基于改進鯨魚優(yōu)化算法的最大2維熵圖像分割

周 嬌，王 力，2*，陳小青

(1.貴州大學 大數(shù)據(jù)與信息工程學院 信息與通信工程系，貴陽 550025；2.貴州工程應用技術(shù)學院 信息工程學院，畢節(jié) 551700)

引 言

圖像分割是圖像處理中一項基本技術(shù)，是圖像簡化、目標區(qū)突出和降低分析難度的一種重要手段，為圖像識別與分類的前提。所謂圖像分割是依據(jù)一定的準則，將圖像中人們感興趣區(qū)域的內(nèi)容提取出，其分割精確度影響后續(xù)結(jié)果。因此圖像分割仍是一個研究前沿與熱點，對此國內(nèi)外學者對其進行大量的研究，許多有效的方法也陸續(xù)被提出，主要分為：基于色彩類型、基于不同分割依據(jù)和基于所用理論差異等。其中基于不同分割依據(jù)主要包括：邊緣檢測法、閾值法和區(qū)域生長法等[1-2]。閾值法是圖像分割最常用的處理方法，其操作簡單、效率高和穩(wěn)定性能好，本文中討論的2維最大熵分割算法是閾值法中的一種。20世紀80年代，學者們開始將信息論中熵的概念用于選取閾值，熵代表平均信息量，熵越大，表明包含的信息量多[3]。其中,1維最大熵圖像分割法缺點在于：該方法僅考慮灰度信息，而圖像分割過程中易受噪聲的影響，導致較差的分割效果。所以學者們將1維推廣至2維，將點灰度-區(qū)域灰度同時考慮，具有較好的分割效果和抗噪性能。傳統(tǒng)最大熵法通過將全部灰度級遍歷以獲取最優(yōu)閾值，該方式計算難度大、耗時長和速度慢，從而難以實現(xiàn)實時性分割要求[4-5]。

針對最大熵中的閾值選擇問題，一些學者結(jié)合粒子群優(yōu)化算法、遺傳算法的優(yōu)化特性，采用這些方法圖像分割效果在一定程度上有所提高，但陷入局部最優(yōu)，早熟收斂等弊端未能克服，同時圖像分割精度有待提高[6-7]。2017年，MIRJALILI等人[8]受鯨魚特殊覓食行為的啟發(fā)提出了鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm,WOA)，因其具有可調(diào)參量少、可操作性強、迅速收斂等優(yōu)點，廣泛應用于各種各樣的優(yōu)化問題中，為2維最大熵分割方法選取最優(yōu)閾值提供一種新的手段。為了圖像分割精度有所提高，將改進鯨魚優(yōu)化算法用于尋求最優(yōu)分割閾值，定義基準函數(shù)為最大熵函數(shù)，通過實驗測試分割結(jié)果。結(jié)果表明，本文中改進的算法能準確找到最優(yōu)閾值，也能滿足圖像分割實時性的要求。

1 原始鯨魚算法

鯨魚被認為是具有情感的高智能動物，最有趣的行為是它們特殊的覓食行為。包括3種不同的捕獵方式，分別為：包圍式捕獵機制、泡泡網(wǎng)式捕獵機制和隨機式捕獵機制[8-9]。

1.1 包圍式捕獵機制

鯨魚識別到獵物位置后將其包圍，因最優(yōu)值位置在搜索空間是未知的，所以WOA假設當前的候選解是最優(yōu)的。最佳搜索代理被定義后，其它搜索代理將嘗試將其位置更新為最佳，由下式說明：

X(t+1)=X*(t)-A·D

(1)

式中，D=|C·X*(t)-X(t)|；A=2a·r-a；C=2·r；t表示當前迭代;A和C是系數(shù)向量;X(t+1) 表示候選解位置;X*(t)表示最優(yōu)解位置;a在整個迭代過程中(在探索和開發(fā)階段)從2線性下降到0;r是[0,1]中隨機向量。

1.2 泡泡網(wǎng)捕獵機制

鯨魚泡泡網(wǎng)式捕獵機制有兩種方法：第1種為收縮包圍機制是通過降低a值來實現(xiàn)，搜索代理新位置可在原始位置和當前最佳位置之間任何地方定義；第2種為螺旋式更新位置機制，是通過計算位于(X,Y)鯨魚和位于(X*,Y*)獵物之間的距離，在鯨魚和獵物的位置之間建立一個螺旋方程，由下式說明：

X(t+1)=D′eblcos(2πl(wèi))+X*(t)

(2)

式中，D′=|X*(t)-X(t)|表示第i只個體到食物源的距離，即目前為止的最優(yōu)解，b為常數(shù)(定義為對數(shù)螺旋的形狀)，l是[-1,1]中的隨機數(shù)。

注意到鯨魚在一個縮小的圓圈內(nèi)圍繞獵物沿著螺旋形的路徑游動。為了模擬這種同時進行的行為，優(yōu)化期間假設在收縮包圍機制或螺旋式模型之間有50%的概率來選擇更新鯨魚的位置，更新公式由下式說明：

X(t+1)=

(3)

式中，概率p是[0,1]中的隨機數(shù)。

1.3 隨機捕獵機制

隨機捕獵機制是基于矢量A變化的方法來尋找食物源，數(shù)學模型由下面兩個式子來說明：

X(t+1)=Xr-A·D

(4)

D=|C·Xr-X|

(5)

式中，Xr為鯨魚隨機位置，A和D的求解已在上面給出。

2 改進鯨魚優(yōu)化算法

2.1 貓映射初始化

對大多數(shù)群智能優(yōu)化算法，群體初始化方式影響算法的計算效率。為使種群的個體保持多樣性以及盡可能地分布均勻，本文中不再采用原算法的方式來隨機生成種群，而是采用混沌序列結(jié)合反向解的初始化策略，這樣有助于尋求解的遍歷性和提高算法收斂速度。近年來，由于混沌序列具有遍歷性、隨機性等優(yōu)點，所以將其作為一種優(yōu)化技術(shù)。如今，在優(yōu)化領域中有多種多樣的混沌映射，主要包括logistic映射、tent映射和貓映射等。其中l(wèi)ogistic序列的概率密度函數(shù)服從切比雪夫分布，映射點呈現(xiàn)兩頭密度高而中間密度低，因其遍歷性與均勻性表現(xiàn)不佳，將影響全局搜索效率[10-11]。而tent映射易在小循環(huán)或不動點上出現(xiàn)問題，若最佳解僅為邊緣值時，可求得最佳解。針對以上的問題，本文中采用經(jīng)典貓映射來生成鯨魚初始群體。貓映射(cat映射)也稱作Arnold映射，因經(jīng)常由用貓臉演示而命名，貓映射定義如下式所示[12]：

(6)

混沌序列結(jié)合反向解初始化策略步驟為：首先可用貓映射產(chǎn)生當前種群的一個可行解{X=(x1,x2,…,xd)(d為搜索空間的維度；xj∈[uj,vj],其中uj和vj表示可行解的上下界。)，則反向解定義為X′=(X1′,X2′,…,Xd′)，xj=k(uj+vj)-xj，k服從[0,1]上的均勻分布[13-14]。

2.2 瘋狂算子

在鯨魚優(yōu)化算法中，鯨魚位置更新有著重要作用。鯨魚捕食過程中，食物源位置有可能會發(fā)生位置的突變，以此來增加種群隨機性。為避免WOA 出現(xiàn)早期成熟而收斂及易陷入局部最優(yōu)解，采用 “瘋狂算子”，用瘋狂算子對鯨魚位置更新機制進行建模[15]。確保鯨魚在提前設置的瘋狂概率下，產(chǎn)生擾動因子對食物源位置進行擾動，目的是保持種群個體多樣性，則(3)式位置更新公式為：

X(t+1)=

(7)

式中，Cr為瘋狂算子，且Cr=P(c4)×sign(c4)×X1。變量c4是區(qū)間[0,1]中均勻分布的一個隨機數(shù)，X1是一個取值非常小的一個常數(shù)，試驗中取X1=0.0001。其中P(c4)和sign(c4)由下面兩個式子來說明：

(8)

(9)

式中，Pc為瘋狂概率，本文中Pc=0.3。該概率下鯨魚在位置更新過程中所捕獲食物位置發(fā)生變化有較小可能性。因Pc取一個很小的數(shù)值，那么c4將有很高的概率去超過Pc，而僅當c4≤Pc時，瘋狂因子P(c4)的取值為1。實際上Cr的取值僅在3個數(shù)徘徊，目的是在鯨魚位置更新過程中，很快地跳出局部最優(yōu)，增加全局的收斂速度。

2.3 黃金正弦算法

2017年,TANYILDIZI提出黃金正弦算法[16](golden sine algorithm,Golden-SA)，該算法的靈感是來自數(shù)學上的正弦函數(shù)，其優(yōu)點有易實現(xiàn)、收斂速度快和調(diào)節(jié)參量少。鯨魚覓食行為包括3種機制：包圍式捕獵機制，泡泡網(wǎng)式捕獵機制(收縮式機制與螺旋式機制)和隨機式捕獵機制。其中隨機捕獵機制是基于矢量A的變化，此階段為探索階段。事實上，鯨魚可根據(jù)彼此位置隨機搜索，因此，使用隨機矢量值A>1或A<-1來迫使搜索代理遠離其它無關的鯨魚。與開發(fā)階段不同，更新了搜索代理的位置，而不是目前為止找到的最佳搜索代理。這種機制和|A|>1一樣都強調(diào)探索，并允許WOA進行全局搜索，隨機捕獵機制數(shù)學模型已在上文給出。

XIAO等人將黃金正弦算法引入螺旋式狩獵機制中，在收斂速度上有所改善，但在測試函數(shù)上尋求最優(yōu)解時，易陷入局部最優(yōu)[17]。本文中采用黃金正弦算法對鯨魚優(yōu)化算法隨機式捕獵機制進行一定的改進。通過原始鯨魚優(yōu)化算法描述，隨機捕獵階段為探索階段，此階段強調(diào)全局搜索。將黃金正弦算法引入此階段，有利于全局最優(yōu)解的充分探索，減小了個體向最優(yōu)解靠近的搜索空間，同時有利于平衡在“探索”和“開發(fā)”兩個階段。從而使算法的精度以及速度有一定提高，引入黃金正弦算法在隨機捕獵機制后，(4)式和(5)式更新為下式：

X(t+1)=Xr|sinR1|-R2·sinR1·A·D

(10)

3 2維最大熵圖像分割原理

圖像分割中應用信息論的香農(nóng)熵，理論上是使圖像中背景和目標信息量達到最大。1維最大熵雖有較快的處理速度，但僅考慮圖像像素的點灰度信息，而區(qū)域相關性被忽略，從而表現(xiàn)出較差的分割效果以及抗噪性能[19]。2維最大熵基于圖像直方圖將像素點灰度特征與區(qū)域灰度特征兩者結(jié)合，從而圖像有用信息能有效地被提取，通過使圖像2維熵達到最大來獲取最佳閾值。因此通過此方法可獲得良好分割效果與抗噪性，其計算方法如下：設原始圖像f(x,y)(x= 0,1,…,M；y= 0,1,…,N；M×N為分割圖像的大小；f(x,y)= 0,1,…,L)的灰度級為L(L=256)，以其中一個像素f(x,y)及其八鄰域作為一個計算區(qū)域，可得到該像素的灰度均值。其中nij表示原圖點灰度是i而區(qū)域灰度是j的像素點數(shù),pij是點灰度和區(qū)域灰度均值對發(fā)生的概率[20]：pij=nij/(M×N)

(11)

圖像的2維直方圖由(11)式得到，如圖1所示。

Fig.1 2-D histogram

典型的情況下，圖像中目標或背景的像素占有最大比例，所在區(qū)域灰度級分布均勻，且點灰度與區(qū)域灰度均值無較大差別。由圖1可知，分布在對角線A區(qū)和B區(qū)，反映了圖像中目標和背景。點灰度-區(qū)域灰度均值對發(fā)生的概率主要集中在對角線周圍，即圖1中A區(qū)、B區(qū)。在對角線的C區(qū)、D區(qū)，概率值呈下降的趨勢，這兩個區(qū)反映圖像中的邊緣點和噪聲點等。所以綜上所述，為使目標和背景信息熵達到最大，應該在A區(qū)和B區(qū)運用2維最大熵法來確定圖像分割的最佳閾值(s,t)。根據(jù)熵的定義，圖像2維熵與閾值可通過如下公式得到:

(12)

(13)

δ(s,t)=H(A)+H(B)=lnPA+HA/pA+

lnpB+HB/pB=ln[PA(1-PA)]+

HA/PA+(HL-HA)/(1-PA)

(14)

由以上公式可得熵函數(shù)(s,t)=H(A)+H(B)所選取的最佳分割閾值(s*,t*)應滿足：

(s*,t*)=max{δ(s,t)}

(15)

采用2維最大熵法并不僅是1維圖像分割的簡單擴展，因為每一對點灰度-區(qū)域灰度均值對的2維熵都進行計算，計算量呈指數(shù)增加，因此群智能優(yōu)化算法有必要引用。

4 實驗仿真與結(jié)果分析

本文中選取了粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO)、灰狼優(yōu)化算法(grey wolf optimizer,GWO)、蟻獅優(yōu)化算法(ant lion optimization,ALO)以及原鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm,WOA)與本文中算法(IWOA)在同等實驗條件下進行對比。其中所有用于進行對比的算法迭代次數(shù)為500，種群大小為30。不同算法參量取值見表1。其中，vmax表示飛行速度，w表示慣性權(quán)重,c1和c2都表示學習因子。

Table 1 Algorithm parameter value

為驗證本文中算法(IWOA)魯棒性及改進點的優(yōu)化效果優(yōu)于其它算法，作者在多個不同特點的基準函數(shù)上進行尋優(yōu)并進行對比，本文中的測試函數(shù)見表2。

Table 2 Test functions

本文中算法(IWOA)與其它群智能算法試驗結(jié)果對比見表3。

函數(shù)f1,f2,f3,f4和f5是單峰函數(shù)，這些函數(shù)只有一個全局最優(yōu)，用來評價算法的開發(fā)能力。最優(yōu)值和平均值反映了算法的尋優(yōu)能力和有效性，而標準差反映算法的穩(wěn)定性。從表3中可以看出，IWOA在函數(shù)f1和f3能得到最優(yōu)值0。其它3項指標也都達到了0，雖然在函數(shù)f2,f4和f5沒達到理論最優(yōu)，但它們最優(yōu)值、平均值和標準差都遠遠優(yōu)于其它算法。其中函數(shù)f2和f4的標準差都達到0，說明IWOA穩(wěn)定性強。同時也可以看出原始WOA的各項指標與其它算法相比，尋優(yōu)能力次之，而ALO表現(xiàn)最差。

函數(shù)f6,f7,f8,f9和f10為多峰函數(shù)，包括許多局部最優(yōu)，用來評價算法的探索能力。從表3中可以看出，函數(shù)f7和函數(shù)f6上IWOA與WOA算法都能得到最優(yōu)值，但IWOA在最先跳出局部最優(yōu)。在函數(shù)f8上，其各項指標都優(yōu)于對比的算法。在函數(shù)f9和f10上，其理論值分別為0.00030,-3.32，IWOA最為接近理論值，且其余兩項指標均優(yōu)于其它算法。為進一步驗證IWOA的收斂性，本文中選取實驗中測試函數(shù)f1,f2,f6,f8和f9的收斂曲線圖進行展示，如圖2～圖6所示。

Table 3 Results of test functions

continue

Fig.2 f1 convergence curve

Fig.3 f2 convergence curve

Fig.4 f6 convergence curve

Fig.5 f8 convergence curve

Fig.6 f9 convergence curve

其中橫坐標表示迭代代數(shù)，縱坐標表示目前最佳值。

基于本文中算法IWOA閾值優(yōu)化步驟如下：(1)采用貓映射初始化IWOA參量，包括種群大小、初始位置Xi=(si,ti)和迭代次數(shù)T；(2) 利用IWOA求分割閾值，目標函數(shù)表達式由(14)式說明;(3) 基于(7)式和(10)式更新鯨魚位置；(4)基于(15)式求鯨魚的適應值，將最小的適應值作為最優(yōu)值；(5)判斷是否達到最大迭代次數(shù)，結(jié)束計算，輸出最佳閾值X*=(s*,t*),否則返到步驟(3)。

為驗證本文中的算法IWOA優(yōu)化最大熵獲取最佳分割閾值，選擇傳統(tǒng)最大熵法、大津法和IWOA在同一編譯語言進行實驗對比。種群規(guī)模為20，迭代次數(shù)為30。本文中在MATLAB自帶圖片數(shù)據(jù)集football.jpg和coins.png兩組圖片進行驗證。

本文中所有對比算法均采用MATLAB語言。實驗環(huán)境為：Window10系統(tǒng)，4G內(nèi)存，MATLAB R2016b平臺。

從圖7b～圖7d及圖8b～圖8d中可以看出，大津法雖能從背景中分割出目標，但細節(jié)幾乎沒有體現(xiàn)。從圖7c可以看出，傳統(tǒng)最大熵法相比大津法在細節(jié)上有所提高，但效果不佳。從圖7d的分割結(jié)果中可看出，利用IWOA結(jié)合最大熵分割圖像，目標相對全面清晰，可看出硬幣大致輪廓、紋理和痕跡都有體現(xiàn)。圖8d中足球上的英文字母及線條都能看清,表明熵值越大，所包含的信息量越多，說明可使圖像中大量信息量被提取。試驗表明，IWOA結(jié)合最大熵對圖像分割是可行的。從表4可以看出，每經(jīng)過一次閾值篩選，都要進行熵的計算，假設計算時間為一個固定數(shù)G，那么對于一個灰度級為256的圖像，當進行1維熵分割時，需計算熵256次，總共計算時間為256G。而當進行2維熵分割時總計時間256×256G，從而可以看出，2維熵分割時間計算量大，導致分割消耗時間長，采用IWOA結(jié)合傳統(tǒng)最大熵對圖像進行分割，分割時間所消耗時間最少。

Table 4 Values of different segmentation algorithms

Fig.7 a—original coins.png b—segmentation image of 2-D Ostu c—segmentation image of 2-D maximum entropy d—segmentation image of IWOA

Fig.8 a—original football.jpg b—segmentation image of 2-D Ostu c—segmentation image of 2-D maximum entropy d—segmentation image of IWOA

5 結(jié) 論

與很多群智能算法一樣，鯨魚優(yōu)化算法對大多數(shù)優(yōu)化問題依賴性小。為能精準在圖像分割過程中找到目標區(qū)域及能很好地解決計算量大問題，將改進鯨魚優(yōu)化算法用于2-D最大熵圖像分割，為避免WOA算法出現(xiàn)過早收斂和易陷入局部最優(yōu)解，在其位置更新公式上引入瘋狂算子，提高算法的收斂速度。同時在隨機捕獵機制在引入黃金正弦算法，使種群多樣性得以保證及算法的精度有一定提高。結(jié)合IWOA和2維最大熵各自優(yōu)點實現(xiàn)圖像有效分割，實驗結(jié)果表明，與其它分割算法相比，IWOA能實時地分割出目標圖像，目標圖像視覺效果表現(xiàn)較為理想，且分割消耗時間最短。鯨魚優(yōu)化算法魯棒性強，可用在多個領域，不取決研究問題的領域，因此具有廣泛地研究意義。