思維的靈動 智慧的生成
——化歸與轉化思想在解題中的應用

江蘇省南通市天星湖中學 施慧麗

化歸與轉化思想是指將已知條件或待解決的問題通過等價變換轉化為低難度的問題或是已解決的問題，使原問題獲得解決的思想方法，其實質是揭示聯系、化繁為簡，其過程是條件系統逼近目標系統。邏輯思維能力、運算推理能力和建模能力是化歸與轉化思想的基礎，是對學生數學綜合素養的考查。

一、常見的化歸與轉化方法

1.坐標法

建立直角坐標系，將幾何問題轉化為代數問題。此種方法在向量、解析幾何問題中頻繁出現。

分析：建立平面直角坐標系，運用坐標法即可。

2.數形結合法

將代數語言與圖形語言進行相互轉化，使“數”的精確性與“形”的直觀性實現完美結合。

例2：方程|x2-2x|-m=0 有兩個不等的實數根，則實數m 的取值范圍是_。

分析：上述方程的根即為兩函數的圖像的兩個交點的橫坐標，畫出兩函數的圖像即可。

解：方程可化為m=|x2-2x|，令y1=m，y2=|x2-2x|，作出函數y2=|x2-2x|的圖像，即可得m 的取值范圍為m=0 或m＞1。

3.換元法

4.構造法

構造一個合適的數學模型，如“斜率”模型、“距離”模型等，把問題轉化為易于解決的問題。

5.等價問題法

挖掘轉化對象的內在關系，等價轉化為同等內涵的目標。

例5：四棱錐P-ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB 與△PAD 都是邊長為2 的等邊三角形。求點A 到平面PCD 的距離。

分析：A 到平面PCD 的距離可轉化為過點A 的平行線上的另一點到面的距離，也可利用三棱錐的等體積法進行轉換。

此外，還有一些常見的化歸方向，如分式向整式的轉化、高次向低次的轉化、多元向一元的轉化、空間向平面的轉化等都是化歸的常見方式。

二、化歸與轉化的要求

首先，化歸與轉化的前提是扎實的知識儲備。化歸與轉化的關鍵是細致入微的觀察、冷靜理性的分析、豐富積極的聯想。這就要求學生要建構完善的知識網絡，對概念、公式、定理要有深刻的理解和認識，對常見的題型要有精準的把握，要善于發現事物的內在聯系。

其次，化歸與轉化必須是有效的化歸，可以僅從條件出發，可以僅從結論出發，也可以同時化歸條件和結論，轉化為過程性結論，但必須是等價有效的化歸。

化歸與轉化思想以“數學發現”為前提，具有很強的靈活性，是中學數學中重要的解題思想之一。教學過程中，教師要重視培養學生的實踐能力和創新精神，引導學生在實踐中獲得新技能、新方法。