利用假設法和圖像法破解“板塊模型”問題

崔 軍

(山東省桓臺第一中學,山東 淄博 256400)

木板和滑塊組成的相互作用系統稱為板塊物理場景,該模型涉及靜摩擦力、滑動摩擦力的轉化、方向判斷等靜力學知識,解題時需要用到相互作用、能量和動量等觀念的知識,該場景屬于多研究對象的多物理過程問題,備受高考命題者的青睞.[1]利用假設法可以突破問題的難點和易錯點,利用圖像法會將抽象和復雜的問題直觀化,化難為易,讓問題順利解決.

板塊模型問題可以分為兩種情景: (1) 木板和滑塊初速度為0的情景; (2) 木板和滑塊的初速度不為零的情景.如圖1所示,當木板和滑塊初速度為零時,先通過假設法判斷摩擦力的情況,即先假設兩個物體保持共同的加速度運動,然后判斷兩者間的摩擦力是否能實現此運動.若能,兩者間的摩擦力是靜摩擦力;若不能,兩者間的摩擦力為滑動摩擦力.當兩者有相對運動時,兩者間一定是滑動摩擦力,通過受力分析確定兩者的運動情況.此類問題的易錯點是當兩者的速度相同或一者的速度減到零時,它們所受的摩擦力情況可能會發生突變,此時同樣可用假設法判斷摩擦力的情況.然后作出它們的v-t圖像,使物體的運動變得直觀.另外借助圖像可以清晰的判斷速度相同或減為零時的位置,避免分析出錯.接下來通過全國卷幾道高考壓軸題來詳細分析.

圖1

1 木板和滑塊初速度為0的情景

圖2

解析: (1) 此題首先需要判斷A、B是否有相對滑動,這個問題可以通過假設法來判斷.假設A和B以共同的加速度下滑,由牛頓第二定律2mgsinθ-2μ2mgcosθ=2ma共,得a共=2 m/s2.對A分析得mgsinθ-f=maA,若f=μ1mgcosθ時,可得A加速度的最小值aA=3 m/s2>a共.所以A和B一定有相對滑動.對B受力分析得mgsinθ+μ1mgcosθ-2μ2mgcosθ=maB,解得aB=1 m/s2.

圖3

圖4

點評： 此題的第一個關鍵點是判斷初始狀態時兩者的運動情況,先假設兩者以共同速度下滑,求出它們的共同加速度,因A的最小加速度大于共同加速度,所以兩者發生了共同滑動.第二個關鍵點是當B的速度減為零時,B將如何運動.因B所受到的滑動摩擦力大于其重力沿斜面方向的分力,所以B將保持靜止.若明確這兩個關鍵點,此題將迎刃而解.另外,通過作出v-t圖像,使得A和B的運動情況變得非常直觀,計算過程也大大簡化.

2 木板和滑塊的初速度不為0的情景

2.1 一者靜止,另一個有初速度的情景

例2.(2013年新課標Ⅱ卷第25題)一長木板在水平地面上運動,在t=0時刻將一相對于地面靜止的物塊輕放到木板上,以后木板運動的v-t圖像如圖5所示.己知物塊與木板的質量相等,物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦.物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,且物塊始終在木板上.重力加速度大小g取10 m/s2.求: (1) 物塊與木板間;木板與地面間的動摩擦因數.(2) 從t=0時刻到物塊與木板均停止運動時,物塊相對于木板的位移的大小.

圖5

解析: (1) 因兩者初始的速度不同,則它們會發生相對滑動,設物塊與木板間的動摩擦因數為μ1,木板與地面間的動摩擦因數為μ2,對物塊來說,μ1mg=ma1;對木板來說,μ1mg+2μ2mg=ma2.圖像中的拐點是木板運動狀態變化的時刻,即兩者達到共同速度的時刻,所以物塊的運動如圖6所示.從圖中數據可得a1=2 m/s2和a2=8 m/s2.解得μ1=0.2和μ2=0.3.

圖6

圖7

點評： 此題的第1個關鍵點是兩者達到共同速度后的運動情況,通過假設法得出兩者會繼續發生相對滑動,且物塊所受摩擦力方向與之前相反.第2個關鍵點是木板速度減到零后的運動情況,即圖像與橫軸相交后將不再運動.最后借助作出的圖像可以比較方便的計算出兩者的相對位移.

2.2 兩者都有初速度的情景

例3.(2015年新課標全國Ⅰ卷第25題)一長木板置于粗糙水平地面上,木板左端放置一小物塊;在木板右方有一墻壁,木板右端與墻壁的距離為4.5 m,如圖8(a)所示.t=0時刻開始,小物塊與木板一起以共同速度向右運動,直至t=1 s時木板與墻壁碰撞(碰撞時間極短).碰撞前后木板速度大小不變,方向相反;運動過程中小物塊始終未離開木板.已知碰撞后1 s時間內小物塊的v-t圖線如圖8(b)所示.木板的質量是小物塊質量的15倍,重力加速度大小g取10 m/s2.求: (1) 木板與地面間的動摩擦因數μ1及小物塊與木板間的動摩擦因數μ2; (2) 木板的最小長度; (3) 木板右端離墻壁的最終距離.

圖8

圖9

圖10

點評： 此題的第一個關鍵點是小物塊的速度減到零后,因木板還在運動,所以小物塊會反向加速.第二個關鍵點是兩者達到共同速度后,通過假設法判斷出它們將共同減速直到停止.

2.3 木板上有多個滑塊的情景

例4.(2017年新課標Ⅲ卷第25題)如圖11所示,兩個滑塊A和B的質量分別為mA=1 kg和mB=5 kg,放在靜止于水平地面上的木板的兩端,兩者與木板間的動摩擦因數均為μ1=0.5;木板的質量為m=4 kg,與地面間的動摩擦因數為μ2=0.1.某時刻A、B兩滑塊開始相向滑動,初速度大小均為v0=3 m/s.A、B相遇時,A與木板恰好相對靜止.設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,取重力加速度大小g=10 m/s2.求: (1)B與木板相對靜止時,木板的速度; (2)A、B開始運動時,兩者之間的距離.

圖11

解析: (1) 因初始A、B與木板有相對運動,則它們所受的摩擦力方向比較容易確定.由牛頓第二定律,對A、B來說,加速度a1=μ1g=5 m/s2,對木板滿足μ1mBg-μ1mAg-μ2(mA+mB+m)g=ma2,得a2=2.5 m/s2.當v0-a1t1=a2t1時,得t1=0.4 s和v1=1 m/s，如圖12所示.

圖12

圖13

點評： 木板上有多個滑塊的問題與一個滑塊的處理方法是一樣的,當木板與其中一個滑塊達到共同速度后,通過假設法可以判斷兩者之后的運動情況.當木板和其中一個滑塊保持共同速度運動時,“三體”問題又變成了“兩體”問題,即前面討論的情景.

綜上分析,對于板塊模型問題總結如下: (1) 首先需要根據初始條件,判斷木板和滑塊的受力情況.(2) 然后根據受力情況分析其運動情況,并作出它們的v-t圖像.(3) 當兩者速度相等或一者速度減到零,需要重新判斷摩擦力的情況.因為最有可能突變也是最為隱蔽的力就是摩擦力.[2](4) 根據新的受力情況分析兩者的運動情況,并作出它們的v-t圖像.盡管這類題目比較復雜,只要充分利用初始條件,抓住問題的關鍵點和易錯點,借助合理的解題方法,定能有效破解此類問題.