數學問題解答

2021年2月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2586如圖，⊙I是△ABC的內切圓,D,E,F分別是與邊BC,CA,AB相切的切點，射線DI和EF相交于K.證明：AK平分BC.

(安徽省旌德中學 趙忠華 242600)

證明如下圖，設AK與BC交于M點，

連接IE,IF,

則I,F,B,D和I,E,C,D分別四點共圓，

所以∠ABC=∠FIK,∠ACB=∠EIK,

在等腰△IEF和△AEF中，

故BM=MC.

2587設a，b，c，d>0，證明：

(河南省方城縣教研室 邵明憲 473200)

證明由a，b，c，d>0及均值不等式，

a3+b3+c3+3d3

=a3+d3+b3+d3+c3+d3

同理

故

2588如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,BD平分∠ABC,且BD∶AC=2∶3，求證：∠ABC=60°.

(安徽省舒城縣杭埠鎮中心學校 丁遵標 231323)

證明設∠DBC=θ,BD=2a,

由BD:AC=2:3，知AC=3a.

在Rt△DBC中，∠C=90°,

所以CD=2asinθ,BC=2acosθ，

所以AD=(3-2sinθ)a.

過點D作DE⊥AB于點E，

因為∠C=90°，所以AC⊥BC；

因為∠ABD=∠CBD，

所以DE=CD=2asinθ.

在Rt△ABC中，

因為∠A=∠A， ∠DEA=∠C=90°，

整理得sin2θ(9+4cos2θ)=cos2θ(3-2sinθ)2,

進一步化簡得4sin3θ-6sin2θ-4sinθ+3=0,

所以

(4sin3θ-2sin2θ)-(4sin2θ+4sinθ-3)=0,

2sin2θ(2sinθ-1)-(2sinθ-1)(2sinθ+3)=0,

(2sinθ-1)(2sin2θ-2sinθ-3)=0;

因為0°<θ<90°，所以0

所以2sin2θ-2sinθ-3<0，

則有2sinθ-1=0，即θ=30°，

所以∠ABC=2θ=60°.

2589試證明ex+4x4lnx≥x5+x4.

(安徽省六安第二中學 陶興紅 237005 )

證明要證ex+4x4lnx≥x5+x4.

即證ex-4lnx≥x-4lnx+1.

設t=x-4lnx,即要證et≥t+1,

則要證et-t-1≥0.

設f(t)=et-t-1,則f′(t)=et-1,

所以當t<0時，f′(t)<0,f(t)單調遞減，

當t>0時，f′(t)>0,f(t)單調遞增，

而f′(0)=0,

所以fmin(t)=f(0)=0,所以et-t-1≥0.

綜上可得，ex+4x4lnx≥x5+x4,

當且僅當x=4lnx時不等式取等號.

(安徽省南陵縣城東實驗學校 鄒守文 241300)

證明分別用a,b,c表示△ABC中頂點A、B、C所對的邊長.記D是BC和∠A的平分線的交點，p=BD,q=CD.由三角形角平分線定理得bp=cq，結合p+q=a得

(1)

由cos∠ADB+cos∠ADC=0,根據余弦定理得

其中x=AD，結合(1)式得

(2)

記由點D向AB、AC所引垂線的垂足分別為E、F，則A、E、D、F四點共圓，∠DEF=∠DAF.

根據正弦定理得

記△ABC的面積為S，則由(2)式得

類似地

所以

同理

上述三式相加得

2021年3月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2591(費—哈不等式的隔離): 若a,b,c,Δ分別為△ABC的三邊長及面積,則有

(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

2592如圖，D為△ABC中AB邊的中點，ω1和ω2分別為△ACD和△BCD的外接圓，ω1在點A處的切線交ω2于點E和F，ω2在點B處的切線交ω1于點G和H，證明：

AC·EF=BC·GH.

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

(江蘇省常熟市中學 查正開 215500)

2594已知⊙W1是△ABC的外接圓(如圖)，AB>AC，∠BAC的平分線AT，在AT上取一點P(△ABC的內部)，點P在BC、CA、AB上的射影

分別為D、E、F，點M為弧BAC的中點，過D、E、F三點的⊙W2交BC于點D、K，KS⊥EF于點S，射線AS交⊙W1于點N．求證：N、K、M三點共線．

(江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

2595已知正數a，b，c滿足a+b+c=ab+bc+ca，求證：

(a2+a+1)(b2+b+1)(c2+c+1)≥3(a+b+c)2.

(河南省南陽師范學院軟件學院 李居之 孫文雪 473061)