淺析“乒乓球貼地”實驗中浮力的成因和啟示

張立平 張童語 馮 杰 胡古今 方 偉

(上海師范大學數理學院 上海 200234)

1 關于浮力的幾點說明

1.1 浮力的定義

人民教育出版社出版的初中《物理》教材是這樣定義浮力的[1]：浸在液體中的物體受到液體對它向上托的力，這個力叫做浮力．上海科技出版社出版的《初中物理》教材對浮力的定義有一定的擴展[2]，即液體和氣體對浸在其中的物體有豎直向上托的力，這個托力叫做浮力．盡管二者在定義的表達上有所差異，但本質上都是指物體受到的流體(液體和氣體)對物體向上托的力，浮力的方向一定豎直向上，這是本文討論的重點，后面將做具體的描述．

1.2 浮力產生的原因

人教版的初中《物理》教材對浮力產生的原因也進行了初步說明．考慮一個如圖1所示的浸沒在水中的正方體所受的浮力．根據液體內部壓強的性質可知，液體內部向各個方向都有壓強，且壓強的大小與液體的密度和深度成正比，浸沒在水中的正方體的每個表面都將受到水的壓力作用．前后兩個表面上一一對應的位置在水中所處的深度相同，受到的壓力大小相等、方向相反，合力為零．左右兩個表面的受力情況與前后兩個表面的受力情形類似，水平方向上正方體受到的合壓力為零．由于正方體上下兩個表面在水中所處深度的不同，受到的壓強不同，受到的壓力也不同．設正方體下表面所處深度為h1，上表面所處深度為h2，此時下表面和上表面的壓強分別為

圖1 浸沒在水中的正方體所受浮力

p1=ρgh1p2=ρgh2

由于h1>h2，所以p1>p2(F1>F2)．上表面壓力方向向下，下表面壓力方向向上，由此上下表面存在一個向上的壓力差，這個壓力差就是浮力．也就是說，浸在流體中的物體上下表面存在向上壓力差，這是浮力產生的根本原因．

2 問題簡述

在初中物理教學中，下述的“貼地”浮力實驗常被用來說明處于液體中的物體是否受到浮力作用的問題[3]．將一個乒乓球放置在裝有一定量水、倒立的剪掉瓶底但瓶口蓋緊的礦泉水瓶中，如圖2所示，此時乒乓球處于漂浮狀態，物體所受浮力和重力是一對平衡力，大小相等，方向相反，即F浮=G物，即表明乒乓球受到一個豎直向上的浮力作用．

圖2 漂浮狀態時乒乓球受力示意圖

如圖3所示，將水倒凈并去掉瓶蓋后，重新把乒乓球放入礦泉水瓶中，其中F1和F2分別表示礦泉水瓶兩壁對乒乓球的支持力．此時再往礦泉水瓶中注水，如圖4所示，觀察到乒乓球卡在礦泉水瓶瓶口的位置，并沒有上浮，說明乒乓球并沒有受到水對它的浮力作用．

圖3 無水時乒乓球受力示意圖

圖4 “貼地”時乒乓球受力示意圖

但是簡單直觀地根據乒乓球沒有浮起的現象就判斷乒乓球并未受到浮力的結論真的可靠嗎？下面，我們將通過實驗驗證和數學推理相結合的方法對該結論進行證偽．

3 DIS實驗

3.1 實驗方法

在測量乒乓球所受浮力大小的方式上，我們選取了初中階段常用的稱重法，先用力的傳感器測出乒乓球在空氣中受到的重力，記錄數據為F1，再將乒乓球浸入水中，力的傳感器示數穩定后記錄數據F2，根據物體的平衡條件，兩次示數的差值即為乒乓球所受浮力，公式為F浮=F1-F2．考慮到力的傳感器的示數會隨著水沿乒乓球與瓶壁的縫隙流出而變化，實驗中將以F-t圖像的方式記錄力的變化，以便進一步的分析．

3.2 實驗方案

具體的實驗方案如下：

(1)將力傳感器接入數據采集器.

(2)將力傳感器固定在鐵架臺上，使其測鉤豎直向下.

(3)對力傳感器調零，并將乒乓球用細繩固定并懸掛在力傳感器的掛鉤上，測量出乒乓球在空氣中的重力為0.04 N，如圖5所示.

圖5 乒乓球在空氣中的重力

(4)將旋緊瓶蓋、剪掉瓶底的礦泉水瓶倒置在鐵架臺上，向瓶內注入適量清水.

(5)將乒乓球放入礦泉水瓶中，觀察到乒乓球漂浮在水面上，待讀數穩定后，記錄數據為零，如圖6所示.

圖6 乒乓球漂浮時力的傳感器示數

(6)將礦泉水瓶中的清水倒凈，去掉瓶蓋，再將乒乓球放進礦泉水瓶，調整細繩的長度，使乒乓球與瓶口剛好接觸但無擠壓，計算機顯示數據為0.04 N.

(7)向礦泉水瓶中注入適量清水，觀察到在水逐漸浸沒乒乓球的過程中，乒乓球始終處于瓶口位置，并未浮起，且計算機顯示數據隨著水位的上升從0.04 N不斷升高.

(8)當計算機顯示數據升至0.7 N左右時停止注水，觀察到水順著乒乓球與瓶口的縫隙不斷流出的過程中，乒乓球仍未浮起，計算機顯示數據隨著水位下降從0.7 N逐漸降至0.06 N，示數變化如圖7所示.

圖7 第一次實驗F-t圖

(9)改變小球的半徑和瓶子的口徑，重復上述(6)～(8)步驟，示數變化如圖8所示.

圖8 第二次實驗F-t圖

通過實驗數據分析可以得出:在誤差允許的范圍內乒乓球在倒置的去掉瓶蓋、剪掉瓶底礦泉水瓶中，無論是注水還是停止注水等待水流凈的過程中，受到水的壓力方向均是向下的，同時隨著礦泉水瓶中的水不斷增加，這個壓力不斷增大，反之隨著瓶中的水不斷流出，壓力又不斷減小，直到水流盡，壓力減小為零．

那么隱藏在實驗現象背后的本質原因又是如何呢？改變小球的半徑和瓶子的口徑會對乒乓球的受力情況產生影響嗎？考慮到實際裝置的半徑無法線性改變，實驗驗證受到了一定的限制，下面將對所建立的物理模型進行深入的理論分析．

4 理論分析

4.1 計算方法

當浸在流體中的物體與容器底部不密切接觸時，由于液體內部的壓強隨深度的增加而增加，所以物體下表面受到的向上的壓力大于物體上表面受到的向下的壓力，上下兩表面的壓力差即為物體所受的浮力．計算公式為

F浮=F下-F上

其中F下為物體下表面所受的壓力，F上為物體上表面所受的壓力，另外對于上下表面面積相同的物體，計算公式可化為

F浮=F下-F上=ρgS(h下-h上)

其中h下為物體下表面所處深度，h上為物體上表面所處深度．

在該問題中，考慮到乒乓球的表面是球面，我們可以先利用微積分的方法分別計算出乒乓球上下表面受到的水的壓力，再具體分析當乒乓球的半徑和瓶子的口徑滿足什么條件時，其上下表面壓力差的方向向上，即乒乓球受到浮力作用．

4.2 乒乓球受到的浮力分析

4.2.1 模型1

針對“乒乓球貼地”實驗中乒乓球是否會受到浮力的問題，我們首先考慮了一種理想狀況，當乒乓球半徑與礦泉水瓶口徑剛好合適時的情況，此時瓶中的水沒有明顯的流動，可用流體靜力學進行分析和公式推導[4]．

首先,利用微元法(圖5)計算乒乓球上表面所受水的壓力

(1)

(2)

圖9 乒乓球“貼地”實驗微元圖

聯立式(1)、(2)可得

其次,用同樣方法計算乒乓球下表面所受的壓力，此時假設乒乓球下底面與瓶口相切的截面半徑為r1，此時下表面受水的壓力為

(3)

(4)

聯立式(3)、(4)可得

若此時乒乓球受到浮力，則F下>F上，即

F浮=F下-F上=

4.2.2 模型2

考慮了理想狀況后，我們進一步分析了水發生明顯流動時的情況，乒乓球放置在倒立的、剪掉瓶底并去掉瓶蓋的礦泉水瓶中，注入清水，水將沿著瓶壁與乒乓球的縫隙流出，流體靜力學不再適用于這一問題，但可以利用伯努利方程進一步分析[5]．

不同版本的初中物理教材也對伯努利方程進行了簡單的定性描述，如人教版八年級第二學期物理教材中提及在氣體和液體中，流速越大的位置，壓強越小．但是考慮到初中學生的實際認知和理解能力，教材沒有再進一步講解不同高度上流速和壓強的關系以及伯努利方程的定量表達式．

在去掉瓶蓋和瓶底且倒置的礦泉水瓶中注水后，由于瓶身與乒乓球間的縫隙大小不同，乒乓球上表面所接觸的水比乒乓球下表面接觸的水流速小，但是乒乓球上表面所處的高度要比下表面所在高度高，通過上述分析可以得知

如果上下表面高度差對壓強的影響足夠克服流速差對壓強的影響，同時滿足上述理想情況時需要滿足的條件，那么乒乓球就會受到向上的浮力作用．但根據實驗現象可以看出，正常的乒乓球顯然并不能滿足上述條件．

5 結束語

總之，一個與容器底部密切接觸的物體是否受到浮力應該根據具體情況分析，根據我們的研究結果表示，球體與容器底部密切接觸時，其是否受到浮力作用與球體半徑、瓶子口徑、水的高度和流速均有關系．

通過對“乒乓球貼地”實驗中浮力成因的探討，我們對自制教具的研制和使用也進行了深層次的思考，自制教具通常取材于生活中常見的物品，制作簡單，但是自制教具所涉及的科學原理常常不是單一的，要想做到知其然，知其所以然，必須始終以科學性為主線[6]，依據相關的科學知識制作教具，并經過實踐檢驗．