論“平均安培力”快速解題的依據及可靠性

張 旭 農艷鴦

(柳州市第二中學 廣西 柳州 545001)

1 引言

在高考中采用不同方法和手段分析、處理信息進而準確而又快速地解決問題是學生應該要掌握的科學思維．教師作為學生的引導者，在學生已經掌握的情況下，如何引導學生去探究發現一些快速可靠的解法也應該是廣大中學物理教師的一門必修課．這里我們從2020年柳州市二模的一道選擇題引入，討論一下安培力在哪些情況下可以用“平均值法”解題．

圖1 例1題圖

D.右端電阻R產生的焦耳熱為mgh

答案：A，C.

解：由題意得

故選項A對．

針對選項C，設導軌進入磁場速度為v，從靜止釋放到進入磁場前由動能定理有如下解法.

常規答案解法：

(1)

(2)

(3)

令

得

平均值解法：

(4)

(5)

得

2 討論與證明

如圖2所示，假設光滑導體棒ab以初速度v0向右運動，勻強磁場磁感應強度為B，導體棒電阻為R，其余電阻不計，求安培力與導體棒ab運動位移的關系．

圖2 證明用圖

證明：

方法1：微積分證明

(6)

(7)

設t時刻安培力為

(8)

t時刻向前的位移

(9)

由式(8)、(9)可知

即

(10)

方法2:采用高中方法證明

設t時刻，位移為x，安培力為F

得

(11)

則安培力

(12)

以上兩種證明結果是一致的，都說明該過程的變力安培力與位移成一次函數關系．如圖3所示,在這種一次函數圖像中，我們很容易用三角形或者梯形面積求出該過程中變力安培力做的功．也可以從表1中v-t圖像和F-x圖像對比理解．類比v-t圖像我們得到了如式(14)瞬時速度與位移的對應關系，式(15)做功與位移的對應關系，式(16)做功與瞬時速度以及位移的對應關系．

圖3 F-x成一次函數關系

表1 v-t圖像與F-x圖像對比

續表1

3 勻變速運動時

如圖4所示，當光滑導體棒受到一個變力F從靜止開始向右做加速度為a的勻加速運動．此時導體棒做勻變速運動，速度v=at與時間t之間本身就是線性關系，很明顯這種情況下安培力能用“平均值法”這種快速解法思想解題．

圖4 導體棒做勻加速運動

4 不存在線性關系的情況

5 平均值方法解題應用拓展

【例2】如圖5所示，兩根平行光滑金屬導軌固定在水平桌面上，左邊連接定值電阻R=2 Ω,導軌間距L=1 m．整個裝置處在方向豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度B=2 T.一質量m=1 kg、電阻r=1 Ω的金屬棒放在導軌上，在外力F的作用下以恒定的功率P=12 W從靜止開始運動，當運動距離x=3 m時金屬棒達到最大速度，此時撤去外力，金屬棒最終停下，設導軌足夠長．求：在這個過程中，外力的沖量大小？

圖5 例2題圖

解法1：金屬棒速度最大時，所受合外力為零，即

BiL=F

感應電流

根據電功率的計算公式

P=Fvm

聯立解得

vm=3 m/s

設外力的沖量為I沖，作用時間為t，根據動量定理可得

I沖-BiLt=mvm-0

其中

所以有

運動距離

x=vt=3 m

代入數據解得I沖=7 N·s

解法2：設F作用時間為t1，位移為x，撤去F后運動到停的時間為t2位移為d.

在撤去F階段，由

(17)

得

(18)

對全程列式,由

(19)

【例3】如圖6所示，電阻不計，間距為L的光滑平行金屬導軌水平放置．導軌左端接有阻值為R的電阻．以導軌的左端為原點,沿導軌方向建立x軸,導軌處于豎直向下的磁感應強度大小為B的勻強磁場中．一根電阻也為R,質量為M的金屬桿垂直于導軌置于x0處,不計金屬桿與導軌間的接觸電阻,現給金屬桿沿x軸正方向的初速度為v0,金屬桿剛好能運動到2x0處,在金屬桿的運動過程中( )

圖6 例3題圖

答案：A，B，D.

這里我們只討論選項D.

解法1：對于選項D，由

令

(20)

當滑到1.5x0處時，設速度為v，時間為t1

-BiLt1=mv-mv0

(21)

解法2：

(22)

(23)

由式(23)有

(24)

式(24)代入式(22)得到方程

(25)

或v=-v0(舍去)

解法3：采用表1中式(14)直接代入求解

當位移為x0時速度為零

(26)

(27)

6 總結

綜上所述可以得出，安培力“平均值法”在解題中有方便快捷的作用．對于其正確性，主要是基于:第一，當安培力隨位移成一次線性函數關系成立時；第二，平均值本就是一種等效替代的思想．文中總結了3種情況下安培力“平均值法”可以應用：第一，導體棒只受到安培力做減速運動時；第二，有外力，但導體棒做勻變速運動時；第三，涉及用到安培力的沖量時．“平均值法”為學生在解決安培力的選擇題提供了又快又準的解決方法．