下凹形態裂隙面粗糙程度表征及立方定律修正系數擬合

甘 磊，馬洪影，沈振中

（河海大學 水利水電學院，江蘇 南京 210098）

1 研究背景

天然裂隙的裂隙面多為粗糙面，而裂隙面的粗糙程度直接影響裂隙巖體的滲流過程。粗糙裂隙滲流特性不能忽視裂隙面幾何特征的影響［1-3］。定量解析和描述裂隙粗糙程度對裂隙滲流水力特性的影響是研究裂隙滲流特性的基礎，具有重要意義和價值［4-6］。

粗糙度是結構面側壁的粗糙程度，是裂隙滲流計算中的關鍵指標之一。目前，裂隙面粗糙程度信息測定設備主要有測針式剖面測量儀（精度0.1 mm）、斷面測量儀（精度10 ～0.001 mm）、千分表（精度0.001 mm）、光投射儀及激光剖面測量儀（精度0.01 μm）等。裂隙粗糙程度表征方法可歸納為三大類：凸起高度表征法、節理粗糙度系數JRC 表征法和分數維表征法［7］。凸起高度表征法直接以裂隙表面的凸起高度函數或凸起高度的概率密度函數來描述裂隙表面的粗糙性，該方法需精確量測裂隙上每一測點凸起高度。JRC 系數一般采用標準剖面對照法確定，但是實際結構面很復雜，難用Barton［8］提出的10 條標準剖面完全表述。分數維表征法是采用分數維的大小來表征裂隙的粗糙程度，主要通過量軌法或功率譜密度法進行測定，近年來應用廣泛。如王來貴等［9］利用激光共聚焦顯微鏡觀測不同粒徑砂巖裂隙表面，以三維分形維數D作為裂隙表面粗糙度表征參數，建立基于三維分形維數D的單裂隙滲流模型。鞠楊等［10］采用Weierstrass-Mandelbrot 分形函數，基于透明有機玻璃材料制作不同分形維數粗糙單裂隙的物理模型，分析水滲流性質隨裂隙粗糙性的變化規律，提出了粗糙單裂隙分形等效滲透系數計算公式。Chen 等［11］利用投影覆蓋法計算表面分形維數，采用多重分形參數來表征三維粗糙度。Liren 等［12］引入粗糙度參數，結合分形理論，提出了一種能反映巖石節理剪切強度和描述粗糙度各向異性的三維粗糙度參數系統，該系統克服了采樣間隔的影響。Brown 等［13］利用雷諾方程和節理表面形態分形模型，研究了節理粗糙度對節理滲流特性的影響。也有學者通過建立粗糙度和JRC 與分形維數D之間的數值關系［14-15］，解決了粗糙度和JRC 的量化問題。單一的分形維數無法真實反映裂隙面形態對單裂隙滲流特性的影響，結合數碼成像、3D 掃描/打印等新技術開展裂隙滲流研究是一種新的趨勢［16］。

天然的巖體裂隙面是粗糙、不規則的，若將平均隙寬或機械隙寬應用于立方定律，計算結果會存在較大的誤差［17-21］。為了提高立方定律的適用性，Lomize［22］、Louis［23］、Barton 等［24］、速寶玉等［25］、Kishida 等［26］、Wang 等［27］基于試驗及統計分析，提出了不同立方定律修正公式。周創兵等［28］根據立方定律求得滲透系數，結合試驗與數值模擬成果，分析了粗糙裂隙的滲流規律。Belem 等［29］和Homand等［30］采用三維平均角度、參數Z2、表面相對粗糙度系數、表觀各向異性程度和表面彎曲度系數等5個粗糙度參數來描述及表征三維節理表面幾何信息。張鵬等［31］基于Belem 三維表面粗糙度表征理論，引入裂隙表面局部坡向概念，提出了一種能夠反映裂隙剪切方向與裂隙表面各向異性關系的三維表面粗糙度表征方法。肖維民等［32］將節理平面離散成單元格，建立節理滲流空腔模型，研究粗糙裂隙的滲流特性。郭保華［33］研究了粗糙度系數、粗糙輪廓指數、粗糙角、分維和截距等參數的相互關系。Tang 等［34］提出了一種基于亮度面積百分比（BAP）表征巖石節理三維粗糙度的方法。王志良等［35］基于Boltzmann 格子方法，討論裂隙面粗糙度對滲流流態的影響。申林方等［36］采用中點插值法以及Boltzmann 格子法，研究粗糙巖體裂隙幾何形貌對裂隙滲流特性的影響。上述學者采用不同粗糙度表征參數來描述粗糙裂隙形貌對裂隙滲流特性的影響，也有學者側重研究正應力、剪應力、裂隙接觸面積等因素對裂隙滲流過程的影響［37-42］。自然界中巖體裂隙面多為上凸形態粗糙面，而以上研究成果多是基于上凸形態巖體粗糙面提出的。水工混凝土結構（隧洞襯砌、溢洪道、導墻、渠道等），一般是預制澆筑而成，其多孔混凝土粗糙面呈下凹分布特點，相對于同條件下的上凸形態粗糙面，其平均裂隙寬度大。上凸形態粗糙面凸起程度與裂隙過流能力是負相關的，而下凹形態粗糙裂隙面下凹程度與裂隙過流能力是正相關的，兩種形態粗糙裂隙面對裂隙過流能力的影響不同。

本文基于下凹形態的粗糙裂隙面，利用數字成像技術采集粗糙裂隙面下凹數字信息，提出一種描述下凹形態裂隙面粗糙程度的新方法，結合MATLAB 隨機函數擬定不同下凹度的粗糙面，建立下凹形態粗糙裂隙的立方定律修正公式。基于數值模擬和物理模型試驗成果，驗證立方定律修正系數公式和參數取值的合理性。

2 下凹度表征方法

上凸形態的裂隙面粗糙程度常采用起伏差［35］、節理粗糙系數JRC［13］和分數維D［43］來表征，本文引入裂隙面下凹度參數來表征下凹形態裂隙面粗糙度。采用高倍數數碼相機（1000 萬像素），對裂隙面進行數字成像，單次拍攝區域為500 mm×500 mm，每個試樣拍攝3 次。結合軟件統計處理的方法獲取粗糙裂隙面信息并使其數值化，拍攝后未處理的某個裂隙面圖片如圖1（a）所示，將拍攝后圖形文件導入Photoshop，生成具有黑、深灰、淺灰、白四種色階的圖像，如圖1（b）所示。

圖1 裂隙面數字成像圖

將圖像與實際裂隙面相應位置進行探針測量，測量結果表明白色裂隙基準面的下凹度為0 ～0.15 mm，淺灰色、深灰色及黑色區域下凹度分別為0.15 ～0.45 mm、0.45 ～0.75 mm 及0.75 ～1 mm。采用Photo?shop 軟件進行統計計算，四種不同色階區域占整個裂隙面的面積百分比分別為51%、24%、17%和8%。將4 種不同（白、淺灰、深灰及黑）色階的下凹程度分別按0.075 mm、0.300 mm、0.600 mm、0.875 mm 進行統計，即可得到3 組不同孔隙介質裂隙面下凹面積百分比隨下凹度的變化規律，如圖2所示。由于多孔混凝土（孔隙介質）澆注工藝以及Photoshop 數字化特點，使通過高像素數碼相機成像的粗糙裂隙面圖像具有以下特點：粗糙裂隙面表面整齊，局部下凹，而且不同下凹區域的下凹程度不同；3 個孔隙介質的裂隙基準面面積占50%左右，遠高于下凹部分面積；隨著下凹程度的加大，其所在區域逐漸減小。

圖2 不同孔隙介質裂隙面各色階面積占比隨下凹度的變化規律

孔隙介質的孔隙分布比較均勻，其裂隙面下凹分布相對均勻。針對這一構造特點，利用MAT?LAB 軟件進行處理，不同下凹程度區域在整個裂隙面分布相對均勻，其三維裂隙面的每個標準剖面的粗糙度取平均下凹度進行表征，沿裂隙水流流動方向隨機生成該裂隙介質的裂隙結構面，數值化后的孔隙介質P-1 裂隙面示意圖如圖3所示。如圖3所示，多孔混凝土的澆筑特點導致其裂隙面呈現表面整齊、局部下凹的粗糙形態，引入裂隙面下凹度φ來表征裂隙面的粗糙程度。

采用等效均質方法，選取各色階區域面積占比與其平均下凹程度乘積之和來表征整個裂隙面下凹程度，如白色區域的面積百分占比為a（平均下凹0.075 mm），淺灰色區域面積百分占比為b（平均下凹0.300 mm），深灰色區域面積百分占比為c（平均下凹0.600 mm），黑色區域面積百分占比為d（平均下凹0.875 mm），則其裂隙面下凹度φ由下式計算：

故該第一組孔隙介質P-1 的下凹度φ為0.282 mm，同理可得到另外兩種孔隙介質裂隙面下凹度為0.300 mm 和0.324 mm。

圖3 孔隙介質P-1 裂隙面示意（單位：mm）

3 試驗論證

3.1 試驗裝置及材料裂隙滲流試驗系統包含水循環控制系統、數據采集系統和試驗模塊［44］，如圖4所示。水循環控制系統確保供水循環使用，且控制上、下游水箱水頭；數據采集系統采集試樣內部水壓、水溫和流量等的實時數據。試驗模塊由一個長1200 mm、寬300 mm、高500 mm 的多孔混凝土砌塊和相鄰的長1700 mm、厚3.5 mm、高500 mm 的有機玻璃板組成。多孔混凝土塊和有機玻璃板之間有間隙，間隙是通過插入不銹鋼墊片形成的，在混凝土塊和有機玻璃板之間形成厚度為1.0 mm 的間隙模擬裂隙，如圖5（a）所示。采用的多孔混凝土配合比水泥∶水∶石英砂∶黃沙為2∶1∶9∶1，澆筑了三組多孔混凝土塊，滲透系數分別為0.19、0.37 和0.88 cm/s。試驗模塊的進、出口流量控制開關布置如圖5（b）所示。由直徑為6.0 mm 高強度不銹鋼管和HM-20-1-A1-F1-W2 水壓傳感器測量塊體和裂縫內不同位置的水壓。在澆筑多孔混凝土時，測壓管被預埋在多孔混凝土中，各測試模塊中埋管的分布如圖6所示。進水和出水流量采用LDG15 集成電磁流量計測量，最大流量為99.0 m3/h，精度為0.001 m3/h。

圖4 雙重介質滲流系統裝置

圖5 滲流試驗模塊

圖6 試驗模塊水壓測量位置布置圖（單位：mm）

3.2 結果論證對三種孔隙介質隨機裂隙面和光滑裂隙面進行數值模擬，計算得到上、下游水頭1.0 m、隙寬1.0 mm、水溫18 ℃時裂隙的流量，三組孔隙介質（P-1、P-2 和P-3）和光滑裂隙單寬流量分別為8.980×10-4、9.160×10-4、1.040×10-3和8.134×10-4m2/s。假定三組孔隙介質和光滑裂隙面的單寬出流量分別為q1、q2、q3和q，第i組孔隙介質在隙寬為1.0 mm 時的等效水力隙寬Bi計算公式如下：

式中：ξ為粗糙修正系數；B為光滑裂隙面隙寬；i為第i組孔隙介質。由式（3）可以計算三組孔隙介質裂隙面的水力隙寬分別為1.048、1.059 和1.127 mm。

上、下游水頭1.0 m、隙寬1.00 mm、水溫18 ℃時，兩種不同進水方案下雙重介質滲流模型試驗結果、數值計算結果和考慮裂隙粗糙程度修正后的裂隙介質出水量占出水總量百分比如表1所示。由表1可知，光滑裂隙情況下的計算值與雙重介質裂隙滲流試驗結果的平均絕對誤差MAE、均方根誤差RMSE和平方根R2分別為8.86%、3.87×10-4和0.929；考慮裂隙面粗糙度，修正后的裂隙介質出水量占比計算值與試驗值的平均絕對誤差MAE、均方根誤差RMSE和平方根R2分別為1.35%、1.06×10-4和0.995。修正裂隙面粗糙程度的計算值更接近試驗值，說明采用數碼成像，結合MATLAB 軟件隨機生成裂隙面的方法適用于研究下凹形態孔隙介質裂隙面粗糙度對裂隙過水能力的影響。

表1 試驗值與計算值比較

4 立方定律修正

4.1 典型粗糙裂隙面根據孔隙介質粗糙裂隙面的構造特點，擬定如下13 個典型裂隙面，各裂隙面的四個色階區域面積占比和下凹度值信息如表2所示。利用MATLAB 軟件隨機函數，結合CAD 軟件生成13 個典型裂隙面，典型裂隙面形態如圖7所示。

表2 典型裂隙面信息

圖7 典型粗糙裂隙圖

上、下游水頭為1.00 m、水溫18 ℃時，13 個典型粗糙裂隙面（F-1 ～F-13）與光滑裂隙面組成的裂隙的單寬流量Q與裂隙寬度之間的變化關系如圖8所示。由圖8可知，隨著裂隙開度增大，裂隙單寬流量也隨之增大，且增速不斷變大；同裂隙寬度情況下，裂隙面下凹度越大，裂隙的單寬流量越大。裂隙單寬流量與裂隙開度和下凹度正相關。

圖8 不同下凹度條件下裂隙單寬流量與裂隙開度變化曲線

4.2 立方定律修正函數

4.2.1 修正函數參數擬合 國內外許多學者對粗糙裂隙滲流特性做了研究，建立了單寬流量q與代表隙寬B（如水力隙寬Bh、平均隙寬、機械隙寬Bm等）的關系式，如Lomize［22］和Louis［45］將裂隙水流態嚴格劃分為層流與紊流， 分別提出了層流情況下的巖體裂隙水流的計算公式：

式中：μ為流體動力黏滯系數；q為裂隙滲流量。

Barton［24］提出JRC（節理粗糙度系數）修正法，將等效水力隙寬Bh與機械隙寬Bm聯系起來。在立方定律中建議裂隙寬度采用等效水力隙寬：

Iwai［46］考慮裂隙接觸面積率的影響，提出下式：

式中：Q為相應于接觸面積率ω的流量；Q0為ω=0 時的流量；ω為隙面面積接觸率（裂隙面凸起接觸面積與總面積之比）；η為經驗系數。

速寶玉［25］認為粗糙巖體裂隙隙寬一般均不大，多數為10-3～10-1mm，實際巖體裂隙水流多數處于層流、光滑紊流和過渡區，難于進入充分發展的紊流階段。將層流近似看作為一種非線性程度極弱的流動，提出了一個紊流、層流統一的經驗公式：

式中m為裂隙水流非線性指數。

歸納以上各式，可寫為統一形式：

式中：α為粗糙裂隙流量的修正系數。針對孔隙-裂隙雙重介質水力特性試驗中孔隙介質裂隙面的構造特點，需要建立α、下凹度φ和裂隙寬度B的關聯。

下凹度φ對立方定律的修正系數α的表達式為：

式中：q為不同下凹度情況下裂隙的單寬流量，m2/s；q0為相同隙寬條件下光滑裂隙的單寬流量，m2/s。

取0.25、0.50、0.75 和1.00 mm 四個不同隙寬的工況進行修正函數的參數擬合，修正系數α如表3所示。0.40 mm 隙寬各工況計算值用于擬合函數的檢驗。

表3 不同工況修正參數α 值

為研究不同裂隙寬度B情況下下凹度φ對修正系數α的影響，引入相對下凹度φ′，構造立方定律修正函數α=f(φ′)。相對下凹度φ′與修正系數α的關系分析呈現較好的二次多項式關系。故采用二次多項表達式擬合不同裂隙寬度下相對下凹度φ′與修正系數α的關系，即：

式中：α為粗糙裂隙立方定律修正系數；a，b，c為經驗常數。由于相對下凹度φ′=0 ，為光滑裂隙，修正系數α=1，故c=1.0。

根據圖9中擬合得到a、b參數值，分別與裂隙寬度B進行擬合，擬合曲線如圖10所示，擬合表達式為：

圖9 相對下凹度-修正系數關系曲線

圖10 裂隙寬度-擬合參數關系曲線

基于立方定律修正系數計算式（14），選取裂隙寬度B在0.02 mm ～0.30 mm 間的幾組數據進行分析，其修正系數α與下凹度φ的關系曲線如圖11所示。由圖11可知，當裂隙寬度B一定時，裂隙面下凹度越大，其修正系數越大；隨著B的增大，修正系數對下凹度敏感程度降低，裂隙寬度B大于0.10 mm，修正系數隨裂隙面下凹度增大而增長速率減小，當裂隙寬度0.30 mm 時，裂隙面下凹度0.10 mm 對應的修正系數為1.029，而裂隙面下凹度0.40 mm 對應的修正系數為2.519。因此，對于涉水混凝土結構而言，可通過混凝土抗裂設計控制裂縫寬度，同時在預制養護過程中盡量減小裂隙面下凹度，減小混凝土裂縫滲漏量。實際巖體工程中， 除極少數較大斷裂構造外， 絕大多數為細小裂隙［25］，而露天高濕環境下混凝土裂縫最大允許寬度不超過0.30 mm，也是細小裂縫為主，一般寬度為10-3～10-1mm 量級，故本文提出立方定律修正系數計算公式具有較廣泛的應用前景。

圖11 裂隙面下凹度-修正系數關系曲線

4.2.2 修正函數驗證 裂隙寬度0.40 mm 時各下凹度工況下的修正系數α用Comsol Multiphysic［47］軟件進行數值模擬，將數值計算得到修正系數值與采用公式（14）計算得到的修正系數α進行比較，如圖12所示。

由圖12可知，裂隙寬度0.40 mm 時，兩種方法得到的立方定律修正系數值平均絕對誤差為1.75%，R2和RMSE分別為0.983 和0.023，說明擬定的修正系數公式和參數是合理的。同時，將采用該修正系數公式得到的裂隙過流單寬流量和試驗測得的單寬流量值進行對比，選取裂隙寬度為1.0 mm，水溫18 ℃，裂隙進水方式下三種不同孔隙介質（P-1、P-2 和P-3）工況進行分析，孔隙介質P-1、P-2 和P-3 對應的下凹度分別為0.282 mm、0.300 mm 和0.324 mm，采用公式（19）可以求得修正系數值分別為1.141、1.203 和1.295，根據立方定律計算光滑裂隙過流的單寬流量，再結合公式（15）即可求得三種孔隙介質裂隙面的單寬流量，其計算結果見表4。

圖12 不同下凹度下數值和公式方法得到的修正系數對比

表4 裂隙單寬流量試驗值和計算值

由表4可得：隨著裂隙面下凹度數值的增大，采用修正系數公式計算得到的單寬流量和試驗測定的裂隙單寬流量均增大，符合一般規律；三種不同孔隙裂隙面情況下的裂隙單寬流量計算值和試驗值最大相對誤差為6.83%，平均絕對誤差和RMSE分別為3.82%和4.080×10-4m2/s。

綜上研究表明，基于高像素數碼相機成像和MATLAB 技術，擬定下凹形態孔隙介質粗糙裂隙面，結合孔隙介質粗糙裂隙面相對下凹度，提出粗糙裂隙立方定量修正系數公式，該綜合研究方法是合理可行的，適用于下凹形態粗糙裂隙面的裂隙滲流研究，研究成果可為涉水混凝土結構裂縫滲漏量估算提供理論依據。但本文擬合得到的修正系數公式和參數是基于下凹形態孔隙介質粗糙裂隙面和光滑裂隙面所構成的裂隙，并不適用于所有形態粗糙裂隙，且未考慮正應力、剪應力、接觸面積及裂隙彎曲度對裂隙滲流的影響，存在一定局限性。

5 結論

本文針對下凹形態的粗糙裂隙面，引入下凹度參數來表征裂隙面的粗糙程度，結合裂隙開度對立方定律公式進行修正，提出修正系數計算公式，具體結論如下：

（1）使用高像素照相機采集孔隙介質模塊粗糙裂隙面的信息，結合MATLAB 軟件對裂隙面信息進行數學處理，按下凹程度0.075、0.300、0.600 和0.875 mm 對粗糙裂隙面信息進行統計，得到孔隙介質試驗模塊的各色階區域面積占比隨下凹程度的變化規律。

（2）提出用下凹度來描述下凹形態孔隙介質裂隙面粗糙度的方法。按裂隙面下凹度隨機生成三組孔隙介質粗糙裂隙面，上、下游水頭為1.00 m、隙寬1.0 mm、水溫18 ℃時，修正后的裂隙介質出水量占比計算值與試驗值的MAE、RMSE和R2分別為1.35%、1.06 × 10-4和0.995，與試驗值更為吻合，說明該方法適用于研究下凹形態孔隙介質裂隙面粗糙程度對裂隙滲流特性的影響。

（3）基于孔隙介質試驗模塊各色階區域面積百分占比隨下凹度變化規律，隨機生成13 個典型粗糙裂隙面，引入相對下凹度，擬定立方定律修正函數公式，并擬合公式參數。當裂隙寬度0.40 mm 時，數值和修正公式計算得到的立方定律修正系數值平均絕對誤差為1.75%，R2和RMSE分別為0.983 和0.023；裂隙寬度為1.00 mm 時，孔隙介質P-1、P-2 和P-3 對應修正系數值分別為1.141、1.203 和1.295，裂隙單寬流量計算值和試驗值最大相對誤差為6.83%，MAE和RMSE分別為3.82%和4.080 ×10-4m2/s。綜上說明本文所提出的粗糙程度表征方法和立方定律修正公式是合理的，適用于下凹形態粗糙裂隙滲漏量估算，具有應用前景。