單擺小球在三維空間中運動規律研究

姜付錦 李 都 劉 穎

(湖北省武漢市黃陂區第一中學，湖北 武漢 430300)

在高中階段,單擺小球在二維空間中的運動形式主要有兩類:單擺運動(簡諧運動)和圓錐擺運動(勻速圓周運動)．小球開始做圓錐擺運動,若小球的初速度有一個微擾,則小球會不會再次達到勻速圓周運動?[1][2]小球會不會做橢圓擺運動?[3]研究表明小球既不做勻速圓周運動,也不做橢圓擺運動,而是一種復雜的三維曲線運動．

1 什么是橢圓擺運動?

文獻[4-5]已明確指出: 如圖1所示,一個質量為m1、半徑為R的半球形光滑凹槽放置在光滑水平上,再將一個質量為m2的質點置于凹槽內角度為θ處,質點由靜止狀態自由下滑,可以證明,質點相對地面靜止參考系的運動軌跡是橢圓線,故該系統是一種典型的橢圓擺系統．若半球形光滑凹槽固定,則質點的運動軌跡不可能是橢圓擺．

圖1 橢圓擺系統

2 為什么小球不能再次做勻速圓周運動?

圖2

(1)

相對于豎直軸的角動量守恒

mαv0Lsinθ=mvmLsinθm.

(2)

聯立(1)(2)兩式可求得

(3)

通過研究可以發現,若α=1,則小球做勻速圓周運動;若α>1,則(3)式求的是小球運動過程中最小速度;若α<1,則(3)式求的小球運動過程中最大速度;當α≠1時,則小球將在半徑為L的球面上做復雜的周期性運動,它不可能做勻速圓周運動．

3 小球的動力學微分方程組

圖3 建立球坐標系

通過小球的受力分析可知

由以上兩式求得

(4)

(5)

3.1 小球在經線方向上微擾周期

小球對豎直軸角動量守恒,則有

(6)

(6)式中L為小球的角動量,θ0為開始時繩子與Z軸的夾角,ω0為小球勻速圓周運動的角速度, 聯立(4)、(6)兩式得

(7)

設θ=θ0+δ,δ→0,π/2<θ0<π,則有

(8)

聯立(7)、(8)兩式得

(9)

將(9)式整理后得

(10)

將sin-3(θ0+δ)展開為泰勒級數形式,并舍去二階及以上的小量得

(11)

將(6)、(11)兩式代入(10)式得

(12)

(13)

開始時小球做勻速圓周運動,則

(14)

聯立(6)、(13)、(14)3式得

(15)

結合小球在經向初始狀態,求解(12)式得小球沿經線微擾規律和周期分別為

(16)

3.2 小球在緯線方向上微擾周期

小球對豎直軸角動量守恒,則聯立(6)(8)兩式整理得

(17)

將sin-2(θ0+δ)展開為泰勒級數形式,并舍去二階及以上的小量得

(18)

把(18)式代入(17)式得

(19)

將(14)式代入(19)式后得

(20)

再對(20)式求導得

(21)

聯立(12)、(13)、(16)、(21)4式得,小球在緯線方向圓周運動微擾角加速度與時間是簡諧振動關系,且與小球在經線方向微擾振動周期相等,所以小球在緯線方向微擾角加速度振動規律和周期分別為

(22)

3.3 數值模擬

3.3.1 小球微擾運動軌規律

當小球微擾角速度為0.9792ω0時,小球的運動軌跡是閉合周期解,運動軌跡在水平面上的投影近似一個較粗的圓環,最外側與最內側相距很近;兩幅側視圖完全相同,都是軸對稱圖形,證明了小球運動軌跡具有閉合周期性特征;小球在3個方向上都做簡諧振動,在X軸與Y軸方向上的振動周期相等,且TX∶TY∶TZ=4∶4∶3,所以圖5和圖6是尼薩如圖形．

圖4 X-Y關系

圖5 Z-Y關系

圖6 Z-X關系

圖7 X-t關系

圖8 Y-t關系

圖9 Z-t關系

3.3.2 小球微擾時在經線方向與在緯線方向上振動規律

小球微擾角速度為0.9792ω0,由圖10、圖12可以看出在經線方向和在緯線方向兩個角速度的振動周期相同,這與(16)、(22)兩式分析結果吻合;因為經線方向小球角速度與角度的振動相位差是π/2,所以在經線方向角速度與經角的相圖是一個橢圓;因為經線方向小球角加速度與緯向角加速度的振動相位差是π/2,經向角加速度與緯向角加度相圖也是一個橢圓．

圖10 經向角速度與時間關系

圖11 經向角速度與經角相圖

圖12 緯向角加速度與時間關系

圖13 緯向角加速度與經向角加速度相圖

3.3.3 一般運動情況下閉合周期軌跡的三視圖

當小球初角速度為1.09 r/s時,其運動軌跡也是一組閉合周期性解,其在水平面上的投影很像“水星近日點進動”現象,[7]其中最外側與最內側分別對應小球運動的最高點和最低點,數值模擬結果也與(3)式分析結果吻合;兩幅側視圖也完全相同,滿足軌跡閉合周期解的基本特征．若小球在緯線方向和在經線方向上運動周期之比恰好是有理數,則小球在三維空間的運動軌跡是閉合周期解[8]．

4 結語

若小球受到的合外力恰好可以提供勻速圓周運動向心力,則小球做勻速圓周運動;若小球在勻速圓周運動時速度有微擾,則小球不會再次達到勻速圓周運動狀態[9],而且小球在經線方向與在緯線方向上兩個角速度振動周期相等,若微擾角速度滿足一定條件,則小球運動軌跡的側視圖可能是尼薩如圖形;若小球開始時不做勻速圓周運動,則小球的運動軌跡將是一種復雜三維曲線(球面擺),其俯視圖不是橢圓,其水平投影被限制在兩個圓周之間所夾的“環狀”區域,軌跡形狀類似“水星近日點進動”現象[7],在經線方向和在緯線方向上都是周期性運動;若小球在緯線方向和在經線方向上兩個運動周期之比恰好是有理數,則小球在三維空間的運動軌跡是閉合周期解[8],如圖14、圖15和圖16所示;參考文獻[3]中之所以會出現所謂的“橢圓”,其實并不是真正的“橢圓”,它只是圖14中某一小段時間內的運動軌跡水平投影,與橢圓類似而已;當單擺的懸點是固定時,小球不可能做“橢圓擺”運動．

圖14 Y-X圖

圖15 Z-X圖

圖16 Z-Y圖