利用四個元素助力數學概念教學

何英

【關鍵詞】內隱資源;深度理解;概念教學

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）20-0071-02

數學概念是數學知識中最基本的元素，是導出數學定理和數學法則的邏輯基礎，是數學思想方法的載體，是解決數學問題的重要依據。數學概念的學習過程是培養學生思維能力、發展學生核心素養的關鍵。因此概念教學值得每一位數學老師認真研究。筆者以為，可以借鑒南京師范大學喻平教授對內隱性課程資源的相關分析，來做好高中數學概念教學。

南京師范大學喻平教授認為，課程資源包括外顯性和內隱性兩個層面。外顯性資源是外部顯露的可視資源，內隱性資源則是潛藏于顯性知識深層的隱性知識，具體地說，包括數學知識的背景元素、過程元素、文化元素、邏輯元素等，這些資源的有效利用，對促進學生深度學習數學概念顯得尤為重要。下面筆者以“任意角的三角函數”這一內容為例，談談上述四個元素在概念教學中的運用。

1.背景元素。

將現實背景融入課堂教學中，使其作為學習知識的“先行組織者”，有助于學生利用生活經驗去同化知識、理解知識，同時可以使他們在心理上消除數學的“冰冷性”，感知數學的現實性。“三角函數”可以用來描述現實世界中很多周期運動與變化關系。教師可以創設“摩天輪問題”作為三角函數概念課的主情境，引導學生探究“在勻速轉動的過程中摩天輪上某個點距離地面的高度隨著哪些量的變化而變化，高度與旋轉的角度（弧度制）之間的對應關系存在什么特殊之處”。這樣的引入可以使學生從熟悉的生活情境進入問題研究，拉近了數學和生活的距離，明確了學習的現實意義，提高了學生的學習興趣。而且這個函數模型能形象體現高度與角度的對應關系，周期性表現明顯，為學生理解三角函數的本質是函數、是描述現實世界中周期現象的重要模型作了鋪墊。

2.過程元素。

過程元素在數學概念教學中可以具體表現為引領學生發現概念產生的緣由、概念存在的合理性、概念的應用價值以及概念在數學知識結構中的地位等。

學生在初中學習了銳角的三角函數，但高中將角擴充到了任意角，所以三角函數需要一個更具普適性的定義方式，這是概念產生的緣由。初中用直角三角形三邊長的比值定義了銳角的三角函數，而銳角的三角函數是任意角的三角函數的特殊形式，所以任意角的三角函數應該也可以用比值定義。

在尋找銳角三角函數在直角坐標系中的合理表述的過程中發現，用角的終邊上點的坐標的比值定義任意角的三角函數既能揭示任意角與比值之間的對應關系，又能通過坐標的正負體現不同象限角的三角函數值的區別，還能體現三角函數的周期性。這是概念存在的合理性。單位圓定義法是后繼研究性質的重要工具，這是概念的數學價值和應用價值。教學中可以用問題串的形式引導學生在初中三角函數概念的基礎上自主探究出高中三角函數的概念，讓學生在“悱”和“發”的交替過程中感受知識產生的必要性與合理性，經歷知識的再創造過程，提高數學抽象的能力，形成優化意識，積累數學活動經驗，提高元認知能力。

3.文化元素。

數學文化包括數學知識、數學思想方法、數學精神、數學信念、數學價值觀和數學審美。其中數學知識是外顯性課程資源，其余的均為內隱性課程資源。學生在學習本節內容時，由特殊角（銳角）的三角函數推廣到任意角的三角函數，體會了由特殊到一般的研究方法;得到定義（終邊定義法）后，在研究的過程中發現了有著特殊研究意義的單位圓定義法，又體會了由一般到特殊的研究方法。整個過程中學生能深刻感受到“特殊”與“一般”之間的哲學辯證思想。

知識來源于實踐，“每個數學知識是怎樣產生并一步步演化成今天的形式化結果的”這一問題能引發學生的興趣，教師如能在梳理數學史時將幾個重要節點呈現給學生，可以滿足學生的好奇心、求知欲，也能幫助學生建構知識，完成對知識的再創造和對知識的深度理解。例如，通過介紹三角函數的發展史，教師可以讓學生了解三角函數研究的起源，明確其現實意義和數學意義，了解正弦、余弦名稱的來源，幫助學生理解現在的比值定義法比原來用弦長定義更為科學合理。此外，三角函數定義的完善橫跨千年，其間凝聚了諸多人類才俊的智慧，這很容易引發學生對人類知識進步的緩慢和艱辛、數學家為人類發展而做的堅持不懈的努力的情感共鳴，也讓學生感受到數學是一門不斷演進的學科，而非一個僵化的知識體系。這一過程有利于學生感受數學精神，堅定數學信念，形成正確的數學價值觀。

4.邏輯元素。

數學知識的邏輯元素是指滲透在數學知識中的邏輯關系。邏輯關系隱藏在數學知識關系之間，厘清邏輯關系有助于學生了解概念的來龍去脈，深刻理解概念的本質，形成完整的知識結構。由于初中主要研究的0°～180°的角已經不能滿足現實生活中對角的描述的需要，所以用動態的旋轉方式來定義角。為了體現不同的旋轉程度，將角放入直角坐標系中研究，因此我們在定義任意角的三角函數的時候才會考慮怎樣定義才能既兼容原先初中的定義方式，又能體現不同象限角的三角函數值的區別，從而得到坐標定義法。

為了方便研究三角函數值的變化情況，我們簡化了定義方式，取r =1得到了單位圓定義法。這個定義方式將角與函數值的對應關系進一步顯化，更方便研究三角函數的定義域、值域、單調性、周期性、誘導公式等問題。教材上并沒有呈現這些層層遞進的知識之間的邏輯關系，但在教學過程中教師如果能將教材中隱藏的這些關系抽絲剝繭般地慢慢展現出來，那么知識的呈現會更自然，課堂會更流暢，學生對概念的理解也會更透徹。

在數學概念的教學中，教師只有充分發掘教材的內隱性資源，將教材中的“隱藏層”慢慢打開，才能更有效地幫助學生親歷數學概念的形成過程，從本質上把握概念的內涵和外延，深度理解概念，形成完整的概念和命題網絡，更好地應用知識解決問題，乃至形成終身受用的數學核心素養，這就是發掘課程內隱性資源的價值所在。

（作者單位：江蘇省太湖高級中學）