在一般觀念引領下探索空間幾何圖形的性質(續)
——“立體幾何初步”內容分析與教學思考

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

3.3 空間直線、平面的平行關系

1.空間中直線與直線的平行

平面幾何中已經研究過平行線，立體幾何中繼續研究什么？

首先是將平面幾何中關于平行的結論推廣到空間，得到“基本事實4”.也就是說，平行關系的傳遞性在空間仍然成立.

利用基本事實4，可以將“等角定理”推廣到空間(如圖2)，其證明也是利用平行的傳遞性，通過構造全等三角形而得.

圖2

類比平面幾何中平行線的性質與判定，可以得到空間中直線、平面平行的一些性質和判定，這是后話.

2.直線、平面的平行關系

這里要研究直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理、性質定理，判定定理、性質定理分別給出了直線、平面平行關系的充分條件和必要條件.

(1)直線、平面平行的判定定理

有了定義為什么還要研究判定定理呢？這里我們要區分一下定義的對象.如果定義的對象是一類幾何圖形(例如三角形、圓、棱柱、圓錐、球等等)，那么定義給出的條件一定是充要條件，只有這樣才能做到簡潔、正確，并且可以利用定義精確區分此類對象和他類對象.而定義的對象如果是一種幾何關系，那么定義所給出的條件有時是有“多余”的.例如“全等三角形”的定義要求兩個三角形的所有元素都對應相等，但實際上只要有三組對應元素(其中至少有一組是邊)相等即可；直線與平面平行的定義要求直線與平面沒有公共點，但實際上只要直線與平面內的一條直線平行即可；直線與平面垂直的定義要求直線與平面內的所有直線都垂直；等等.總之，研究判定定理就是要在定義的基礎上去掉“多余條件”而得出充分條件，從而使條件更加具體、更有針對性，在面對問題時能直接匹配條件，不要“拐彎抹角”.

研究判定定理的基本思路是將新問題化歸為已知的，利用熟悉的工具、方法進行研究.對于平行關系的判定，就是利用平行關系的可傳遞性，將直線a∥平面α，轉化為直線a∥直線b，b?α.其實這里仍然利用了共面直線的平行：如圖3，從公理的推論可知，由a，b確定的平面β與α的唯一交線是b，a與b沒有交點就能保證a與α沒有公共點.否則，如果a∩α=A，則A?b.在α內，過A可作直線c∥b，這樣就有a，c都與b平行，且a∩c=A?，這是不可能的.這里引出矛盾的依據是“平行公理”，這個過程充分體現出直觀想象、邏輯推理的作用.

圖3

兩個平面平行的判定定理可以這么來思考：根據“兩條相交直線確定一個平面”，可以猜想“a，b?α，a∩b=A?，a∥β，b∥β”就是α∥β的充分條件.否則，如果α∩β=c，那么由a∥β，b∥β就有c∥a，c∥b，這就意味著過點A可以作兩條直線a，b平行于c.

以上過程，在研究判定定理時，都是沿著基本圖形位置關系的邏輯鏈條不斷地“往回找根子”，“回到公理去”.這個過程充滿著直觀想象、邏輯推理等，也是充滿創造性的，而且是有套路的.新修訂的人教A版在利用這個套路構建發現和提出判定定理的過程上作出了較多的努力.事實上，這個套路也是“單元-課時”設計的主線，抓住它就使課堂教學有了貫穿始終的思想靈魂，核心素養的培養就自然而然.老師們應該學會利用這些“簡單”的問題，培養學生的理性思維.

(2)直線、平面平行的性質定理

性質定理是更加重要的，性質定理的研究是有套路的.

一般的，空間直線、平面位置關系的性質定理要研究的問題是什么呢？

把空間基本圖形位置關系的性質放在一起進行共性分析，可以看到，它們是以直線、平面的某種位置關系(例如a∥α)為大前提，研究a，α與空間中其他直線、平面有什么確定的關系.

具體的，直線與平面平行的性質所研究的問題是：

以直線a∥平面α為條件，研究直線a、平面α與空間中其他直線、平面所形成的確定的關系.簡言之，空間元素與直線a、平面α之間確定的關系(平行、垂直)就是性質.

設b是不在α內的一條直線，按照上述思路可以得到猜想：

如果b∥a(小前提)，那么b∥α；

如果b∥α(小前提)，那么b∥a；

如果b⊥a(小前提)，那么b⊥α；

如果b⊥α(小前提)，那么b⊥a.

設β是不同于α的一個平面，可以得到猜想：

如果β∥a(小前提)，那么β∥α；

如果β∥α(小前提)，那么β∥a；

如果β⊥a(小前提)，那么β⊥α；

如果β⊥α(小前提)，那么β⊥a.

也許有人認為，還沒有到平面與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直，這里的猜想不是有點“亂”嗎？其實，真正的猜想從來都是“亂”的，教材內容的“順”是后來整理出來的.在以“領悟基本思想，積累活動經驗，提高發現和提出問題能力”為追求的教學中，一定有一個從“亂”到“順”的過程的.

我們還可以通過知識之間的聯系得出其他猜想.例如：

與“公理”相聯系，直線a與平面α內任意一點A確定一個平面β，α∩β=b，那么b∥a；

因為a∥α，所以a∩α=Φ，如果m在α內，則或者m∥l，或者m與l是異面直線；

l∥α，β∩γ=l，α∩β=l1，α∩γ=l2，那么l1∥l2；等等.

對內容的如此理解，可以讓學生明白“性質定理是如何發現的”.實際上，“以直線a∥平面α為前提，研究空間基本圖形與a，α之間的相互關系”就是“一般觀念”，在它的引導下，可以創設適當的問題系列，啟發和幫助學生進行自主探究與發現.

有了探索直線與平面平行性質的經驗，學生就可以通過類比，自主探索平面與平面平行的性質.因為兩者的可類比性較強，所以教學中應該放手讓學生自己去探索.

為此，人教A版構建了如下情境與問題，引導學生開展系列化探究活動([2],p.141)：

首先指出，“研究平面與平面平行的性質，也就是以平面與平面平行為條件，探究可以推出哪些結論.根據已有的研究經驗，我們先探究一個平面內的直線與另一個平面內的直線具有什么位置關系.”

然后借助長方體，引導學生分析位于兩個相對面內的直線之間的關系，得出“或者平行，或者異面”的結論，再進一步提出“分別在兩個平行平面內的兩條直線什么時候平行呢？”從而明確研究任務.

接著采用分析法，得出“兩個平行平面同時與第三個平面相交，所得的兩條直線平行”，并給出證明.

最后提出問題：“如果直線不在兩個平行平面內，或者第三個平面不與這兩個平面相交，以兩個平面平行為條件，你還能得出哪些結論？”

實際上，最后這個問題就是類比直線與平面平行的性質提出來的，具有廣闊的探索空間，實質是以兩個平面平行為前提，探索這兩個平面與空間其他直線、平面的位置關系.例如，以平面α∥β為大前提，a是空間的一條直線，且a?α，a?β，我們有：

如果a與α相交，那么也與β相交，且a與α，β的交角相等；特別的，若a⊥α，則a⊥β.

如果a∥α，那么a∥β.

同樣的，設γ是一個平面，我們有：

如果γ與α相交，那么γ也與β相交，且所成的二面角相等；特別的，若γ⊥α，則γ⊥β.

如果γ∥α，那么γ∥β.

以上猜想很容易獲得，以長方體為模型進行觀察就更加容易.讓學生自主探索、猜想結論并給出證明，這樣不僅可以激發學生的學習熱情，形成完整的直線與平面平行、平面與平面平行的知識結構，而且還可以使學生從中體會“如何有邏輯地思考”、“如何探究”、“如何發現”等等，這比盲目地讓學生大量做題效果會好很多.

3.4 直線、平面的垂直關系

整體而言，直線、平面的垂直關系與平行關系在研究的內容、路徑以及思想方法等方面都是差不多的，而且空間的平行與垂直是可以相互轉化的，不過在一些具體問題的處理上也有其自身特定.

1.關于直線、平面垂直關系的定義

這里我們要提出的問題是：直線與直線、直線與平面、平面與平面相互垂直的定義有什么異同？

(1)直線與直線垂直的定義

對于兩條相交線，平面幾何中是先定義它們所成的角，然后以所成角為90°時定義它們相互垂直.對于兩條異面直線所成角，我們通過平移，將異面轉化為共面，再以相交線所成角定義異面直線所成角.這樣定義具有完備性、純粹性，因為我們是在空間任選一點O，過O分別作兩條異面直線的平行線，所得角的大小不變性由等角定理來保證.

總之，對于兩條直線的位置關系，我們先定義“所成角”，再定義“垂直”.有了異面直線所成角，再加上異面直線的距離(這個問題將在空間向量與立體幾何中討論)，那么空間中兩條異面直線的位置關系就完全確定了.

(2)直線與平面垂直的定義

研究直線與平面相交，原始問題是如何定義直線與平面所成的角，基本思路是轉化為直線與平面內的直線所成角.這時遇到的問題是到底選平面內的哪條直線才能滿足純粹性和完備性呢？教學時可以把這個問題提出來(甚至可以先提出“你認為該如何定義直線與平面所成角？”待學生說出“轉化為直線與平面內的直線所成角”以后，再提出這個問題讓學生思考).

我們可以利用信息技術引導學生思考：如圖4，平面α與其斜線a交于點O，直線a上的點A在平面內的射影是A′，則OA′是a在α內的射影.過O在α內任作直線b，讓b在α內繞O轉動，并測量b與a所成角的大小.可以發現，a與OA′所成的角是唯一存在的最小角.所以，利用直線a與其在平面α內的射影OA′所成的角定義a與α所成角具有完備性和純粹性.因為作一條直線在一個平面內的射影要借助平面的垂線，所以需要先定義直線與平面垂直.

圖4

所以，與定義兩條直線的位置關系的方法不同，直線與平面的位置關系是先定義直線與平面垂直，再定義直線與平面所成的角.正因為如此，直線與平面垂直的概念要比直線與直線垂直難學.

(3)平面與平面垂直的定義

最后分析兩個平面所成二面角的定義.定義二面角的大小需要考慮哪些問題？像其他度量問題一樣，①要考慮存在性和唯一性；②把二面角的問題轉化為平面角的問題；③還要界定好在什么范圍取值.

可以想象，二面角的棱、兩個半平面，就像平面角的頂點和兩邊；過棱上一點在兩個半平面內作棱的垂線，用等角定理容易證明，所得平面角的大小與點的位置無關，所以這樣定義的二面角具有純粹性、完備性.在此基礎上進一步定義兩個平面相互垂直，即當兩個相交平面所成的二面角是直二面角時，它們互相垂直.

總之，關于各種角的定義方式，其數學思想是一致的，都是要保證完備性和純粹性.不過，直線與直線所成角、平面與平面所成角是同類元素所成角，直線與平面所成角是兩類不同元素所成角，所以它們的定義路徑是不同的.因為學生從相交線的學習開始，已經歷多次定義直線、平面所成角的過程，所以教學時應注意為學生創造自主學習的機會，讓他們嘗試自己給出定義，從中領悟數學的思維方式.

2.直線、平面垂直關系的判定

這里可以提出的問題仍然是：“判定”要研究的問題是什么？發現判定定理的思想方法是什么？要讓學生思考并明確：研究的問題是直線、平面垂直關系的充分條件，所采用的思想方法是從定義出發探究垂直關系所需要的“最少條件”，這對發展學生的理性思維、提升邏輯推理和直觀想象素養都是非常有好處的.

(1)直線與平面垂直的判定

直線與平面的關系是維數不同的兩類基本圖形的關系，是聯系維數相同的兩類基本圖形的橋梁，所以是非常重要的.

首先我們分析直線與平面垂直的問題.回顧直線與平面垂直的判定定理的探索過程，可以發現，其關鍵有如下幾點：

第一，將直線a與平面α垂直轉化為直線a與平面α內的直線垂直；

第二，利用空間直線與直線垂直的定義；

第三，利用平面的基本性質及其推論(確定一個平面的條件)；

第四，現實生活中，利用這個判定定理解決問題的例子很多，這些例子可以幫助學生形成確認定理正確性的直觀基礎.

分析直線與平面垂直的判定定理，可以看到，定理中充分條件涉及的“平面內的兩條相交直線”實際上就是確定一個平面的充分條件.另外，兩條平行線也是確定一個平面的充分條件，為什么不能把判定定理中的“相交”改為“平行”？

從向量的觀點看，不共線的兩個向量成為平面的一個基底.設直線a的方向向量為a，又設直線b，c是平面α內的兩條相交直線，它們的方向向量分別為e1，e2，且a⊥b，a⊥c，則e1，e2不共線且a·e1=a·e2=0.對于平面α內的任意一條直線l，設其方向向量為e，根據向量基本定理，存在唯一一對實數k1，k2，使e=k1e1+k2e2.于是a·e=a·(k1e1+k2e2)=k1(a·e1) +k2(a·e2)=0，即a⊥l.如果b∥c，那么e1∥e2，兩個平行向量不能成為基底，也就推不出a⊥l.

因為位置關系歸根到底是“方向的關系”，所以用向量的觀點看基本圖形的位置關系是最清楚的.平行線的方向是一致的，所以平行關系具有傳遞性，所以與方向相關的問題中，平行線與一條直線等效.

(2)兩個平面互相垂直的判定

我們要問的仍然是：探索平面與平面垂直判定定理的指導思想是什么？

結合已有的經驗可以發現，這里有三個要點：

①兩個平面相互垂直的定義；

②將平面與平面垂直轉化為直線與平面垂直；

③用向量的眼光看，因為一個點和一個方向(法向量)可以確定唯一一個平面，兩個平面相互垂直等價于兩個平面的法向量相互垂直.

在這里展開具體探究時，除了加強直觀感知外，還可以引導學生“從定義出發研究判定”.例如，如圖5，設α∩β=a，根據二面角的平面角定義，在a上取一點O，過O在α，β內分別作直線b，c⊥a，則b，c所成的角就是α，β所成二面角的平面角.這時，如果b⊥c，則b⊥β(直線與平面垂直的判定)，并且有α⊥β(兩個平面垂直的定義)；同時，如果b⊥β，則b⊥c，于是α⊥β.也就是說，如果α過β的一條垂線b，那么α⊥β.

圖5

3.直線、平面垂直關系的性質

(1)直線與平面垂直的性質

對于直線與平面垂直的性質，可以類比直線與平面平行的性質來提出問題和發現性質.這里要研究的問題是：

以a⊥α為大前提，研究a，α與空間中的直線、平面具有怎樣的確定關系，并且是以空間中的平行、垂直關系為主題.例如

對于α外的直線b：①當b∥a時，是否有b⊥α？②當b∥α時，是否有b⊥a；③當b⊥a時，是否有b∥α？④當b⊥α時，是否有b∥a？

可以證明，上述命題都是成立的.其中④就是教材中給出的性質“同時垂直于一個平面的兩條直線互相平行”.

對于平面β：①當β∥a時，是否有β⊥α？②當β∥α時，是否有β⊥a；③當β⊥a時，是否有β∥α？④當β⊥α時，是否有β∥a？

……

通過這樣的系統思考和探索，學生可以非常深切地感受到空間中的平行和垂直關系之間的內在聯系，它們可以相互轉化.實際上，這些關系正是歐氏空間的平直性和對稱性的內在聯系的體現.

(2)平面與平面垂直的性質

一脈相承地，平面與平面垂直的性質所研究的問題是：

以α⊥β為大前提，研究α，β與空間中的直線、平面具有怎樣的確定關系.例如

對于直線a：①當a∥α時，是否有a⊥β？②當a⊥α時，是否有a∥β？

對于平面γ：①當γ∥α時，是否有γ⊥β？②當γ⊥α時，是否有γ∥β？

……

在探索兩個平面垂直的性質時，因為這兩個平面的交線是兩個平面的公共直線，具有特殊的地位，所以要關注交線這個橋梁，可以從兩個平面內的直線與交線的位置關系入手展開探索.如圖6所示，可以得到：

平面α⊥β，a為它們的交線，那么平面α內的直線b與β有兩種關系——相交或平行.b與a所成的角就是b與β所成的角(圖6(1))；b⊥a時，b⊥β(圖6(2)).

圖6

如果平面α⊥β，a為它們的交線，平面α內的任意一點A在平面β內的射影B都在a上.這時，直線AB在平面α內，且AB⊥β.

以上實際上是以兩個平面互相垂直為前提，以它們的交線為橋梁，討論其中一個平面內的幾何元素(直線、點)與另一個平面的位置關系.在此基礎上，人教A版提出：“對于兩個平面互相垂直的性質，我們探究了一個平面內的直線與另一個平面的特殊位置關系.如果直線不在兩個平面內，或者把直線換成平面，你又能得到哪些結論？”([2]，p.160)在這個問題的引導下，學生可以展開廣泛的探究，得出許多猜想，而且通過這個問題的探究，可以把直線、平面位置關系的許多性質進行再組織，使之形成一個具有邏輯性的、內在關聯很強的“直線、平面位置關系的性質體系”.

3.5 小結

回顧對空間中點、直線、平面位置關系的研究過程，我們發現，無論是平行關系還是垂直關系，其研究的內容、思路和方法都有極大的相似性.其中，一般觀念“幾何元素之間的確定關系就是性質”在探索性質的過程中具有“指路人”作用.正所謂“研究對象在變，‘研究套路’不變，思想方法不變”，這樣的研究思路、方法等就體現了基本思想、基本活動經驗的力量.所以，如果我們能在直線、平面位置關系的教學中讓學生明白知識中蘊含的這些思想、方法，那么就會使學習變得比較容易，學生對立體幾何建立起的整體架構也就非常清楚了.

4 教學建議

1.加強與平面幾何的類比與聯系，按研究一個幾何對象的基本套路展開有序研究

平面幾何不僅為立體幾何的研究做好了知識的鋪墊，也做好了思想與方法的準備.所以，立體幾何的教學應該讓學生類比平面圖形的研究，建立空間基本圖形的研究框架，發現值得研究的問題，找到研究的方法；類比相交線與平行線的研究，得到基本圖形位置關系的研究內容、過程與方法；等等.

2.在一般觀念指導下展開研究

為了在課堂中有效落實數學學科核心素養，必須提高教學的品味，其中一個關鍵舉措就是要加強一般觀念的指導，因為這些一般觀念可以給人以發現的眼光、洞察本質的智慧、用數學分析和解決問題的思想方法.這里我們可以列舉一些與一般觀念相關的問題：

(1)“認識空間幾何體”的基本任務是什么？

基本任務是：從基本立體圖形到組合體，主要是對基本立體圖形進行分類.

(2)分類的方法是什么？如何確定分類的標準？

分類方法：屬+種差，“種差”就是分類標準，從組成元素的形狀、相互關系中來確定.

(3)什么叫“基本立體圖形的結構特征”？

結構特征是圖形的最本質特征，也是最基本的性質，從組成元素的形狀及其相互關系來反映.

(4)如何抽象一類幾何圖形的結構特征？定義一類幾何圖形要完成哪幾件事情？

定義一類幾何圖形要完成的事情是“定義——表示——分類”.要按照認識事物的一般規律，通過對具體實例的組成元素及其相互關系的觀察、分析，歸納出共性，再概括到一般去而形成一類幾何圖形的定義，在此基礎上給出“三種語言”進行表示.最后以“特殊的組成元素”、“特殊的位置關系”入手對這類幾何圖形進行更細致的分類.

(5)如何定義基本圖形的位置關系？定義一種位置關系要完成哪幾件事情？

(6)對于直線、平面的平行或垂直，判定定理所研究的問題是什么？性質定理所研究的問題又是什么？等等.

這些“觀念”層面的東西，不僅對獲得數學知識的實質性理解、落實“四基”、“四能”很重要，對轉變教的方式、學的方式也很重要，而且也是發展學生數學學科核心素養的沃土.課堂中注意以此為指導，可以提高教學的深刻性，把引導學生自主探究與發現、提高學習的主動性和積極性、激發學生的學習興趣等都落實到位.

推進高中育人方式的改革，關鍵是要加強綜合實踐活動.日常教學中，就是要以學習內容為載體，體現好啟發性、探究性、實踐性，給學生以自主創新實踐的機會，這就需要教師通過有數學含金量的問題，幫助學生實現“從知其然到知其所以然，再到何由以知其所以然”的跨越.其中，一般觀念的思維引領作用是非常重要的.

3.關于基本立體圖形的教學

首先，本單元的教學任務是對基本立體圖形進行分類、用斜二測法作圖和有關表面積、體積的公式，這里不要求在定義的基礎上研究性質，相關的內容作為例題、習題，或者在后面利用空間向量進行研究.

這里要重視“如何描述幾何體結構特征”的教學，使學生學會用數學的眼光觀察世界.因為對任何幾何體結構特征的研究套路都是一樣的，所以可以先以棱柱為載體，把研究的整體架構、抽象的過程和方法、定義的方法等搞清楚，形成系統而有邏輯的認識，然后其他幾何體的結構特征可以放手讓學生自學.

還有一點需要再次強調：一定要重視畫圖，通過畫圖培養學生的空間觀念，發展學生的直觀想象素養.

基本立體圖形的表面積、體積的計算公式建立在掌握它們的結構特征的基礎上，教學時應該讓學生明確這一點.

4.關于空間基本圖形的教學

高中數學課程中，像本單元這樣明確體現公理化思想的內容并不多，所以這里要利用好這個素材進行公理化思想教學.具體展開教學時，要注意如下幾點：

(1)四個基本事實、三個推論和等角定理處于立體幾何的最基礎位置，數學味道很濃，可以使學生體驗數學地刻畫一個基本對象的方式，但也是非常難的地方，所以要在“如何定義”上加強講解和引導，努力使他們體會“利用圖形組成元素的相互關系刻畫圖形的特征”的手法.為了加強理解，可以聯系向量基本定理等進行解釋.

(2)直線與平面的平行、垂直的教學，要注意整體架構，包括“直線與直線——直線與平面——平面與平面”的路徑，以及每一種位置關系的研究套路.判定定理、性質定理的教學中，要讓學生明白：要研究的問題是什么？研究思路是什么？定理所蘊含的數學思想和方法是什么？要關注三類位置關系之間的關聯、空間中平行與垂直關系的相互轉化，以及直線與平面位置關系的紐帶作用.

這里應采用“單元整體教學”的思路.在學習“平面的基本性質”和“點、直線、平面的位置關系”后，以直線與平面平行的定義、判定和性質為載體，幫助學生建立研究直線、平面位置關系的“整體架構”，并體會研究過程中的“一般觀念”.在此基礎上，將平面與平面平行、直線與平面垂直及平面與平面垂直作為三個子單元，讓學生展開自主探究性學習，把“研究對象在變，研究套路不變，思想方法不變”體現出來.

(3)要強調作圖的重要性.立體幾何教學要培養學生根據題意先想象、再作圖，在作圖的基礎上再論證的習慣.想象的過程中，要讓圖形“動起來”，這個過程是發展直觀想象的契機.在平面上作立體圖形，讓學生動手作圖可以增強直觀想象的效果，可以培養幾何直觀能力.在作圖和直觀想象的過程中，可以使圖形組成元素之間的相互關系清晰化，為推理論證提供思路.

5.強調長方體、正四面體、正方體等典型圖形的模型作用

典型圖形具有模型的作用，在解決立體幾何問題時可以成為分析幾何元素相互關系的直觀載體.其中，長方體是理解直線、平面的位置關系的最簡單、好用的載體，長方體的棱、各種對角線、表面、截面等把空間基本圖形的所有位置關系都包含在內了.借助長方體，可以幫助學生直觀理解判定定理、性質定理.在許多問題中，將相應的條件放到長方體的背景中(長方體作為襯托)，可以增強直觀性，有利于發現問題中相關元素之間關系，從而找到解決問題的思路；等等.

6.加強與信息技術的融合

立體幾何教學必須使用信息技術.例如，利用信息技術工具畫出長方體，通過動態演示，觀察其結構特征，觀察其中的點、直線、平面的位置關系；在長方體的棱上取某些特殊點，連接出一些直線段、截面，探索它們與長方體的棱、面之間的關系；通過動態演示，進行多角度觀察，發現一些隱藏的直線、平面的位置關系；等等.總之，信息技術在立體幾何的研究中具有重要作用，非常有利于培養學生的直觀想象素養.(續完)