蹦極者下落階段運動規(guī)律的討論

2021-05-15 05:50:44江俊勤邱為鋼姜付錦

物理教師 2021年4期

江俊勤邱為鋼姜付錦

(1. 廣東第二師范學院物理與信息工程系, 廣東廣州 510303; 2. 湖州師范學院理學院,浙江湖州 313000; 3. 湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學,湖北武漢 430300)

1 問題的提出

蹦極或落繩(落鏈)下落階段的運動規(guī)律與自由落體相同,還是比自由落體更快,一直存在不同的觀點,例如某些奧林匹克競賽物理教程或題選[1,2]認為落繩(落鏈)端點的加速度與自由落體加速度相同,a=g.

圖1 蹦極過程示意圖

第33屆(2016年)全國中學生物理競賽復賽的第四題給出了簡單的解法和清晰的答案:蹦極者受繩子向下拉力作用,其加速度a>g.

復賽原考題:蹦極是年輕人喜愛的運動．為研究蹦極過程,現(xiàn)將一長為L、質(zhì)量為m、當僅受到繩本身重力時幾乎不可伸長的均勻彈性繩的一端系在橋沿b,繩的另一端系一質(zhì)量為M的小物塊(模擬蹦極者);假設M比m大很多,以至于均勻彈性繩受到繩本身重力和蹦極者的重力向下拉時會顯著伸長,但仍在彈性限度內(nèi)．在蹦極者從靜止下落直至蹦極者到達最下端、但未向下拉緊繩之前的下落過程中,不考慮水平運動和可能的能量損失.重力加速度大小為g.

(1) 求蹦極者從靜止下落距離y(y

(2) 求蹦極者從靜止下落距離y(y

試題問(1)的參考解答(有刪節(jié)并補充注解):

取橋面為重力勢能零點,系統(tǒng)初始能量是繩的初始勢能(左半段勢能不改變,不計入,M的初始勢能為零),即

Ei=-mgL/4.

(1)

蹦極者下落距離y時,系統(tǒng)的機械能為

(2)

按題意,不考慮可能的能量損失,Ei=Ef,有

(3)

將式(3)兩邊求導得

(4)

(5)

加速度的上限大小為

(6)

至此,考題的原解應用機械能守恒定律巧妙地計算出了蹦極者加速度,但仔細考察以上的解答過程及其結(jié)果,我們發(fā)現(xiàn)有一些問題值得進一步討論:

(a) 當M=0(m≠0)時,ay→L→+∞,這顯然是不符合實際的!問題出在哪?

(b) 當M比m大很多(M/m?1)時,a≈g, 蹦極者的運動與自由落體運動無明顯差異(差異幾乎可以忽略),這是合乎物理實際的;但是在這種情況下,繩子向下拉力(甩力)幾乎可以忽略,本模型及其結(jié)果式(5)和式(6)的實際意義也就不是很大了.

如果在(a)和(b)兩種極端情況之間的普通條件下,式(5)和式(6)仍然適用,那么該競賽題的解法及其結(jié)果將具有更重要的意義,例如當M與m同數(shù)量級時式(5)和式(6)還適用嗎?此時蹦極者的運動與自由落體明顯不同(如取M/m=1,則ay→L=1.625g), 這種情況下研究繩子對蹦極者運動的影響才具有實際意義. 為了研究式(5)和式(6)的適用范圍,下面我們考察在質(zhì)量比M/m取不同值時,式(5)所描述的M(小物塊或繩子自由端)的速度v和加速度a以及下落距離y(y

2 加速度a、速度v和路程y與時間t的關系

為了詳細研究該競賽題的解法及其結(jié)果式(5)和式(6)的適用范圍(即研究質(zhì)量比M/m在什么范圍內(nèi)式(5)和式(6)適用),可先求解體系動力學微分方程, 將式(5)改為微分方程形式并寫出初始條件:

(7)

式(7)在給出L、M和m的值后是一個定解問題,借助Mathematica就可得到蹦極者下落階段的運動規(guī)律. 本文固定L=100 m,而M和m取多種不同的值.

2.1 M比m大得多(M?m)的情形

不妨以M=55 kg和m=5 kg為例,求解式(7)可得蹦極者(以后簡稱M)到達最低點的時間為td=4.5009 s, 0～td時間內(nèi)M的下落高度y,速度v和加速度a隨時間t的關系如圖2～圖4的長劃線所示. 在這種情況下蹦極者的運動規(guī)律與自由落體十分接近,下落到最低點的時間也與自由落體下落100 m的時間(4.51754 s)差別很小,這是合乎物理實際的, 式(5)和式(6)當然是適用的;但是蹦極者的運動規(guī)律與自由落體幾乎無差異也反過來說明在M?m條件下本模型的實際意義不大.

2.2 當M與 m同數(shù)量級時

以M=m=55 kg為例,則M到達最低點的時間為td=4.37341 s,比自由落體快,繩的拉力(甩力)開始明顯起作用,0～td時間內(nèi)的M下落高度y,速度v和加速度a隨時間t的關系如圖2～圖4的點線所示(曲線形態(tài)平穩(wěn)).最低點的加速度a(t=td)=a(y=L)=1.625 g, 速度v=49.4975 m/s,大于自由落體的速度44.2719 m/s.

圖2 3種不同情況下蹦極者(繩子自由端)下落高度y與時間t的關系

圖3 3種不同情況下蹦極者(繩子自由端)下落速度v與時間t的關系

圖4 3種不同情況下蹦極者(繩子自由端)下落加速度a與時間t的關系

2.3 M比m小得多(M?m)的情形

這種情形最典型的例子就是沒有蹦極者,純粹的落繩,M=0,式(7)可進一步化簡,它與m無關,描寫的是繩子自由端處(為方便,下面仍稱之為M)的下落規(guī)律

(8)

數(shù)值求解方程式(8)可得:到達最低點的時間為td=3.82732 s,比自由落體快得多,M的下落高度y,速度v和加速度a隨時間t的關系如圖2～圖4的點劃線所示(曲線形態(tài)異常:末端變化率幾乎為無窮大).最低點的加速度a(y→L)→∞(a的極限值與L大小無關), 這顯然是違背物理規(guī)律的.