圖像處理過程中影響PSNR 的因素分析

徐 磊，張 虹，閆善文，高德寶，野金花，邵云虹

圖像與人類的活動密切相關，圖像處理［1-2］技術也成為許多學科的研究人員研究和學習的對象.數字圖像處理在其產生、傳輸和記錄的過程中經常受到各種外界因素的干擾，造成圖像降質.圖像處理之所以具有重要意義，其根本原因在于許多應用領域中需要清晰且高質量的圖像.

數字圖像處理技術的發展對相應數學理論的發展具有非常重要的影響.基于實際問題，前蘇聯院士TIKHONOV［3］提出了一種處理不適定問題的正則化方法.不適定問題是指數學中的這樣一類問題，它的解對原始問題改變不大的情況來說是不穩定的.它的特點在于，不管原始問題改變多么小，也可以造成解的任意大的變化.不適定問題不僅廣泛，而且他們的應用也是多種多樣的.圖像處理問題也是不適定問題之一.RUDIN，OSHER 和FATIME［4］首次在圖像去噪中使用全變差（Total Variation，TV）正則化項.他們提出了一種去除圖像噪聲的約束優化算法.在利用全變差方法處理圖像噪聲問題時，往往利用解決約束泛函的最小值問題.并且約束是使用拉格朗日乘子施加的，再利用投影梯度法得到解.這相當于求解由約束決定的流形上的一個偏微分方程.當t→∞時，解收斂到一個穩態，即圖像去噪.LUCA C 等［5］考慮對圖像中存在噪聲的去噪問題，并且主要考慮的噪聲為椒鹽噪聲和高斯噪聲以及高斯噪聲和泊松噪聲的混合.他們提出利用變差法的圖像去噪模型，該模型具有一個全變差正則化項和一個混合噪聲的數據.通過后驗估計，給出了該模型的統計推導.用牛頓方法計算了模型的數值解.YOU 等［6］提出了一類四階偏微分方程（PDEs）以優化噪聲去除與邊緣保存.通過PDEs 的演化試圖最小化一個泛函，這是一個圖像強度泛函，它是拉普拉斯絕對值的一個遞增泛函.如果圖像在其鄰域內是平滑的，則像素上的圖像的拉普拉斯為零，利用PDEs 試圖通過用分段平面圖像近似觀察到的圖像來去除噪聲和保留邊緣.分段平面圖像看起來比各向異性擴散（二階PDEs）用來逼近得到的圖像更自然.PDEs 能夠避免在各向異性擴散處理的圖像中廣泛看到的塊狀效應，同時達到與各向異性擴散相當的噪聲去除和邊緣保存程度.對于PDEs 處理的圖像中噪聲更容易被識別，并且各向異性擴散傾向于產生多個假邊緣.通過簡單的數值實驗驗證了這種算法可以很容易去除噪聲.JEZIERSKA A 等［7］提出假設被噪聲破壞的觀測值是兩個隨機過程的總和：一個泊松和另一個高斯.為了估計噪聲參數，提出了一種基于期望最大化方法的迭代算法.這可以同時估計泊松分量的尺度參數和高斯分量的均值和方差.此外，還提供了基于累積量的適當初始化.通過數值驗證該方法的準確性.

1 預備知識

本文考慮利用正則化方法處理圖像噪聲，對于圖像去噪是一個逆問題.令Ω ?R是一個開的并且有界的拉普西斯邊界，f:Ω→R是給定的噪聲圖像.圖像去噪可以表述為從f中檢索恢復的去噪圖像u:Ω →R.在其一般表達式中，假設對觀察到的圖像沒有模糊效應，去噪逆問題假設如下形式：

其中：? 模型的退化過程產生噪聲，并且遵循一定的統計分布.由于式（1）的不適當性，這樣的問題往往是正則化的，并且可以重新表述為以下最小化問題：

其中圖像是滿足泛函空間中的元素，恢復圖像是在Banach 空間中的泛函J的最小值u.

定義1［8］若有一族有界線性算子

定義2 令T:X→Y是在Hilbert 空間X,Y中的線性有界算子，α0∈( 0, +∞].對于任何一 個α∈( 0,α0)，令Rα:Y→X是 一 個 連 續 算子.如果對于所有y∈D(T+)，存在后驗參數選擇方法α=α(δ,yδ)，使得

成立，{Rα} 被稱為正則化或正則化算子.這里如果有α:?+×Y→( 0,α0)，使得

對于y∈D(T+)，如果式（2）、式（3）成立，那么(Rα,α)稱作正則化方法.

2 數值算例

本部分給出數值算例，說明影響信噪比的因素.首先給出圖像處理的實驗，在這一過程中加入椒鹽噪聲，并且通過正則化方法進行圖像去噪.我們主要研究在這一過程中影響信噪比的因素.

2.1 圖像恢復

在圖像處理中使用噪聲水平為δ的噪聲圖像

為了便于比較，用相對誤差erel和信噪比PSNR 來測量u的質量，它們分別定義為：

噪聲數據yδ通過逐點生成

其中：ξ服從正態分布，均值為0，標準差為1，ε= e · max |yδ|，其中e 為相對噪聲水平.

這里考慮噪聲類型為椒鹽噪聲.其中噪聲圖像f的像素

這部分利用Matlab 進行圖像恢復.在實驗中觀察對原始圖像中加入椒鹽噪聲，（圖像是barbara）.通 過Matlab 代 碼“imnoise（image，‘salt-and-pepper’，d）”添加椒鹽噪聲.由于圖像是稀疏的，對于圖像修復，線性算子An×n是病態的.我們使用一個線性算子An×n，其條件數為225，這是一個不適定的問題，于是使用了正則化方法解決這一問題.所有的實驗在Windows10 和Matlab R2015b 上進行.可以看到在加入椒鹽噪聲的圖像（圖1）中受噪聲的影響導致圖像模糊.于是對圖像（圖2）進行去噪，得到了復原的圖像（圖3）.因此研究在圖像處理這一過程中影響信噪比的因素.

圖1 噪聲圖像

圖2 原始圖像

圖3 恢復圖像

2.2 影響信噪比的因素

圖像的信噪比是指圖像的信號強度，與噪聲強度的比較［9-10］.利用Matlab 進行圖像復原的過程中，改變了噪聲水平，點迭代的起始值等數據.進而研究在圖像去噪過程中影響信噪比的因素，此外發現噪聲水平與定點迭代的起始值之間的關系.在圖4 中，用X軸表示噪聲水平，用Y軸表示相應的信噪比.對于不同的噪聲水平用正則化方法進行修復，記錄修復后的圖像信噪比.從圖像中可以看出噪聲水平與信噪比之間是成反比的.對于這些數據（信噪比值）進行擬合，可得到曲線PSNR= -53.51d.從圖5、圖6、圖7 中可以看出，點迭代的起始值（alpha）、定點迭代的最大值（maxits）、連續組合的起始值（mu）與信噪比是沒有關系的.而噪聲水平與定點迭代的起始值（圖8）之間存在正比例關系，通過擬合可得到d= 0.29α.

圖4 噪聲水平

圖5 定點迭代的起始值

圖6 定點迭代的最大值

圖7 連續組合的起始值

圖8 噪聲水平與定點迭代的起始值

3 結語

該文主要考慮加入噪聲的圖像，對其進行去噪得到復原圖像的這一過程中影響信噪比的因素.從而知道對于影響信噪比的因素是噪聲水平，同時也可以觀察到定點迭代的起始值，定點迭代的最大值與信噪比之間沒有關系.