基于響應(yīng)面模型與遺傳算法的工具磨床立柱多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)*

謝 軍 廖映華 譚 州 廖 川 斯興瑤

(四川輕化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 宜賓 644000)

立柱是工具磨床的重要部件，立柱上安裝有電主軸部件，電主軸部件與磨頭相連接，從而立柱的靜態(tài)性能對(duì)工件的加工精度有重要的影響，因此立柱必須具備足夠的強(qiáng)度與剛度。文獻(xiàn)[1]以一階固有頻率和變形為優(yōu)化目標(biāo)，采用了響應(yīng)面模型與多目標(biāo)遺傳算法對(duì)機(jī)床立柱進(jìn)行遺傳設(shè)計(jì)，提高了立柱的靜動(dòng)態(tài)性能。文獻(xiàn)[2]首先確定了立柱的各個(gè)尺寸變化范圍，然后通過中心復(fù)合實(shí)驗(yàn)來建立響應(yīng)模型，最后以立柱質(zhì)量、一階固有頻率以及最大變形距離為優(yōu)化目標(biāo)，結(jié)合遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，從而使立柱具備了良好的靜動(dòng)態(tài)性能。文獻(xiàn)[3]首先建立立柱的三維模型，然后對(duì)其進(jìn)行靜動(dòng)態(tài)特性分析。接著確定設(shè)計(jì)變量，并進(jìn)行靈敏度分析。然后以立柱最大質(zhì)量、最大變形以及一階振型為優(yōu)化目標(biāo)，通過ANSYS Workbench優(yōu)化模塊進(jìn)行了優(yōu)化求解。

本研究利用SolidWorks建立了工具磨床立柱的實(shí)體模型，結(jié)合實(shí)際情況對(duì)其添加相應(yīng)的載荷與約束，應(yīng)用ANSYS Workbench對(duì)立柱展開靜態(tài)特性分析。并且利用響應(yīng)面法與遺傳算法對(duì)立柱進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高了靜態(tài)特性以及改善了立柱結(jié)構(gòu)，同時(shí)為工具磨床各部件的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

1 立柱有限元模型的建立

本研究使用SolidWorks建立立柱結(jié)構(gòu)的三維實(shí)體模型，然后將三維模型直接導(dǎo)入ANSYS Workbench中轉(zhuǎn)化為有限元模型。為保證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和提高效率，考慮到一些小特征對(duì)整體模型的靜特性影響較小，根據(jù)圣維南原理，對(duì)三維實(shí)體模型的部分局部特征進(jìn)行了合理的簡化，去掉細(xì)小特征如圓角、螺釘孔等[4-5]。立柱為鑄件，材料選擇為灰鑄鐵HT300,材料屬性如表1所示。楊氏模量為130 GPa,密度為7 300 kg/m3,泊松比為0.25。利用ANSYS Workbench進(jìn)行網(wǎng)格劃分，通過調(diào)試影響網(wǎng)格劃分的主要參數(shù)，得到理想的網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖1所示，網(wǎng)格劃分后得到單元數(shù)為48 213個(gè)，節(jié)點(diǎn)數(shù)為26 352個(gè)。

表1 立柱材料屬性

2 立柱靜態(tài)特性分析

2.1 載荷分析

載荷分析是有限元分析中很重要的一步，載荷分析的準(zhǔn)確性對(duì)后續(xù)有限元分析的結(jié)果有直接影響，對(duì)工具磨床立柱及底座添加正確的邊界條件及載荷，會(huì)讓有限元分析的結(jié)果更接近實(shí)際值。立柱主要承受電主軸部件的重力以及切削力，考慮到重力以及切削力較小，所以忽略彎矩的影響。

(1)立柱切削力

工具磨床主要用于加工刀具，零件材料常為硬質(zhì)合金。在加工零件過程中，切削力作用在磨頭上，通過電主軸部件傳遞到立柱安裝導(dǎo)軌的滑塊安裝處。其示意圖如圖2所示。

采用平行四邊形定則以及根據(jù)立柱的切削力受力情況建立立柱的切削力力學(xué)分析模型圖，其主要是作用到滑塊安裝處，如圖3所示。

根據(jù)切削力計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)公式，切向切削力Ft計(jì)算如式(1)所示：

(1)

式中：Pe為電機(jī)功率2 kW；ηe為電機(jī)效率0.92；nb為電機(jī)轉(zhuǎn)速14 000 r/min；db為砂輪直徑180 mm。

將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(1)可求得切向切削力Ft=13.9 N，而通常法向切削力為切向切削力的1.6～3.2倍，取最大值，然后可得法向切削力Fn=44.48 N。由于法向切削力對(duì)立柱影響最大，所以只考慮法向切削力。由正弦定理可知：

(2)

式中：θ=25.7°，η=144°，δ=10.3°。

(2)電主軸部件的重力

電主軸部件直接安裝立柱上，其重力對(duì)立柱的作用由重心位置傳遞到立柱導(dǎo)軌滑塊安裝處，通過SolidWorks可計(jì)算出電主軸部件的重心位置，立柱承受電主軸部件重力的示意圖如圖4所示。

根據(jù)立柱所受電主軸部件重力情況，建立立柱的電主軸部件重力力學(xué)分析模型圖，主要是作用到滑塊安裝處，如圖5所示。

通過SolidWorks可計(jì)算出電主軸部件的重力：F1=1 179.5 N。

由正弦定理可得：

(3)

式中：α=35.5°，γ=84°，β=60.5°。

對(duì)式(2)和式(3)進(jìn)行求解，并將切削力和電主軸部件各個(gè)方向的分力進(jìn)行矢量疊加，可分別得出最終施加在立柱上的各個(gè)方向的載荷為：Faz=200.35 N、Fay=1 994.1 N、Fbz=881.28 N以及Fby=1 479.3 N。

然后將立柱三維模型導(dǎo)入ANSYS Workbench中，對(duì)立柱與X滑座的接觸面施加全約束，對(duì)立柱的滑塊安裝面施加載荷，在ANSYS Workbench中立柱的受力圖如圖6所示。

2.2 靜力學(xué)分析

將在SolidWorks里建好的立柱三維模型導(dǎo)入ANSYS Workbench靜力分析模塊，然后在ANSYS Workbench中完成添加材料、劃分網(wǎng)格、施加載荷及約束等有限元前處理后，通過求解運(yùn)算器進(jìn)行有限元后處理，得到立柱的等效應(yīng)力、總變形如圖7和圖8所示。

圖7是立柱的等效應(yīng)力云圖，等效應(yīng)力在滑塊安裝面處即承受載荷的地方應(yīng)力較大，等效應(yīng)力最大值為2.271 5 MPa，遠(yuǎn)遠(yuǎn)比灰鑄鐵HT300的許用應(yīng)力要小，滿足結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)要求，存在優(yōu)化的空間。

圖8是經(jīng)有限元后處理得到的立柱總變形圖，立柱底部與X滑座相連接，為固定約束，由總變形云圖可知立柱底端部分變形較小，并且立柱的變形由底端向頂端有逐漸增大的趨勢(shì)。立柱總變形量的最大值為7.375 2 μm。

3 立柱多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 選取設(shè)計(jì)變量

立柱的靜動(dòng)態(tài)特性指標(biāo)，通常有等效應(yīng)力、變形、固有頻率以及振幅等。而往往一個(gè)指標(biāo)并不能代表立柱的靜動(dòng)態(tài)性能，所以需要確定多個(gè)目標(biāo)函數(shù)，對(duì)立柱進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。而多目標(biāo)優(yōu)化問題可描述為[6]：

(4)

對(duì)立柱進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，首先第一步要確定設(shè)計(jì)變量。其中立柱總變形會(huì)影響加工精度，而立柱的等效應(yīng)力是靜態(tài)性能的一個(gè)重要指標(biāo)。以最大總變形量和最大等效應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo)。而立柱的結(jié)構(gòu)尺寸主要有框結(jié)構(gòu)尺寸和局部尺寸，其中框結(jié)構(gòu)尺寸為立柱本身的長、寬、高，局部尺寸即內(nèi)部筋板的寬、厚、高，以及壁厚等。本次立柱優(yōu)化選取壁厚X1、側(cè)面筋板高度X2、筋板厚度X3以及底部筋板高度X4作為設(shè)計(jì)變量，如圖9所示。

立柱各設(shè)計(jì)變量的初始參數(shù)如表2所示。

表2 立柱各設(shè)計(jì)變量初始參數(shù)

3.2 設(shè)計(jì)變量的靈敏度分析

設(shè)計(jì)變量的靈敏度分析，在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中非常重要。靈敏度分析主要是分析參數(shù)對(duì)模型的靈敏程度，即分析對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響[7]。本次研究是通過正交試驗(yàn)以及極差分析來判斷立柱各設(shè)計(jì)變量的靈敏度。在立柱的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)，首先選取合適的正交表，本次立柱的正交試驗(yàn)選擇四因素三水平正交表即L9(34)，如表3所示。對(duì)照正交試驗(yàn)表中的設(shè)計(jì)變量尺寸，在SolidWorks中修改立柱模型，利用ANSYS Workbench中進(jìn)行有限元分析，得到各個(gè)試驗(yàn)號(hào)各自對(duì)應(yīng)的立柱最大總變形量以及最大等效應(yīng)力。

表3 立柱正交試驗(yàn)表

R和D分別為立柱最大總變形量和最大等效應(yīng)力的極差，其反應(yīng)了因素水平波動(dòng)時(shí)試驗(yàn)指標(biāo)的變動(dòng)幅度。其中：

(5)

(6)

根據(jù)表3的極差分析結(jié)果，列出立柱最大總變形量以及最大等效應(yīng)力的靈敏度直方圖如圖10所示。

極差越大，則該設(shè)計(jì)變量對(duì)立柱的最大總變形量以及最大等效應(yīng)力靈敏度越大，從圖10中可看出立柱的各設(shè)計(jì)變量對(duì)立柱最大總變形量的靈敏度順序?yàn)閄1>X2>X3>X4，立柱的各設(shè)計(jì)變量對(duì)立柱最大等效應(yīng)力的靈敏度順序?yàn)閄2>X4>X3>X1。綜合考慮立柱各設(shè)計(jì)變量對(duì)立柱最大總變形量以及最大等效應(yīng)力的靈敏度順序，選取壁厚X1、側(cè)面筋板高度X2作為優(yōu)化參數(shù)。

3.3 基于響應(yīng)面法的模型建立

響應(yīng)面法(RSM)是利用合理有效的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，通過多項(xiàng)式函數(shù)來擬合設(shè)計(jì)變量與響應(yīng)值之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。這種方法方便可靠，其常用于在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中建立數(shù)學(xué)模型。在立柱優(yōu)化設(shè)計(jì)中，主要用到的是二階多項(xiàng)式響應(yīng)面[8-9]，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(7)

根據(jù)靈敏度分析結(jié)果，選取壁厚X1、側(cè)面筋板高度X2進(jìn)行試驗(yàn)，本次采用八邊形等徑設(shè)計(jì)[10]，試驗(yàn)范圍為：18≤X1≤22，48≤X2≤56，如圖11所示。

而立柱多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的變量編碼因子為：

(8)

(9)

根據(jù)八邊形等徑設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果中的9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，在SolidWorks中修改立柱三維模型，導(dǎo)入ANSYS Workbench中進(jìn)行分析。各個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分析結(jié)果如表4所示。

表4 立柱八邊形等徑設(shè)計(jì)結(jié)果表

對(duì)表4中的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，采用二階響應(yīng)面法進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建立。而響應(yīng)面模型的擬合系數(shù)為：

(10)

通過MATLAB編程求解得到立柱最大總變形量的擬合函數(shù)模型為：

(11)

立柱最大等效應(yīng)力的擬合函數(shù)模型為：

(12)

3.4 基于遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果

遺傳算法是通過MATLAB得以實(shí)現(xiàn)，MATLAB自帶的遺傳算法與直接搜索工具箱可以用來進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化，在遺傳算法工具箱中已經(jīng)將常用的遺傳運(yùn)算命令進(jìn)行了集成，使用起來比較方便，因此本次利用遺傳算法工具箱來進(jìn)行優(yōu)化。在進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)，各個(gè)目標(biāo)難以同時(shí)到達(dá)最優(yōu)，且存在權(quán)重系數(shù)，而求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的一個(gè)最簡單的方法是構(gòu)造原多目標(biāo)問題的一個(gè)單值評(píng)價(jià)函數(shù)，將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，本次采用理想點(diǎn)法中的最短距離理想點(diǎn)法來構(gòu)造立柱多目標(biāo)優(yōu)化的評(píng)價(jià)函數(shù)[11]。理想點(diǎn)法的計(jì)算公式如式(13)所示。

(13)

通過遺傳算法求得立柱最大總變形量的最優(yōu)值和最大等效應(yīng)力的最優(yōu)值，然后代入式(13)，求出立柱多目標(biāo)優(yōu)化的評(píng)價(jià)函數(shù)最終表達(dá)式如式(14)所示，其中自變量的取值范圍為-1≤x1≤1,-1≤x2≤1。

(14)

在MATLAB中建立立柱目標(biāo)函數(shù)后，然后在MATLAB命令窗口輸入optimtool，彈出遺傳算法優(yōu)化工具箱GUI界面，在界面中選擇ga函數(shù)作為優(yōu)化函數(shù)，然后添加評(píng)價(jià)函數(shù)M文件的函數(shù)句柄，變量參數(shù)個(gè)數(shù)設(shè)置為2，同時(shí)設(shè)計(jì)變量的上限及下限,最后進(jìn)行迭代計(jì)算，求得了最優(yōu)值，此時(shí)變量編碼因子x1為1，x2為1,而立柱多目標(biāo)優(yōu)化評(píng)價(jià)函數(shù)的尋優(yōu)曲線圖如圖12所示。

將求解得到的變量編碼因子最優(yōu)值代入式(8)和式(9)中求得立柱設(shè)計(jì)壁厚X1為22 mm,側(cè)面筋板高度X2為56 mm。然后在SolidWorks中根據(jù)優(yōu)化的尺寸修改立柱的三維模型，最后導(dǎo)入ANSYS Workbench進(jìn)行有限元分析，得到立柱多目標(biāo)優(yōu)化后的等效應(yīng)力圖和變形圖如圖13和圖14所示。

立柱多目標(biāo)優(yōu)化前后最大總變形量以及最大等效應(yīng)力結(jié)果對(duì)比，以及優(yōu)化前后的差值，如表5所示。

表5 立柱多目標(biāo)優(yōu)化前后結(jié)果對(duì)比

綜上所述，利用遺傳算法對(duì)立柱進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，雖然立柱壁厚由20 mm增加到22 mm,立柱側(cè)面筋板高度由52 mm增加到56 mm，造成立柱重量稍有增加。但通過靜力分析可知，立柱的最大等效應(yīng)力減小5.1%、最大總變形量減小8.6%。而立柱總變形相比其他性能指標(biāo)，對(duì)加工精度的影響更為重要，立柱總變形的減小保證了工作的加工精度，也使立柱的靜態(tài)性能有所提高。

4 結(jié)語

本次研究是在典型工況下，對(duì)某型號(hào)工具磨床的重要部件立柱進(jìn)行靜態(tài)特性分析，得到了立柱靜態(tài)特性云圖，為優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。然后應(yīng)用響應(yīng)面法與遺傳算法對(duì)立柱進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，根據(jù)優(yōu)化前后的分析結(jié)果表明:優(yōu)化后立柱最大總變形量減少了0.632 5 μm，最大等效應(yīng)力減小了0.115 4 MPa，提高了立柱的靜態(tài)特性，從而立柱的加工精度也得到了相應(yīng)提高，并保證了工具磨床的加工穩(wěn)定性。本次研究不但實(shí)現(xiàn)了立柱靜態(tài)特性設(shè)計(jì)的要求，而且讓立柱的內(nèi)部結(jié)構(gòu)變得更加合理，從而達(dá)到了優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的，同時(shí)可為其他類型工具磨床立柱的優(yōu)化分析提供參考。