看形找數 以數解形
——談平面解析幾何試題解題策略

許秀亮

(福州二中 350001)

平面解析幾何研究的對象是平面幾何圖形的幾何性質——位置與數量關系，其研究方法是坐標法，即通過坐標系，把點和坐標、曲線和方程聯系起來，實現了形和數的統一，體現了數形結合的重要數學思想、函數與方程的思想.

在解決解析幾何問題時,學生的痛點有：在“看形找數”過程中，如何合理作圖，如何根據問題有效識圖，解決問題該如何設元,需要找幾個方程，如何建立方程;在“以數解形”過程中，如何根據問題，分析運算條件、探究運算方向、設計運算途徑、確定運算程序，以及在實施運算過程中遇到挫折時如何調整運算.本文以近兩年高考全國Ⅰ卷試題為例子，根據求解問題所涉及的未知數個數與方程個數及相應圖形的位置與數量關系，從靜態視角與動態視角兩個角度談談解題過程中的一些解題策略，以幫助學生解決上述問題.

1 靜態視角下問題

案例一(2020年新課標全國Ⅰ卷理科第15題)

分析明確求解“離心率”的解題思路——建立雙曲線方程中系數a,b及半焦距c的一個方程或兩個方程.

圖一

思路1分析題意可設點B(x0,y0)，此時本題涉及的未知數有x0,y0及a,b,c，目標是消去未知數x0,y0，建立a,b,c的一個或兩個方程；消去未知數x0,y0需要兩個方程，所以至少需要找到x0,y0，a,b,c的三個方程；那么，如何找這三個方程呢？明確從幾何圖形已知的位置與數量關系中尋找，在此基礎上，引導學生關注幾何圖形的位置與數量關系(1)點B在C上；(2)BF垂直于x軸；(3)直線AB的斜率為3.

解法1設點B(x0,y0)(y0>0)，

由BF垂直于x軸可得方程x0=c；(2)

然后代入方程(3)得到a,b,c的方程

從而得e=2.

在把點B的橫縱坐標x0,y0用a,b,c表示的過程中，從方程(1)(2)(3)中任選兩個方程都可以，解法1選擇(1)(2)的原因主要是考慮計算量問題.在這過程中，滲透了化歸思想.

思路2設C的左焦點為F1，|BF1|=m,|BF|=n，此時本題涉及的未知數有m,n及a,b,c，目標是消去未知數m,n，建立a,b,c的一個或兩個方程；消去未知數m,n需要兩個方程，所以至少需要找到m,n，a,b,c的三個方程；依然引導學生關注幾何圖形已知的位置與數量關系(1)點B在C上；(2)BF垂直于x軸；(3)直線AB的斜率為3.

解法2設C的左焦點為F1，|BF1|=m,|BF|=n，由已知可得點B在C的右支上，

可得方程m-n=2a;(1)

由BF垂直于x軸,

可得方程m2-n2=4c2;(2)

由直線AB的斜率為3,

由(1)(3)可得m=3c-a,n=3c-3a，

代入(2)得c2-3ac+2a2=0，

所以e2-3e+2=0，得e=2或e=1，

因為e>1，所以e=2.

點評在解題時，針對“點B在C上”這一已知位置關系，可以選擇不同的表征(設元)，對于相同的幾何圖形的位置和數量關系，會有不同的代數表征——方程，但兩種思路在解題策略上的共同點——明確解題的關注點“未知數的個數與方程個數”，抓住解題的關鍵點“幾何問題代數化”,即先關注要解決問題需要幾個未知數與幾個方程，在此基礎上，抓住條件中幾何圖形的位置與數量關系，看“形”找到“數”，真正達到了數形結合思想.不同在平時教學中，為了讓學生真正理解這種思路，一般以微專題形式給出一組試題，學生體驗用相同的解題策略解決這組試題.

案例二(2020年新課標全國Ⅰ卷文科第11題)

圖二

由雙曲線方程可得|F1F2|=2c=4，

解法2由雙曲線的對稱性設|PF1|=m,|PF2|=n(m>n)，

由點P在C上得方程m-n=2a=2;(1)

由|OP|=|OF1|=|OF2|=2得F1P⊥F2P，

從而得方程m2+n2=4c2=16;(2)

由方程(1)(2)可得mn=6，

所以△PF1F2的面積為

所以選B.

解題策略依然是先關注所求解面積問題需涉及“兩個未知數”，再從點P在C上，|OP|=2兩個位置與數量關系中找到對應的“兩個方程”解決問題.同樣，對“P在C上”位置關系，有不同的設元，由“|OP|=2”的數量關系也就產生了兩種不同的方程形式，但在同一解題策略下，殊途同歸.

2 動態視角下問題

案例三(2019年新課標全國Ⅰ卷文科第21題)

已知點A,B關于坐標原點O對稱，|AB|=4，圓M過點A,B且與直線x+2=0相切.

(Ⅰ)若A在直線x+y=0上，求圓M的半徑；

(Ⅱ)是否存在定點P，使得當A運動時，|MA|-|MP|為定值？并說明理由.

問題(Ⅰ)是靜態視角下的求值問題——求圓的半徑.

分析幾何圖形位置與數量關系、未知數與方程.

圖三

由A在直線x+y=0上，

設點A(a,-a),B(-a,a),M(x0,y0)，

因為圓M過點A,

因為|MA|=|MB|,|OA|=|OB|,

因為圓M與直線x+2=0相切,

把(1)(2)代入(3)得x0=y0=0或x0=y0=4(三個未知數，三個方程)，

所以可以確定圓M的半徑為r=2或r=6.

問題(Ⅱ)是動態視角下定值問題.

分析幾何圖形位置與數量關系、未知數與方程.

設點A(m,n),B(-m,-n),M(x,y) (涉及四個未知數),

因為|MA|=|MB|,|OA|=|OB|,

因為圓M與直線x+2=0相切且圓M過點A，

由方程(1)(2)(3)，整體消去未知數m,n得到未知數x,y的一個關系式為y2=4x，從而得到點M的軌跡方程為y2=4x，由此得到點M的軌跡是以點F(1,0)為焦點，以直線x=-1為準線的拋物線，所以，當點P取到點F，即點P的坐標為P(1,0)時，根據拋物線的定義可得|MP|等于點M到直線x=-1的距離，而|MA|等于點M到直線x=-2的距離，所以|MA|-|MP|=(x+2)-(x+1)=1.

點評本題的主要變元是“點M”，首先要探究它的運動規律，因此，在設出四個未知數m,n,x,y，列出三個方程后，選定的目標是由方程(1)(2)(3)消去未知數m,n得到點M的軌跡方程為y2=4x，這個過程中，消元難度比案例一、案例二大，要求學生要根據運算的目標，合理設計消元程序，要有整體消元的數學運算思維，在此基礎上完成了“以數解形”，即從方程消去未知數得到點M的軌跡方程，進而確定點M的運動軌跡，再從點M的軌跡的幾何性質，確定所求定點P的位置，得到|MA|-|MP|=1這個定值.

問題(1)與問題(2)都是先“設元”，再根據幾何圖形的位置與數量關系找到相應的方程；問題(1)是靜態視角下問題，方程的個數與未知數的個數是相同的，問題(2)是動態視角下問題，方程個數比未知數個數少了一個；這種解題策略方法也適合于圓錐曲線中的軌跡問題、最值或取值范圍問題、定點定值問題等.

案例四(2020年新課標全國Ⅰ卷理科第20題(文科第21題))

圖四

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)證明：直線CD過定點.

分析1由題意可知，直線CD的位置隨著點P位置的變化而變化.

設點P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-3,0),B(3,0)，

因為PA與E的另一個交點為C，

因為PB與E的另一個交點為D，

五個未知數t,x1,y1,x2,y2，四個方程；消去x1,y1,x2,y2，用t表示x1,y1,x2,y2，所以直線CD的位置隨著t的變化而變化.

思路1設點P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-3,0),B(3,0)，

因為PA與E的另一個交點為C，

(t2+9)x2+(6t2)x+(9t2-81)=0，

Δ=36t4-4(t2+9)(9t2-81)=36×81>0,

因為PB與E的另一個交點為D，

(t2+1)x2-(6t2)x+(9t2-9)=0,

因為Δ=36t4-4(t2+1)(9t2-9)=36>0，

所以直線CD的斜率為

所以直線CD的方程為

思路1在求直線CD的斜率與化簡直線CD方程時，要求學生必須具備一定的數學運算能力.

分析2設點P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-3,0),B(3,0)，

當t≠0時，設直線CD的方程為x=my+n(-3

因為PA與E的另一個交點為C，

因為PB與E的另一個交點為D，

七個未知數t,x1,y1,x2,y2,m,n，六個方程；利用五個方程消去t,x1,y1,x2,y2，得到m,n的一個方程；從而求得直線CD恒過的定點坐標.

思路2設點P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-3,0),B(3,0)，

當t≠0時，設直線CD的方程為x=my+n(-3

因為點C在直線PA上，點D在直線PB上，

消去t得3y1(x2-3)=y2(x1+3)，

因為點D在橢圓E上，

代入變形得到27y1y2=-(x1+3)(x2+3)，

整理可得

27y1y2+x1x2+3(x1+x2)+9=0(*)；

得(m2+9)y2+(2mn)y+(n2-9)=0，

Δ=4m2n2-4(m2+9)(n2-9)>0，

x1x2=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2

代入方程(*)得

從六個方程中選擇出三個方程整理得到關系式27y1y2+x1x2+3(x1+x2)+9=0，再聯立用韋達定理把

y1y2,x1x2,x1+x2用m,n表示，整體消去t,x1,y1,x2,y2得到m,n方程這個過程中，要求學生要具備明確的數學模型、較強的數學運算能力.

點評思路2解題過程中消元得到27y1y2+x1x2+3(x1+x2)+9=0這個環節對學生的能力要求較高.思路1與思路2從解題策略上是相同的，都是先根據題意合理設元，再根據所設的未知數與求解問題的需要，從幾何圖形位置與數量關系中找到方程.案例四兩條思路的難點都是在運用代數工具解決問題時，消元整理的難度較大(涉及的未知數個數與方程個數較多，方程本身較復雜)，要求學生具備較強的運算求解能力，思路1消元的方法是比較容易想到，但計算量較大，思路2在消元上技巧性較強，但運算量相對低一些.

解析幾何是高中數學的重要內容，也是高考的主干板塊.學生的解題障礙體現在以下兩點：一是如何實現平面圖形的幾何特征轉化為與坐標有關的方程；二是能否抓住平面圖形的幾何特征的本質簡化運算達到快速求解的目的.因此，在教學中，應當讓學生經歷：分析問題涉及的幾何要素、關系——用代數語言描述幾何要素及其關系——看形找數， 然后利用數學符號進行運算求解，解決代數問題，這個過程強調的是對條件的逐個使用，強調的是對條件的“翻譯”，以及運算程序的實施，解釋代數結果的幾何含義，獲得幾何結果——以數解形.在具體實施中，可以采用微專題的形式進行.