基于改進鯨魚優化算法的最大2維熵圖像分割

周 嬌，王 力，2*，陳小青

(1.貴州大學 大數據與信息工程學院 信息與通信工程系，貴陽 550025；2.貴州工程應用技術學院 信息工程學院，畢節 551700)

引 言

圖像分割是圖像處理中一項基本技術，是圖像簡化、目標區突出和降低分析難度的一種重要手段，為圖像識別與分類的前提。所謂圖像分割是依據一定的準則，將圖像中人們感興趣區域的內容提取出，其分割精確度影響后續結果。因此圖像分割仍是一個研究前沿與熱點，對此國內外學者對其進行大量的研究，許多有效的方法也陸續被提出，主要分為：基于色彩類型、基于不同分割依據和基于所用理論差異等。其中基于不同分割依據主要包括：邊緣檢測法、閾值法和區域生長法等[1-2]。閾值法是圖像分割最常用的處理方法，其操作簡單、效率高和穩定性能好，本文中討論的2維最大熵分割算法是閾值法中的一種。20世紀80年代，學者們開始將信息論中熵的概念用于選取閾值，熵代表平均信息量，熵越大，表明包含的信息量多[3]。其中,1維最大熵圖像分割法缺點在于：該方法僅考慮灰度信息，而圖像分割過程中易受噪聲的影響，導致較差的分割效果。所以學者們將1維推廣至2維，將點灰度-區域灰度同時考慮，具有較好的分割效果和抗噪性能。傳統最大熵法通過將全部灰度級遍歷以獲取最優閾值，該方式計算難度大、耗時長和速度慢，從而難以實現實時性分割要求[4-5]。

針對最大熵中的閾值選擇問題，一些學者結合粒子群優化算法、遺傳算法的優化特性，采用這些方法圖像分割效果在一定程度上有所提高，但陷入局部最優，早熟收斂等弊端未能克服，同時圖像分割精度有待提高[6-7]。2017年，MIRJALILI等人[8]受鯨魚特殊覓食行為的啟發提出了鯨魚優化算法(whale optimization algorithm,WOA)，因其具有可調參量少、可操作性強、迅速收斂等優點，廣泛應用于各種各樣的優化問題中，為2維最大熵分割方法選取最優閾值提供一種新的手段。為了圖像分割精度有所提高，將改進鯨魚優化算法用于尋求最優分割閾值，定義基準函數為最大熵函數，通過實驗測試分割結果。結果表明，本文中改進的算法能準確找到最優閾值，也能滿足圖像分割實時性的要求。

1 原始鯨魚算法

鯨魚被認為是具有情感的高智能動物，最有趣的行為是它們特殊的覓食行為。包括3種不同的捕獵方式，分別為：包圍式捕獵機制、泡泡網式捕獵機制和隨機式捕獵機制[8-9]。

1.1 包圍式捕獵機制

鯨魚識別到獵物位置后將其包圍，因最優值位置在搜索空間是未知的，所以WOA假設當前的候選解是最優的。最佳搜索代理被定義后，其它搜索代理將嘗試將其位置更新為最佳，由下式說明：

X(t+1)=X*(t)-A·D

(1)

式中，D=|C·X*(t)-X(t)|；A=2a·r-a；C=2·r；t表示當前迭代;A和C是系數向量;X(t+1) 表示候選解位置;X*(t)表示最優解位置;a在整個迭代過程中(在探索和開發階段)從2線性下降到0;r是[0,1]中隨機向量。

1.2 泡泡網捕獵機制

鯨魚泡泡網式捕獵機制有兩種方法：第1種為收縮包圍機制是通過降低a值來實現，搜索代理新位置可在原始位置和當前最佳位置之間任何地方定義；第2種為螺旋式更新位置機制，是通過計算位于(X,Y)鯨魚和位于(X*,Y*)獵物之間的距離，在鯨魚和獵物的位置之間建立一個螺旋方程，由下式說明：

X(t+1)=D′eblcos(2πl)+X*(t)

(2)

式中，D′=|X*(t)-X(t)|表示第i只個體到食物源的距離，即目前為止的最優解，b為常數(定義為對數螺旋的形狀)，l是[-1,1]中的隨機數。

注意到鯨魚在一個縮小的圓圈內圍繞獵物沿著螺旋形的路徑游動。為了模擬這種同時進行的行為，優化期間假設在收縮包圍機制或螺旋式模型之間有50%的概率來選擇更新鯨魚的位置，更新公式由下式說明：

X(t+1)=

(3)

式中，概率p是[0,1]中的隨機數。

1.3 隨機捕獵機制

隨機捕獵機制是基于矢量A變化的方法來尋找食物源，數學模型由下面兩個式子來說明：

X(t+1)=Xr-A·D

(4)

D=|C·Xr-X|

(5)

式中，Xr為鯨魚隨機位置，A和D的求解已在上面給出。

2 改進鯨魚優化算法

2.1 貓映射初始化

對大多數群智能優化算法，群體初始化方式影響算法的計算效率。為使種群的個體保持多樣性以及盡可能地分布均勻，本文中不再采用原算法的方式來隨機生成種群，而是采用混沌序列結合反向解的初始化策略，這樣有助于尋求解的遍歷性和提高算法收斂速度。近年來，由于混沌序列具有遍歷性、隨機性等優點，所以將其作為一種優化技術。如今，在優化領域中有多種多樣的混沌映射，主要包括logistic映射、tent映射和貓映射等。其中logistic序列的概率密度函數服從切比雪夫分布，映射點呈現兩頭密度高而中間密度低，因其遍歷性與均勻性表現不佳，將影響全局搜索效率[10-11]。而tent映射易在小循環或不動點上出現問題，若最佳解僅為邊緣值時，可求得最佳解。針對以上的問題，本文中采用經典貓映射來生成鯨魚初始群體。貓映射(cat映射)也稱作Arnold映射，因經常由用貓臉演示而命名，貓映射定義如下式所示[12]：

(6)

混沌序列結合反向解初始化策略步驟為：首先可用貓映射產生當前種群的一個可行解{X=(x1,x2,…,xd)(d為搜索空間的維度；xj∈[uj,vj],其中uj和vj表示可行解的上下界。)，則反向解定義為X′=(X1′,X2′,…,Xd′)，xj=k(uj+vj)-xj，k服從[0,1]上的均勻分布[13-14]。

2.2 瘋狂算子

在鯨魚優化算法中，鯨魚位置更新有著重要作用。鯨魚捕食過程中，食物源位置有可能會發生位置的突變，以此來增加種群隨機性。為避免WOA 出現早期成熟而收斂及易陷入局部最優解，采用 “瘋狂算子”，用瘋狂算子對鯨魚位置更新機制進行建模[15]。確保鯨魚在提前設置的瘋狂概率下，產生擾動因子對食物源位置進行擾動，目的是保持種群個體多樣性，則(3)式位置更新公式為：

X(t+1)=

(7)

式中，Cr為瘋狂算子，且Cr=P(c4)×sign(c4)×X1。變量c4是區間[0,1]中均勻分布的一個隨機數，X1是一個取值非常小的一個常數，試驗中取X1=0.0001。其中P(c4)和sign(c4)由下面兩個式子來說明：

(8)

(9)

式中，Pc為瘋狂概率，本文中Pc=0.3。該概率下鯨魚在位置更新過程中所捕獲食物位置發生變化有較小可能性。因Pc取一個很小的數值，那么c4將有很高的概率去超過Pc，而僅當c4≤Pc時，瘋狂因子P(c4)的取值為1。實際上Cr的取值僅在3個數徘徊，目的是在鯨魚位置更新過程中，很快地跳出局部最優，增加全局的收斂速度。

2.3 黃金正弦算法

2017年,TANYILDIZI提出黃金正弦算法[16](golden sine algorithm,Golden-SA)，該算法的靈感是來自數學上的正弦函數，其優點有易實現、收斂速度快和調節參量少。鯨魚覓食行為包括3種機制：包圍式捕獵機制，泡泡網式捕獵機制(收縮式機制與螺旋式機制)和隨機式捕獵機制。其中隨機捕獵機制是基于矢量A的變化，此階段為探索階段。事實上，鯨魚可根據彼此位置隨機搜索，因此，使用隨機矢量值A>1或A<-1來迫使搜索代理遠離其它無關的鯨魚。與開發階段不同，更新了搜索代理的位置，而不是目前為止找到的最佳搜索代理。這種機制和|A|>1一樣都強調探索，并允許WOA進行全局搜索，隨機捕獵機制數學模型已在上文給出。

XIAO等人將黃金正弦算法引入螺旋式狩獵機制中，在收斂速度上有所改善，但在測試函數上尋求最優解時，易陷入局部最優[17]。本文中采用黃金正弦算法對鯨魚優化算法隨機式捕獵機制進行一定的改進。通過原始鯨魚優化算法描述，隨機捕獵階段為探索階段，此階段強調全局搜索。將黃金正弦算法引入此階段，有利于全局最優解的充分探索，減小了個體向最優解靠近的搜索空間，同時有利于平衡在“探索”和“開發”兩個階段。從而使算法的精度以及速度有一定提高，引入黃金正弦算法在隨機捕獵機制后，(4)式和(5)式更新為下式：

X(t+1)=Xr|sinR1|-R2·sinR1·A·D

(10)

3 2維最大熵圖像分割原理

圖像分割中應用信息論的香農熵，理論上是使圖像中背景和目標信息量達到最大。1維最大熵雖有較快的處理速度，但僅考慮圖像像素的點灰度信息，而區域相關性被忽略，從而表現出較差的分割效果以及抗噪性能[19]。2維最大熵基于圖像直方圖將像素點灰度特征與區域灰度特征兩者結合，從而圖像有用信息能有效地被提取，通過使圖像2維熵達到最大來獲取最佳閾值。因此通過此方法可獲得良好分割效果與抗噪性，其計算方法如下：設原始圖像f(x,y)(x= 0,1,…,M；y= 0,1,…,N；M×N為分割圖像的大小；f(x,y)= 0,1,…,L)的灰度級為L(L=256)，以其中一個像素f(x,y)及其八鄰域作為一個計算區域，可得到該像素的灰度均值。其中nij表示原圖點灰度是i而區域灰度是j的像素點數,pij是點灰度和區域灰度均值對發生的概率[20]：pij=nij/(M×N)

(11)

圖像的2維直方圖由(11)式得到，如圖1所示。

Fig.1 2-D histogram

典型的情況下，圖像中目標或背景的像素占有最大比例，所在區域灰度級分布均勻，且點灰度與區域灰度均值無較大差別。由圖1可知，分布在對角線A區和B區，反映了圖像中目標和背景。點灰度-區域灰度均值對發生的概率主要集中在對角線周圍，即圖1中A區、B區。在對角線的C區、D區，概率值呈下降的趨勢，這兩個區反映圖像中的邊緣點和噪聲點等。所以綜上所述，為使目標和背景信息熵達到最大，應該在A區和B區運用2維最大熵法來確定圖像分割的最佳閾值(s,t)。根據熵的定義，圖像2維熵與閾值可通過如下公式得到:

(12)

(13)

δ(s,t)=H(A)+H(B)=lnPA+HA/pA+

lnpB+HB/pB=ln[PA(1-PA)]+

HA/PA+(HL-HA)/(1-PA)

(14)

由以上公式可得熵函數(s,t)=H(A)+H(B)所選取的最佳分割閾值(s*,t*)應滿足：

(s*,t*)=max{δ(s,t)}

(15)

采用2維最大熵法并不僅是1維圖像分割的簡單擴展，因為每一對點灰度-區域灰度均值對的2維熵都進行計算，計算量呈指數增加，因此群智能優化算法有必要引用。

4 實驗仿真與結果分析

本文中選取了粒子群優化算法(particle swarm optimization,PSO)、灰狼優化算法(grey wolf optimizer,GWO)、蟻獅優化算法(ant lion optimization,ALO)以及原鯨魚優化算法(whale optimization algorithm,WOA)與本文中算法(IWOA)在同等實驗條件下進行對比。其中所有用于進行對比的算法迭代次數為500，種群大小為30。不同算法參量取值見表1。其中，vmax表示飛行速度，w表示慣性權重,c1和c2都表示學習因子。

Table 1 Algorithm parameter value

為驗證本文中算法(IWOA)魯棒性及改進點的優化效果優于其它算法，作者在多個不同特點的基準函數上進行尋優并進行對比，本文中的測試函數見表2。

Table 2 Test functions

本文中算法(IWOA)與其它群智能算法試驗結果對比見表3。

函數f1,f2,f3,f4和f5是單峰函數，這些函數只有一個全局最優，用來評價算法的開發能力。最優值和平均值反映了算法的尋優能力和有效性，而標準差反映算法的穩定性。從表3中可以看出，IWOA在函數f1和f3能得到最優值0。其它3項指標也都達到了0，雖然在函數f2,f4和f5沒達到理論最優，但它們最優值、平均值和標準差都遠遠優于其它算法。其中函數f2和f4的標準差都達到0，說明IWOA穩定性強。同時也可以看出原始WOA的各項指標與其它算法相比，尋優能力次之，而ALO表現最差。

函數f6,f7,f8,f9和f10為多峰函數，包括許多局部最優，用來評價算法的探索能力。從表3中可以看出，函數f7和函數f6上IWOA與WOA算法都能得到最優值，但IWOA在最先跳出局部最優。在函數f8上，其各項指標都優于對比的算法。在函數f9和f10上，其理論值分別為0.00030,-3.32，IWOA最為接近理論值，且其余兩項指標均優于其它算法。為進一步驗證IWOA的收斂性，本文中選取實驗中測試函數f1,f2,f6,f8和f9的收斂曲線圖進行展示，如圖2～圖6所示。

Table 3 Results of test functions

continue

Fig.2 f1 convergence curve

Fig.3 f2 convergence curve

Fig.4 f6 convergence curve

Fig.5 f8 convergence curve

Fig.6 f9 convergence curve

其中橫坐標表示迭代代數，縱坐標表示目前最佳值。

基于本文中算法IWOA閾值優化步驟如下：(1)采用貓映射初始化IWOA參量，包括種群大小、初始位置Xi=(si,ti)和迭代次數T；(2) 利用IWOA求分割閾值，目標函數表達式由(14)式說明;(3) 基于(7)式和(10)式更新鯨魚位置；(4)基于(15)式求鯨魚的適應值，將最小的適應值作為最優值；(5)判斷是否達到最大迭代次數，結束計算，輸出最佳閾值X*=(s*,t*),否則返到步驟(3)。

為驗證本文中的算法IWOA優化最大熵獲取最佳分割閾值，選擇傳統最大熵法、大津法和IWOA在同一編譯語言進行實驗對比。種群規模為20，迭代次數為30。本文中在MATLAB自帶圖片數據集football.jpg和coins.png兩組圖片進行驗證。

本文中所有對比算法均采用MATLAB語言。實驗環境為：Window10系統，4G內存，MATLAB R2016b平臺。

從圖7b～圖7d及圖8b～圖8d中可以看出，大津法雖能從背景中分割出目標，但細節幾乎沒有體現。從圖7c可以看出，傳統最大熵法相比大津法在細節上有所提高，但效果不佳。從圖7d的分割結果中可看出，利用IWOA結合最大熵分割圖像，目標相對全面清晰，可看出硬幣大致輪廓、紋理和痕跡都有體現。圖8d中足球上的英文字母及線條都能看清,表明熵值越大，所包含的信息量越多，說明可使圖像中大量信息量被提取。試驗表明，IWOA結合最大熵對圖像分割是可行的。從表4可以看出，每經過一次閾值篩選，都要進行熵的計算，假設計算時間為一個固定數G，那么對于一個灰度級為256的圖像，當進行1維熵分割時，需計算熵256次，總共計算時間為256G。而當進行2維熵分割時總計時間256×256G，從而可以看出，2維熵分割時間計算量大，導致分割消耗時間長，采用IWOA結合傳統最大熵對圖像進行分割，分割時間所消耗時間最少。

Table 4 Values of different segmentation algorithms

Fig.7 a—original coins.png b—segmentation image of 2-D Ostu c—segmentation image of 2-D maximum entropy d—segmentation image of IWOA

Fig.8 a—original football.jpg b—segmentation image of 2-D Ostu c—segmentation image of 2-D maximum entropy d—segmentation image of IWOA

5 結 論

與很多群智能算法一樣，鯨魚優化算法對大多數優化問題依賴性小。為能精準在圖像分割過程中找到目標區域及能很好地解決計算量大問題，將改進鯨魚優化算法用于2-D最大熵圖像分割，為避免WOA算法出現過早收斂和易陷入局部最優解，在其位置更新公式上引入瘋狂算子，提高算法的收斂速度。同時在隨機捕獵機制在引入黃金正弦算法，使種群多樣性得以保證及算法的精度有一定提高。結合IWOA和2維最大熵各自優點實現圖像有效分割，實驗結果表明，與其它分割算法相比，IWOA能實時地分割出目標圖像，目標圖像視覺效果表現較為理想，且分割消耗時間最短。鯨魚優化算法魯棒性強，可用在多個領域，不取決研究問題的領域，因此具有廣泛地研究意義。