基于低秩矩陣與稀疏約束的運(yùn)動(dòng)模糊圖像盲復(fù)原

魚輪，韓美林

（商洛學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院，陜西商洛 726000）

在數(shù)字成像設(shè)備采集圖像過程中，由于設(shè)備的抖動(dòng)、散焦等因素，獲取的圖像不可避免的會(huì)出現(xiàn)一定程度的模糊[1]。假設(shè)模糊是均勻的，則這一過程可以表示為：y=x?h+n，其中，x和y分別為原始清晰圖像和退化圖像，h為模糊核，?表示卷積運(yùn)算，n為加性噪聲。圖像復(fù)原研究的是如何根據(jù)模糊圖像y恢復(fù)出原始清晰目標(biāo)圖像x，這是一個(gè)具有病態(tài)性質(zhì)的反問題：給定一張模糊圖像，能推測(cè)反演出多組模糊核和不同清晰程度的圖像[2]。要想高質(zhì)量的恢復(fù)出原始清晰圖像，就必須在求解過程中引入關(guān)于圖像或模糊核的先驗(yàn)知識(shí)[3]?，F(xiàn)有的先驗(yàn)知識(shí)主要集中在清晰圖像的先驗(yàn)概率模型上，大致可以分為圖像梯度上的先驗(yàn)信息和圖像塊的先驗(yàn)信息。圖像梯度先驗(yàn)信息指的是清晰圖像的梯度滿足重尾分布的特征，F(xiàn)ergus[4]、Krishnan[5]、Shan[6]、Filip[7]等分別采用高斯混合模型、超拉普拉斯分布、分段函數(shù)、重尾分布來近似圖像的梯度分布，但由于圖像梯度表示的是圖像相鄰像素之間的關(guān)系，能提供的信息有限。圖像塊表示圖像更大的結(jié)構(gòu)上的關(guān)系，因此能表征更多的信息。Irani[8]把不同尺度圖像間存在的結(jié)構(gòu)自相似性作為先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行圖像盲復(fù)原，算法的準(zhǔn)確性和復(fù)原效果有了一定提升。Dong等[9]基于圖像非局部相似性滿足低秩的特點(diǎn)，提出一種空間自適應(yīng)迭代奇異值閾值方法進(jìn)行圖像復(fù)原。本文提出一種基于低秩矩陣與稀疏約束的運(yùn)動(dòng)模糊圖像盲復(fù)原算法。首先，根據(jù)圖像非局部自相似的特性，利用低秩矩陣恢復(fù)相似塊組。其次，構(gòu)造圖像梯度和模糊核的稀疏正則項(xiàng)，將低秩矩陣和稀疏正則化方法結(jié)合，建立圖像復(fù)原模型，通過變量分離策略，交替迭代解決模糊核估計(jì)問題。最后，利用非盲解卷積法完成最終的圖像復(fù)原。

1 圖像復(fù)原模型

通常假設(shè)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是空間移不變的，圖像模糊模型可簡(jiǎn)化為目標(biāo)圖像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積過程：y=x?h+n，本文在此基礎(chǔ)上建立的圖像復(fù)原模型表示為：

式中第一項(xiàng)為保真項(xiàng)，是圖像塊匹配后的低秩部分；第二項(xiàng)和第三項(xiàng)分別代表圖像梯度和模糊核的正則項(xiàng)約束、β、α為正則參數(shù)。圖像先驗(yàn)約束項(xiàng)R(x)采用的是圖像梯度的L0范數(shù)，這樣能更好地表示圖像稀疏特性，有效保留圖像的主要邊緣，抑制細(xì)小邊緣。模糊核約束項(xiàng)采用的是稀疏約束，同時(shí)附加非負(fù)性約束和能量約束，即：

2 算法原理

2.1 模型求解

復(fù)原的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為三個(gè)子問題，低秩矩陣近似的目標(biāo)函數(shù)式為式(4)，最小化圖像目標(biāo)函數(shù)式為式(5)，最小化模糊核的目標(biāo)函數(shù)式為式(6)。

2.1.1 低秩矩陣目標(biāo)函數(shù)式求解

采用文獻(xiàn)[8]中的自適應(yīng)閾值收縮的奇異值分解法求解。根據(jù)文獻(xiàn)[8]，當(dāng)p=1，q=2時(shí)，‖Ai‖1,2可以表示為矩陣S(yi)的奇異值之和，即：

2.1.2 圖像目標(biāo)函數(shù)式求解

采用文獻(xiàn)[9]中提到的半二次變量分裂最小化方法求解L0范數(shù)，引入變量g=Δx，將問題轉(zhuǎn)化為二次凸優(yōu)化，即：

固定其他變量，交替求解x和g。g初始為全零，每次迭代時(shí)，x可由式(11)求解：

利用快速傅里葉變化（FFTs）提高求解速度，即：

其中，F(xiàn)(·)和 F-1(·)分別為傅里葉正、逆變換，為傅里葉變換后共軛，h和v分別代表水平和垂直方向微分。

2.1.3 模糊核目標(biāo)函數(shù)式求解

固定x，更新模糊核h時(shí)，考慮到式(6)灰度條件下的解不夠準(zhǔn)確[10]，轉(zhuǎn)化到梯度空間下。

式(13)同樣采用半二次變量分離和FFTs求解。

2.2 算法整體流程

為了精細(xì)估計(jì)模糊核，本文采用由粗到精的多尺度圖像金字塔策略漸進(jìn)估計(jì)模糊核。圖像分層采樣系數(shù)為，具體步驟如下：

當(dāng)模糊核確定后，再采用文獻(xiàn) [5]中的Hyper-Laplacian先驗(yàn)的正則化法反卷積，獲得最終復(fù)原結(jié)果。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)仿真環(huán)境為CPU Intel R Core(TM)i5-4210 CPU@2.70GHz，RAM4GB的計(jì)算機(jī)，使用Matlab R2015b完成實(shí)驗(yàn)仿真。客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)上，用峰值信噪比（PSNR）、拉普拉斯梯度模（Laplacian Sum，LS）和灰度平均梯度（Gray Mean Grads，GMG）[11]衡量圖像的復(fù)原效果。

用于測(cè)試本文算法的為L(zhǎng)evin的運(yùn)動(dòng)模糊數(shù)據(jù)集[3]，圖 1（a）、圖 1（b）分別為原始圖像和模糊圖像。對(duì)比算法為經(jīng)典文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[7]、文獻(xiàn)[12]，各算法復(fù)原結(jié)果對(duì)比圖，如圖 1（c）、圖 1（d）、圖 1（e）所示。

圖1 各算法復(fù)原結(jié)果對(duì)比圖

由圖1可知，文獻(xiàn)[12]復(fù)原視覺結(jié)果最差，這是因?yàn)槲墨I(xiàn)[12]中使用的Richardson–Lucy算法沒有收斂條件，有可能最優(yōu)解被迭代。文獻(xiàn)[5]復(fù)原結(jié)果雖有所提升，但是復(fù)原圖像中小女孩的臉蛋、小手處和小男孩的手臂處存在振鈴現(xiàn)象。相對(duì)于文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[7]的復(fù)原結(jié)果，本文算法的復(fù)原質(zhì)量有所提升，本文算法能恢復(fù)出較多的細(xì)節(jié)，如本文復(fù)原圖像中，小女孩的衣服展現(xiàn)出了更多的細(xì)節(jié)。

另一方面，從實(shí)驗(yàn)指標(biāo)（見表1）來看，本文算法指標(biāo)均優(yōu)于其他算法，PSNR、GMG、LS越大，表示圖像內(nèi)容越豐富，細(xì)節(jié)更好。

表1 各算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果指標(biāo)統(tǒng)計(jì)

4 結(jié)論

本文針對(duì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像，實(shí)現(xiàn)了基于低秩矩陣與稀疏約束的運(yùn)動(dòng)模糊圖像盲復(fù)原，采用圖像塊的結(jié)構(gòu)信息約束和稀疏約束作為圖像先驗(yàn)信息，通過變量分離和交替迭代的方法求解目標(biāo)函數(shù)方程。仿真實(shí)驗(yàn)表明，與具有代表性的運(yùn)動(dòng)模糊圖像復(fù)原算法對(duì)比，本文的復(fù)原結(jié)果質(zhì)量較高。