有關(guān)微分中值定理的一個(gè)推廣

葉 專， 溫志紅， 倪 健

(江蘇師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 徐州221116)

1 引 言

微分中值定理主要由拉格朗日中值定理、羅爾中值定理以及柯西中值定理三部分組成， 是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中重要的研究內(nèi)容之一， 在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.許多學(xué)者對(duì)微分中值定理進(jìn)行了不同方向諸多推廣[1-5]，最近王艷萍老師將拉格朗日中值定理結(jié)論中的“減法”進(jìn)行推廣， 通過加以新的特殊限制條件， 得到了新的中值定理的“加法”表現(xiàn)形式[4]：

若函數(shù)f(x)滿足如下條件： (i) 在[m，M]上連續(xù)，(ii) 在(m，M)內(nèi)可導(dǎo)，(iii)f(0)=0，則必定存在一點(diǎn)ξ∈(m，M)，使得

f(a)+f(b)=f′(ξ)(a+b)，

其中m=min(0，a，b)，M=max(0，a，b)，m

2 主要結(jié)果

受到如上定理的啟發(fā)，能不能對(duì)微分中值定理也加以新的限制條件從而得到新的微分中值定理，本文對(duì)此進(jìn)行了深入研究并由此得到了微分中值定理的高次冪推廣，主要結(jié)論如下：

定理若函數(shù)f(x)滿足如下三個(gè)條件：(i)f(x)在[a，b]上連續(xù)，(ii)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，(iii)f(0)=0，0∈(a，b)，則對(duì)任意的正偶數(shù)k，在(a，b)內(nèi)必定存在一點(diǎn)ξ，使得

fk(a)+fk(b)=f′k(ξ)(ak+bk).

證注意到條件(iii)，易得

根據(jù)經(jīng)典的拉格朗日中值定理可得

f(a)-f(0)=f′(ξ1)a，ξ1∈(a，b)，
f(b)-f(0)=f′(ξ2)a，ξ2∈(a，b).

于是

由定比分點(diǎn)模型和導(dǎo)函數(shù)的介值性可知，在(a，b)內(nèi)必定存在一點(diǎn)ξ，使得

f′k(ξ1)λ+f′k(ξ2)(1-λ)=f′k(ξ)，

從而有

fk(a)+fk(b)=f′k(ξ)(ak+bk).

本定理得證.

下面給一個(gè)例子來驗(yàn)證結(jié)論的正確性.事實(shí)上，比如函數(shù)f(x)=ex-1滿足：在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，并且f(0)=0，0∈(a，b).記

則ξ∈(a，b)，并且有

fk(a)+fk(b)=f′k(ξ)(ak+bk).

不難驗(yàn)證如上等式成立，從而只需要驗(yàn)證ξ∈(a，b).事實(shí)上，由經(jīng)典的拉格朗日中值定理知

于是有ξ=η∈(a，b).

3 應(yīng) 用

本節(jié)給出兩個(gè)有關(guān)上述定理的直接應(yīng)用.

例1證明對(duì)任意的正偶數(shù)k，有

證注意到f(x)=x2滿足：f(x)在[-1，2]上連續(xù)，在(-1，2)內(nèi)可導(dǎo)，并且f(0)=0，0∈(-1，2).故根據(jù)上述定理知在(-1，2)上必定存在一點(diǎn)η使得

fk(-1)+fk(2)=f′k(η)(1+2k)，

即有

1+4k=(2η)k(1+2k).

簡單計(jì)算可得

注意到η∈(-1，2)知結(jié)論成立.

例2對(duì)于μ>0，ν>0以及正偶數(shù)k，求如下極限

解注意到f(x)=esinx+arcsinx-cosx+x滿足：f(x)在[-μτ，ντ]上連續(xù)(其中正數(shù)τ充分小)，在(-μτ，ντ)內(nèi)可導(dǎo)，并且f(0)=0，0∈(-μτ，ντ).故根據(jù)上述定理知在η∈(-μτ，ντ)使得

fk(-μτ)+fk(ντ)=f′k(η)[(-μτ)k+(ντ)k].

(1)

注意到

將其代入到(1)式，注意到k為正偶數(shù)，不難得到

[e-sin(μτ)-arcsin(μτ)-cos(μτ)-μτ]k+[esin(ντ)+arcsin(ντ)-cos(ντ)+ντ]k

對(duì)上式左、右兩端同時(shí)除以τk可得

因?yàn)棣恰?-μτ，ντ)，所以當(dāng)τ→0+時(shí)，有η→0.于是有

=3(νk+μk).

從而有

4 結(jié) 論

微分中值定理不同形式的推廣，在理論分析和實(shí)際應(yīng)用中都具有重要作用.文中對(duì)已有微分中值定理結(jié)論中的“減法”進(jìn)行推廣，通過加以新的特殊限制條件， 得到了高次冪形式的微分中值定理的“加法”表現(xiàn)形式的推廣結(jié)果，并給出了嚴(yán)格的證明和應(yīng)用舉例，從而進(jìn)一步完善和豐富了微分中值定理的相關(guān)內(nèi)容.

致謝作者非常感謝相關(guān)參考文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴修改意見.