雜的電力系統模型就顯得更為必要。著名的七階電力系統模型是比較復雜的模型[19-22]，其參數耦合關系及每個參數物理意義詳見文獻[19-22]。由于模型本身的復雜性所致，對其進行控制就比較困難。文獻[23]針對該系統的混沌控制問題提出了固定時間協同控制，然而所設計的控制輸入包含受控系統函數的導數，這增加了工程實施的難度。另外，對于這一復雜系統仍然有必要提出新的控制方法。

鑒于此，研究了七階混沌電力系統的控制問題，并將混沌控制問題最終歸結為三個具有嚴格反饋形式的子系統的鎮定問題。對于嚴格反饋系統，可以設計反推控制輸入，然而反推控制存在“復雜性爆炸”問題[24-25]，即控制器設計過程需要對虛擬控制輸入求導，因而設計的控制輸入中必然包含受控系統函數的導數，這增加了控制器的復雜性，而動態面控制作為反推控制的進一步發展，其可以很好地解決這一問題[26-27]。另外，由于系統特點所致，引入滑模控制方法能夠減少控制器設計的步驟，因此本文利用動態面控制并結合滑模控制方法針對七階混沌電力系統設計了動態面滑模控制輸入。

1 電力系統模型及混沌動力學分析

首先構建受控電力系統動力學模型，并對系統中的混沌振蕩進行分析。考慮著名的七階電力系統模型[19-22]，該系統模型對應的電路系統是一個典型三母線系統，包括發電機母線1、負載母線2以及無窮大母線3。圖1中去掉“儲能裝置1”以及“儲能裝置2”模塊的電路圖為七階電力系統的原有電路系統。為了進行控制器設計，為該系統引入兩臺儲能裝置，其中一臺儲能裝置接在發電機母線處，用于調節該母線處的有功功率；另外一臺儲能裝置接在負載母線處，用于調節該母線處的有功及無功功率。這樣電力系統成為受控系統，其電路接線圖如圖1所示，圖中與正文相同字母表示的含義相同。

圖1 受控七階電力系統的電路接線圖Fig.1 Circuit diagram of the controlled seven-dimensional power system

圖1中，Pes1表示儲能裝置1從發電機母線吸收的有功功率，Pes2及Qes2表示儲能裝置2從負載母線吸收的有功功率及無功功率。而七階電力系統模型中發電機母線處功率量Pm表示機械輸入功率，負載母線處功率量P、Q分別表示提供給負載母線的有功功率及無功功率。考慮到這6個功率量表示的物理含義，從而將3個功率量Pes1、Qes2、Pes2與七階電力系統模型建立耦合關系，并引入儲能裝置的動力學模型[28]，最終建立的受控十階電力系統耦合動力學模型表述為

(1)

系統(1)中，除了Kpes1、Kqes2、Kpes2及Tes表示控制裝置的常值參數之外，系統的其他常值參數均為七階電力系統的常值參數。這其中除了重要分岔參數Pm=1.363，電力系統的其他參數取值及其初始值均引自文獻[23]。儲能裝置動態系統的初值取為：Pes1(0)=0；Qes2(0)=0；Pes2(0)=0。在控制輸入投入運行之前，電力系統中出現混沌振蕩，系統狀態在相圖上表現為圖2所示的奇怪吸引子。

圖2 七階混沌電力系統相圖Fig.2 Phase portrait of the seven-dimensional chaotic power system

2 混沌控制器設計

為了控制系統(1)的混沌振蕩，這里為其設計混沌控制輸入upes1、uqes2及upes2來抑制這種混沌行為。

控制輸入upes1的作用是使電力系統恢復到同步運行狀態，控制輸入uqes2的作用是使電力系統負載母線電壓的相角恢復到額定值0，而控制輸入upes2則可以使電力系統負載母線電壓的幅值恢復到額定值1。為此，控制目標設定為(δm,sm,δL,VL)=(0,0,0,1)，系統輸出確定為y1=δm，y2=δL，y3=VL。這樣，混沌電力系統(1)的控制問題實質上就成為一個具有多輸入多輸出的高維強耦合的復雜動力學系統的控制問題。由于所研究的系統模型比較復雜，因此在控制器設計時需要觀察輸入量與輸出量之間的對應關系，并通過輸入與輸出之間的關聯將整個復雜動力學系統肢解為比較簡單的子系統來進行控制器設計。利用這種思路可以將電力系統(1)的混沌控制問題歸結為三個具有嚴格反饋形式的子系統的鎮定問題，這樣就可以利用動態面滑模控制方法控制各個子系統并為其設計對應的控制輸入。

2.1 第一個控制輸入的設計

為了使整個受控電力系統(1)恢復到同步運行狀態需要設計控制輸入upes1，由于該控制輸入對應的輸出為y1=δm，考慮由系統(1)的前三個方程構成的子系統的控制問題。注意到該子系統具有嚴格反饋形式，因此可以應用動態面控制方法對其進行控制。按照動態面控制方法設計控制器時，設計步驟必然包含三步。為了減少控制器設計步驟，并簡化穩定性分析的復雜性，引入滑模控制方法并設計滑模面為

σ=sm+k·(δm/ωB)。

其中k為正的常數。

定義滑模面后，整個動態面滑模控制輸入upes1的設計過程包含兩步。

第1步：定義第一個動態面S1=σ，則動態面S1滿足的動態方程為

(2)

為穩定動態面S1，選擇虛擬控制輸入

(3)

(4)

第2步：定義第二個動態面S2=Pes1-Pes1d，則該動態面S2滿足的動態方程為

(5)

為穩定動態面S2，并使其收斂至0，設計最終的控制輸入upes1為

(6)

這樣，就完成了控制輸入upes1的設計過程。

2.2 第二個控制輸入的設計

為了控制負載母線電壓的相角需要設計控制輸入uqes2，由于該控制輸入對應的輸出為y2=δL，那么將系統(1)的倒數第三個方程和倒數第四個方程構成的系統作為一個獨立的子系統，注意到它也具有嚴格反饋形式，因此可以為其設計動態面控制輸入。對于該子系統，動態面控制輸入uqes2的設計過程包含兩步。

第1步：定義第三個動態面S3=δL，則該動態面S3滿足的動態方程為

f(·)-Qes2/q1。

(7)

為穩定動態面S3，選擇虛擬控制輸入

(8)

(9)

第2步：定義第四個動態面S4=Qes2-Qes2d，則該動態面S4滿足的動態方程為

(10)

為了穩定動態面S4，并使其收斂至0，設計最終的控制輸入uqes2為

(11)

這樣，就完成了控制輸入uqes2的設計過程。

2.3 第三個控制輸入的設計

為了控制系統負載母線電壓的幅值需要設計控制輸入upes2，由于該控制輸入對應的輸出為y3=VL，那么可以將系統(1)的最后兩個方程構成的系統作為一個獨立的子系統，注意到它也具有嚴格反饋形式，因此也可以利用動態面控制方法對其進行控制。對于該子系統，動態面控制輸入upes2的設計過程包含兩步。

第1步：定義第五個動態面S5=VL-1，則動態面S5滿足的動態方程為

g(·)-(1/p2)Pes2。

(12)

為穩定動態面S5，選擇虛擬控制輸入

(13)

(14)

第2步：定義第六個動態面S6=Pes2-Pes2d，則該動態面S6滿足的動態方程為

(15)

為了穩定動態面S6，并使其收斂至0，設計最終的控制輸入upes2為

(16)

這樣，就完成了控制輸入upes2的設計過程。

至此，通過控制器設計就得到了三個控制輸入的表達式。觀察控制輸入(6)、式(11)以及式(16)的最終表達形式，可以看出控制輸入中均不包含受控系統函數的復雜導數項，形式更為簡潔，因而本文控制方法比文獻[23]的固定時間協同控制方法更易于工程實施。經過上述控制器設計過程，得到的整個受控電力系統最終等價于由式(1)、式(4)、式(9)以及式(14)的動力學方程組成的十三階動力學系統。

3 閉環系統穩定性分析

下面給出受控閉環電力系統穩定性證明過程。

首先定義3個變量：

(17)

將式(17)的變量與所定義的6個動態面變量相結合，可以得到9個誤差變量：

(18)

對于受控的閉環系統而言，可以寫出式(18)中各個變量滿足的動態方程。

結合式(2)、式(3)、式(5)、式(6)，可得閉環系統動態面S1與S2的動態方程表述為：

(19)

結合式(7)、式(8)、式(10)、式(11)，可得閉環系統動態面S3與S4滿足的動態方程表述為：

(20)

結合式(12)、式(13)、式(15)、式(16)，可得閉環系統動態面S5與S6滿足的動態方程表述為：

(21)

而誤差變量z1、z2及z3滿足的動態方程為：

(22)

為了進行穩定性分析，構造李雅普諾夫函數

考慮式(19)、式(20)、式(21)、式(22)，可得該函數關于時間的導數為

|z1|M1+|z2|M2+|z3|M3。

(23)

考慮到不等式：

其中：ξ1、ξ2及ξ3表示正的常數。

則式(23)可以表述為

(24)

針對式(24)，令參數滿足不等式條件：

(25)

則可得

-2rV+M。

(26)

求解式(26)的微分方程不等式可得

則可以得

(27)

由式(27)可知：系統能夠實現一致終結有界穩定，并且在M1、M2及M3一定的情況下，可以通過調節參數ξ1、ξ2、ξ3及r的值來使得控制誤差盡可能小。由式(25)可知，r的值可以通過調節控制參數k1、k2、k3、k4、k5、k6的值進行設定，而ξ1、ξ2、ξ3的值可以通過調節τ1、τ2、τ3的值進行設定。

4 控制效果數值仿真及分析

為證實所設計控制器的有效性，利用MATLAB對控制效果進行數值仿真驗證。控制參數取值為：Kpes1=1；Kqes2=1；Kpes2=1；Tes=1；k=10；k1=15；k2=15；k3=15；k4=15；k5=15；k6=15；τ1=0.01；τ2=0.01；τ3=0.01。式(4)、式(9)及式(14)中濾波器的狀態變量Pes1d、Qes2d及Pes2d的初始值選取為：Pes1d(0)=0；Qes2d(0)=0；Pes2d(0)=0。在電力系統運行過程中，設定所設計的控制器在第10 s投入運行，所得到的控制效果仿真圖如圖3～圖7所示。圖3給出了控制器投入運行以后，由式(18)定義的9個誤差變量的時域波形，由該圖可得每個誤差變量都收斂至0，這證實對受控閉環系統穩定性證明過程的正確性。

圖3 誤差變量時域波形Fig.3 Time responses of the error variables

圖4給出了七階混沌電力系統在控制器作用下的時域波形，該圖說明每個狀態變量均能夠由混沌振蕩狀態恢復到平衡態，從而證實所設計控制器的有效性。整個受控電力系統最終等效于一個十三階動力學系統。

圖4 控制器作用前后七階電力系統時域波形Fig.4 Time responses of the seven-dimensional power system before and after controllers are put into operation

圖5給出了該等效十三階系統每個狀態變量的時域波形，該圖表明受控電力系統的每個狀態變量均恢復到平衡態，從而使整個受控電力系統完全恢復到穩定運行狀態。圖6給出了受控電力系統由混沌狀態演化為不動點的演化過程圖，正如該圖所示，控制器運行之前電力系統狀態在相空間中表現為奇怪吸引子，控制器投入運行后整個系統的狀態由相空間中原來的奇怪吸引子經特定的演化軌線逐漸演化為平衡態不動點，系統奇怪吸引子消失，七階電力系統恢復穩定。圖7為所設計控制輸入的時域波形，由于所設計的控制輸入為連續控制律，因而控制輸入是平滑波形。

圖5 控制器投入運行后等效十三階電力系統的時域波形Fig.5 Time responses of equivalent thirteen-dimensional power system under the designed controllers

圖6 受控電力系統狀態在相空間中的演化過程圖Fig.6 Evolution process diagram of controlled power system state in phase space

圖7 所設計的控制輸入時域波形Fig.7 Time responses of the designed control inputs

5 結 論

1)通過對七階電力系統模型引入儲能裝置的動力學模型，可以有效控制電力系統中的混沌振蕩，這說明電力系統混沌振蕩控制問題的本質是對電力系統有功功率以及無功功率的控制。

2)將復雜七階混沌電力系統的控制問題最終歸結為三個具有嚴格反饋形式的子系統的控制問題，并為其設計了對應的動態面滑模控制輸入。經過動態面滑模控制器設計，受控電力系統本質上形成一個復雜的十三階電力系統動力學模型，當控制器投入運行后，系統的十三個狀態變量均恢復到平衡態，這時電力系統也就恢復到了穩定運行狀態，從而有效控制了電力系統的混沌振蕩。

3)由于對七階電力系統模型進行化簡就可以得到更為簡單的四階及二階電力系統模型，因而七階混沌電力系統的控制成功意味著再沒有必要從確定性系統混沌控制的層面再來研究這些更為簡單的電力系統動力學模型。本文對七階混沌電力系統的控制思路可以延伸應用于解決更加實際的電力系統動力學模型的混沌控制問題。