一般勻強電磁場中電荷的相對論性運動

姜志鋒

(鄱陽縣第一中學 江西 上饒 333100)

黃亦斌

(江西師范大學物理與通信電子學院 江西 南昌 330000)

勻強電場和勻強磁場同時存在時帶電粒子的運動一直是大家感興趣的話題．其討論可分為兩類：非相對論性的和相對論性的．對于前者，最早是文獻[1]給出了一種漂亮的處理方式，后來大家從理論、軌跡、數值計算等幾方面進行了詳盡的討論[2～6]．在相對論情形，討論較多的是電場與磁場正交這一有趣的特例[7,8]．此時，只要|B|c≠|E|，就一定可以找到一個慣性系，使得其中只有電場或只有磁場，于是可以在新慣性系中求解問題，再利用洛倫茲變換得到原慣性系中想要的結果．這一思路具有鮮明的物理特色．

本文試對一般的勻強恒定電磁場討論帶電粒子的一般相對論性運動．當然，不能期望此時仍能找到類似的、物理特色鮮明的思路．

1 一般討論

在自然單位制(c=1)下，相對論粒子的動量p和能量W分別為

(1)

其中m為固有質量，也就是牛頓力學中的質量．動量和能量滿足質殼條件

W2-p2=m2

(2)

在電磁場中，帶電粒子的動力學方程為

(3)

根據式(1)，這是關于速度v=v(t)的非線性微分方程組，即使在電磁場正交時也不好處理．所幸，我們可以將其改為另一形式．式(3)點乘v，得到

(4)

改用固有時(或原時)τ作為自變量

dt=γdτ

(5)

將式(5)代入式(3)、(4)，并利用式(1)，即得到一組關于四維矢量(W,p)的、協變形式的方程組

(6)

不失一般性，可設電磁場為

B=(0,0,B)E=(0,Ey,Ez)

(7)

且不妨設k,B,Ey,Ez≥0，因為其中任何一個反號都不難額外處理．于是方程組(6)寫為

(8)

茲用微分算子法解之，將其寫為

(9)

(10)

[Δ4+k2(B2-E2)Δ2-

(11)

其對應特征方程的4個特征根為

λ1=-ikαλ2=ikα

λ3=-kβλ4=kβ

(12)

其中

且它們滿足α2-β2=B2-E2．于是px的通解為e-ikατ,eikατ,e-kβτ,ekβτ的線性組合，或為cos(kατ),sin(kατ),cosh(kβτ),sinh(kβτ)的線性組合．于是有

px=Acos(kατ+φ)+Ccosh(kβτ+ψ)

(13)

將式(13)代入式(8)，可以得到其他量

(14)

將式(13)和(14)代入質殼關系式(2)，得到

(15)

Cα(B2+β2)sinh(kβτ+ψ)]+t1

(16)

其中t1為常數，可要求τ=0時t=0而確定．若已知t=0時的初速度(vx0,vy0,vz0)，可由此得到初能量W0和初動量(px0,py0,pz0)．結合式(13)和(14)，可以解出A,φ,C,ψ這4個數．

(17)

其中C1,C2,C3為積分常數，由初始坐標決定．于是，問題得到完全解決．

2 特例分析

我們看一個具體例子：設勻強電磁場[見式(7)]中帶電粒子初始時靜止于原點，求其運動學方程．此時，把τ=0時px0=py0=pz0=0,W0=m代入式(13)、(14)，即可得積分常數為

于是，式(13)、(14)給出

(18)

而式(16)、(17)給出

(19)

不難看出，式(18)、(19)對k,B,Ey,Ez的一切正負可能性都成立．此外，式(19)可視為參數化形式的運動學方程和軌道方程，只不過現在所取的參數是原時．

3 具體討論

作為一般解，應該在各種條件下回到相應的特殊結果．以下著重分析粒子的運動學方程．

(20)

(21)

此時，可在式(20)中令α→0，或在式(21)中令β→0，都可得到

(22)

討論4：Ey=0

此時，電場與磁場平行，且α=|B|,β=|E|，式(19)給出

(23)

結果跟磁場無關．這符合預期，因為此時速度方向與磁場平行，洛倫茲力為零.

討論5：非相對論情形——短時間近似(kατ,kβτ?1)

下面考慮非相對論近似．非相對論情形下的嚴格解為

(24)

在一般情形(如電場較大)，隨著時間推移，粒子速度會變大，相對論效應變明顯，此時牛頓解只在短時間內才可靠．故考慮相對論解式(19)和牛頓解式(24)的短時間近似，二者應該接近．

將式(19)做小量展開，可得到t,x,y,z關于τ的冪級數．反解出τ用t表示的級數，代入x,y,z的級數中，即得到它們關于坐標時t的級數

(25)

而牛頓解式(24)在近似kBt?1下的展開式為

(26)

可見，二者在最低兩階的行為相同，但再高時開始有不同預言．

討論6:非相對論情形——弱電場近似

如果電場足夠弱，那么粒子速度緩慢增長，使得牛頓解式(24)在長時間內是足夠可靠的．在近似Ey,Ez?B下，式(19)給出

(27)

其中各式的第一項(將τ換為t)正好給出牛頓解式(24)，而后面的項是最低階的非零相對論修正．

進一步，當Ez=0時，弱電場條件應該會使得牛頓解永遠足夠可靠，因為速度一直都不大．而從式(27)容易看出當Ez=0時，y作為τ的函數是有界的，符合預期．當然，此時的結果也可以從式(20)中令E?B而得到．