漢寧雙窗全相位FFT三譜線插值檢測諧波算法

彭詠龍，李蕊，馬錫浩，李亞斌

漢寧雙窗全相位FFT三譜線插值檢測諧波算法

彭詠龍，李蕊，馬錫浩，李亞斌

（華北電力大學 電氣與電子工程學院，河北 保定 071003）

在非同步采樣情況下，利用快速傅里葉變換（FFT）進行電力系統諧波分析時，會帶來頻譜泄漏現象和柵欄效應，影響了信號的量測精度。為此，提出了一種漢寧雙窗全相位FFT三譜線插值檢測諧波算法。該算法原理是：在漢寧雙窗全相位FFT分析的基礎上，利用基波頻點附近的3條相鄰譜線幅值作比，計算出頻率校正量，并由此估計出諧波信號的幅值；然后，結合全相位FFT分析的相位不變性，將采樣點處幅值最大的譜線相位作為信號的初相。仿真實驗表明，與其他插值算法相比，該算法可以更有效地降低諧波參數檢測誤差，減少白噪聲干擾的影響。

頻譜泄漏；全相位FFT；校正算法；三譜線插值

0 引言

隨著非線性器件在電網中應用日益增加，由此帶來的諧波污染問題不斷地受到關注。因此，快速、準確地檢測諧波對提高電能質量、維護電網安全具有重要意義[1-2]。

目前，電網中諧波檢測的方法主要有小波變換法[3-4]、神經網絡法[5]、HHT[6]、快速傅里葉變換[7-9]等。小波變換法可以對諧波信號進行局部時頻分析，但會導致小波混疊，降低穩定性；神經網絡法可以有效提高檢測精度及收斂速度，但同時需要構建復雜的數學模型；HHT檢測方法具有自適應特點，但易產生虛假成分；快速傅里葉變換（fast Fourier transform，FFT）具有較高的檢測精度，但是在非同步采樣和周期截斷時又會帶來頻譜泄漏現象和柵欄效應。

相較快速傅里葉變換法，全相位傅里葉（all phase FFT，apFFT）分析可以有效地抑制頻譜泄漏、防止白噪聲干擾，且每條譜線的相位與頻偏無關，具有“相位不變性”特點[10]。基于上述優點，本文通過對漢寧雙窗離散譜進行分析得到理論基波頻點，并將該頻點處3根相鄰譜線幅值作比進行插值校正，得到頻率偏移量；然后結合上述離散譜推導出諧波信號的估計幅值；最后，根據其“相位不變性”的優點，信號的初相可取基波頻點處最大幅值的譜線相位。通過仿真實驗，證明了本文所提算法可以更有效地降低諧波參數檢測誤差，減少白噪聲干擾的影響。

1 算法原理

1.1 漢寧雙窗apFFT頻譜分析

漢寧窗的單頻復指數序列為：

式中：0、0分別定義為數字角頻率、初相位。對上述序列分別疊加非矩形單窗FFT和卷積雙窗apFFT后，得到離散頻譜如下[10]：

由頻譜表達式可見：雙窗全相位FFT的幅值為單窗幅值的兩倍，這意味著序列經apFFT雙窗變換后，所得頻譜的旁譜線相較主譜線將以平方倍衰減，隨著旁瓣漸進衰減速率的增大，會加強諧波頻譜泄漏的抑制能力。同時，加卷積雙窗后頻點的初相位0保持不變，即具有“相位不變性”的優點。

通常，對式（1）序列進行非同步離散采樣后的頻率會落在兩條譜線之間，并非同FFT后的某條譜線重合，如圖1所示。

圖1 非同步采樣時的幅值譜圖

圖1中，0對應理論頻點譜線，、–1和+1分別對應主譜線及兩側旁譜線。定義頻率校正量為理論譜線和主譜線間差異。

1.2 推導頻率校正量

如圖1所示，記主譜線、兩旁譜線–1、+1譜線幅值分別為2=(2)、1=(1)、3=(3)，明顯1=2–1，3=2+1。此處按照主譜線位于理論頻點左側處理（右側同理），即：

考慮三插值校正算法，定義主譜線、旁譜線比值為：

（6）

漢寧窗的歸一化模函數為：

可得主譜線幅值(2)、兩側旁譜線幅值(1)、(3)分別為：

考慮到2–0=–，代入式（7）~（10），化簡可得：

（12）

聯立式（6）、式（11）~（13），可解：

可得，頻率校正量為：

（15）

1.3 校正幅值、預估初相位

由上述校正量可進行諧波信號的幅值校正。根據apFFT的線性性質，對幅值為0的式（1）單頻序列進行漢寧雙窗apFFT后，可得主頻譜理論值：

（17）

根據apFFT的相位不變性，可直接取主譜線0的相位作為信號初相位0，該相位雖然未必對應采樣起始時刻，但不影響后續信號間的相位差計算。

至此，諧波信號的頻率、幅值及相位校正均已給出。

2 算例驗證

2.1 與經典窗插值FFT算法的比較

被諸多文獻用來檢驗算法有效性的經典信號模型如下：

式中：0=0.2 V；1=6 V；3=1 V；1=20.2 Hz；1=0.1 rad；3=60.6 Hz；3=0.1 rad。

為了對比分析，采用如表1所示插值算法與本文算法對上述經典信號模型進行諧波參數檢測估計。

表1 不同算法的參數估計對比

由表1可知，在相位參數檢測精度上，雙窗插值算法相較單窗插值算法提高了4~5個數量級，驗證了apFFT“相位不變性”的優點，符合理論預期；在幅值、頻率參數檢測精度上，本文算法相較漢寧雙窗單譜線插值算法提高了1個數量級，這表明對插值算法進行改進可以提升參數的估計精度。

在計算量方面，本文算法計算時間相較漢寧雙窗單譜線插值算法增加了3.7%，相較漢寧窗三譜線插值算法增加了2.9%，在計算時間略有增加的同時，較大地提升了諧波參數量測精度，證明本文算法具有較強的工程實用優勢。

2.2 頻率波動對諧波檢測的影響

諧波信號取自文獻[11]，信號表達式如下：

式中：采樣頻率fs為2 048 Hz；基波頻率f0為50.1 Hz；當電網基波頻率在49.5~50.5 Hz范圍內波動時，諧波信號的相對誤差如圖2所示。

從圖2可知，除當諧波次數較高時（18~20次），幅值參數檢測相對誤差較大外，其余時候誤差均保持在較低的穩定范圍內，且幅值參數檢測的總體相對誤差不超過0.000 1.1‰；而相位參數檢測誤差在50 Hz時有明顯低谷，在50 Hz兩側誤差有較明顯波動，但總體誤差仍不超過0.000 2.3‰。實驗證明了本算法具有優良的抗頻率波動干擾能力，有較好的實際檢測效果。

2.3 白噪聲對諧波檢測的影響

實際中信號往往含有豐富的噪聲，影響諧波參數檢測精度。通過對式（19）信號模型添加不同信噪比并采用如下算法與本文算法進行實驗對比。

由圖3可知，隨著高斯白噪聲強度的增加，該算法的頻率檢測相對誤差在較小范圍內波動，這說明算法具有較強的抗噪聲干擾能力；當噪聲強度較高時（信噪比小于50 dB時），上述算法的諧波參數檢測精度均出現下降趨勢，但本文算法較其他算法的檢測精度方面仍為最高；隨著噪聲強度的減小，本文算法的相位檢測相對誤差已逐漸趨于平穩，這正是得益于apFFT相位不變的特性，由此可以看出本文算法能有效克服白噪聲的影響。

圖3 不同信噪比白噪聲檢測參數的誤差

3 結論

本文以漢寧雙窗函數為基礎，結合三譜線插值算法推導出頻率校正量，以此估計出諧波頻率。根據推導出的頻率校正量，并結合FFT的線性特性可估計出諧波幅值，然后利用apFFT的“相位不變性”可取主頻譜的相位作為諧波信號的初相位。仿真算法表明，本文所提算法分析精度更高、抗白噪聲干擾能力更強，有較高實用價值。

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Harmonic Detection Algorithm Based on Three-spectrum-line Interpolation of Double Hanning Windows All-phase FFT

PENG Yonglong, LI Rui, MA Xihao, LI Yabin

(School of Electrical and Electronic Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

Harmonic analysis of power systems based on fast Fourier transformation (FFT) produces spectrum leakage and fence effect in non-synchronous sampling, which brings errors to harmonic parameter measurement. To solve this problem, a harmonic detection algorithm based on double Hanning windows all-phase FFT three-spectrum-line interpolation is proposed. The principle of the algorithm is that based on the analysis of double Hanning windows all-phase FFT analysis, the frequency correction is calculated by comparing the three adjacent spectral line amplitudes near the fundamental frequency points andthe amplitude of harmonic signal is estimated. And then, based on the invariance of all-phase FFT analysis, the phase of the main spectral line with the largest amplitude at the sampling point is used as the initial phase of the harmonic signal. The simulation experiment shows that compared with other interpolation algorithms, the algorithm can reduce harmonic parameter detection errors more effectively and has strong anti-white noise interference ability.

spectrum leakage; all-phase FFT; correction algorithm; three-spectrum-lineinterpolation

TM935

A

1672-0792(2021)04-0025-05

10.3969/j.ISSN.1672-0792.2021.04.004

2020-11-21

彭詠龍（1966—），男，副教授，研究方向為電力電子在電力系統中的應用；

李 蕊（1995—），女，碩士研究生，研究方向為基于FPGA的電力諧波檢測裝置。