整體把握數(shù)學課程 深化理解數(shù)學思想
——以北師版數(shù)學教材“分數(shù)乘、除法教學”備課為例

孫品文

（本溪滿族自治縣南甸學校）

備課除了要鉆研教材、了解學生、選擇教法、設(shè)計情境等之外，更為重要的是要遵循整體性原則。所謂整體性原則就是從單元的角度，發(fā)展到與之相關(guān)聯(lián)所有知識的角度，來考慮每一節(jié)課的地位、作用和知識之間的關(guān)系。以此，更好地幫助學生經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，使他們感悟數(shù)學思想，提升數(shù)學素養(yǎng)。整體把握教材要求教師備課時要研究教材的科學性，把握知識的科學含義，做到深入淺出、科學正確地傳授知識；要研究教材的邏輯性，利用科學的思維方法，做到講述通俗嚴密，思路清晰；要研究教材的系統(tǒng)性，把教材中的各知識點有機地結(jié)合起來，做到系統(tǒng)連貫，知識成串。這樣，在教學活動中，就自然地形成了完整的知識網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)了思維方法的正確選擇和組合，從而達到靈活掌握和支配教材的目的。

一、整體把握教學內(nèi)容

在進行“分數(shù)乘、除法教學”的備課時，首先，可以列出教材中分數(shù)乘法和分數(shù)除法的所有教學內(nèi)容，并注明其具體題目：“分數(shù)乘法（一）”：分數(shù)乘整數(shù)；“分數(shù)乘法（二）”：整數(shù)乘分數(shù)；“分數(shù)乘法（三）”：分數(shù)乘分數(shù)；“倒數(shù)”；“分數(shù)除法（一）”：分數(shù)除以整數(shù)；“分數(shù)除法（二）”：整數(shù)除以分數(shù)；“分數(shù)除法（三）”：分數(shù)除法的應(yīng)用。

其次，我們可以再把眼光放得更遠一些，分數(shù)乘法和分數(shù)除法的“前身”是整數(shù)乘除法，分數(shù)的意義；分數(shù)乘法和分數(shù)除法的“來生”是百分數(shù)乘除法，比的意義及應(yīng)用。從數(shù)學知識的角度分析他們之間的關(guān)系，“分數(shù)乘法（一）”“分數(shù)乘法（二）”“分數(shù)乘法（三）”是在教學分數(shù)乘法的意義和計算方法，同時更是對分數(shù)意義的進一步理解，尤其是對單位“1”的再認識，初步感知單位“1”轉(zhuǎn)換思想，在掌握基本算理及方法的同時，思考由整數(shù)向分數(shù)邁進。“倒數(shù)”一課是一個中轉(zhuǎn)站，連接著乘法和除法的計算方法，究其本質(zhì)倒數(shù)就是比例，是涉及兩數(shù)關(guān)系的一個重要的數(shù)學概念。“分數(shù)除法（一）”“分數(shù)除法（二）”“分數(shù)除法（三）”是在以分數(shù)乘法的意義和計算法則及倒數(shù)為依托，推導出分數(shù)除法的意義和計算法則，通過學習分數(shù)除法可以使學生對分數(shù)意義、分數(shù)乘法意義有跟深刻的理解。

最后，通過對這兩單元內(nèi)容的整體分析，不難得出以下結(jié)論：分數(shù)乘法的意義，即求一個數(shù)的幾分之幾用乘法，是對分數(shù)意義的深入認識，是“根”；分數(shù)乘法的法則，即分子乘分子，分母乘分母，分別作積的分子和分母，是對分數(shù)“單位1”和“分”的再認識，是計算的基本方法；依據(jù)分數(shù)乘法意義的等量關(guān)系式是解決實際問題的“萬全之法”。

二、整體把握教材要求

教材對分數(shù)乘除法兩個單元的思維發(fā)展給出十分明確及統(tǒng)一的要求：豐富現(xiàn)實背景；探索解決問題的方法，積累分析、解決問題的經(jīng)驗；培養(yǎng)運算能力。這些要求都突出了操作活動的重要性，我們要充分利用面積模型，促進學生理解分數(shù)乘除法的意義和相應(yīng)的計算方法。結(jié)合教學內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和思維發(fā)展目標，再從數(shù)學思維和數(shù)學模型的角度出發(fā)，設(shè)計這7課時的整體思路應(yīng)為：不管學生如何思考，都要緊緊地圍繞著乘法的意義展開教學，就是以發(fā)展的眼光對數(shù)及其相應(yīng)運算的再認識。在教學中要培養(yǎng)學生有理有據(jù)地闡述觀點的能力，即邏輯推理能力，以及透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力，即抽象概括能力；滲透模型思想，即簡潔有效地概括計算法則，總結(jié)最具有普遍性、代表性、可操作性的解題模式。

如分數(shù)除以整數(shù)，可以從乘法的意義和除法的意義入手，以一道題目來使學生展現(xiàn)思維，建立模型，并在這個過程中，讓學生感受到“一個模型就可以解決乘法的意義和除法的意義中所有的問題”數(shù)學模型的優(yōu)勢。可以出示題目：米繩子平均分成2份，每份是多少？平均分成3份，每份是多少？

數(shù)學模型的建立：

在這個數(shù)學模型的建立過程中，學生會發(fā)現(xiàn)，分數(shù)乘法和分數(shù)除法之間是存在著一定聯(lián)系的。將這種聯(lián)系抽象出來并從整體上去認識，就能夠從本質(zhì)上去理解分數(shù)乘法和分數(shù)除法的意義。在這個過程中，學生的思維也得到了發(fā)展。

三、整體把握每一課時的教學目標和教學環(huán)節(jié)

經(jīng)過前面的備課，基本的數(shù)學思想在教學中就能得到滲透，也能為學生的思辨埋下伏筆。然后，就需要具體思考每一課時的總體目標和具體環(huán)節(jié)。以“分數(shù)除以整數(shù)”為例，這節(jié)課從研究“米繩子平均分成2份，每份是多少”開始，能夠選擇的情境導入方式可以有很多，但是“米”是精心挑選的一個分數(shù)，我們需要明確其總體目標是：分母較小—易畫圖，可以化成小數(shù)—求結(jié)果不存在障礙，而且是分母最小的便于計算的最簡分數(shù)，如。

實際的課堂教學中，有些學生很容易地就會說：“因為是平均分成2份，所以應(yīng)該用。”也會有學生直接說：“等于。這時，不能只看結(jié)果，應(yīng)指著列式與學生對話：“你能夠理解他們是根據(jù)什么這樣列式的嗎？”讓學生明白：需要根據(jù)除法中平均分的意義來列式。可以繼續(xù)引導：“你還能從另一個角度思考，來解決這個問題嗎？”讓學生明確：用乘法，，因為平均分成兩份，求一份是多少就是求的是多少，根據(jù)乘法的意義用乘法。同時補充：平均分成2份，取1份，用表示，根據(jù)的是分數(shù)的意義。這樣就架構(gòu)起了一個等式：。接下來教學環(huán)節(jié)的設(shè)計可以從“數(shù)學是需要證明的科學”這句名言入手，引導學生說出并證明自己的想法。學生有的會用畫圖的方法，有的會把化成小數(shù)，還有的還會根據(jù)所學過的乘法，認為乘以倒數(shù)肯定對。這時就需要教師設(shè)計板書：=（4÷5）÷（2÷1）=（4÷5）÷2×1=（4÷5）×1÷2=（4÷5）×（1÷2）=。讓學生明白這種轉(zhuǎn)化的方法的通用性。

然后，可以把題改一下：平均分成3份呢？再構(gòu)架起一個等式：，引發(fā)學生追問：“結(jié)果是多少？”“一定是嗎？”在教師的啟發(fā)下，學生會明白：根據(jù)乘法的意義和分數(shù)的意義，可以這樣算，所以一定是。在教師的追問下，學生能感悟到不完全歸納推理的弊端，并運用演繹推理的方法，說服自己。這樣的問題，幾乎沒有關(guān)于法則的詞或句，但是學生能深深地領(lǐng)悟。

在具體思考每一節(jié)課的總體目標和具體教學環(huán)節(jié)時，由上述實例可以看出，情境導入方式的選擇，需要明確本節(jié)課究竟要教會學生哪些知識，幫助學生習得哪些能力。然后，具體分析學生在掌握這些知識，習得這些能力時，從哪些方面入手會更加準確、有效。整體把握備課，要遵循整體的課程理念，尊重學生的知識水平和能力特點，理清學生思維發(fā)展的脈絡(luò)，使學生感悟數(shù)學課程中蘊含的數(shù)學思想。