基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指引下?lián)Q元法解題的探究

江蘇省南京市棲霞中學(xué) 胡黨琴

現(xiàn)階段的教學(xué)重點(diǎn)正在逐漸由能力培養(yǎng)轉(zhuǎn)向素養(yǎng)培養(yǎng)。 運(yùn)用換元思想是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方法，從思維上可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，使學(xué)生能把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；從方法上可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)化運(yùn)算；從換元簡(jiǎn)化過程中可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，使學(xué)生能在換元后建立新的模型解決問題。此外，利用換元法處理函數(shù)問題，可以借助數(shù)形結(jié)合的方法培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

實(shí)際解決函數(shù)問題時(shí)，換元法有著廣泛的應(yīng)用，它是將函數(shù)的圖像變換為另一種函數(shù)形式，通過換元法將函數(shù)圖像變得簡(jiǎn)單而又直觀，學(xué)生可以從換元之后的函數(shù)圖像中直觀地把握問題的本質(zhì)，從而更方便地解決問題，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性與數(shù)學(xué)運(yùn)算的靈活性。

注：首先將條件式根據(jù)x+2y 的形式化簡(jiǎn)，然后觀察化簡(jiǎn)的結(jié)果。讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，簡(jiǎn)單換元之后，可以將條件式轉(zhuǎn)化成橢圓的形式，利用橢圓的性質(zhì)容易找到在何時(shí)取得最值，從而得出結(jié)果。

結(jié)合圖1 對(duì)比（虛線為函數(shù)平移后的圖像，實(shí)線為題中圖像）：

圖1

例3:（2014 年南開大學(xué)自主招生）設(shè)P 為曲線2x2-5xy+2y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P 到原點(diǎn)距離的最小值。

圖2

圖3

題目的條件是曲線，求最小值的過程中無法利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題，通過換元法，將條件式變成我們熟悉的曲線，然后將目標(biāo)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，不難發(fā)現(xiàn)，可以利用基本不等式快速解決問題。 此外，從上面的換元過程來看，換元可以將一個(gè)二元二次方程化簡(jiǎn)成我們所熟悉的曲線，利用曲線的性質(zhì)來解答問題。化陌生為熟悉，再解決問題，這就要求學(xué)生具備一定的創(chuàng)新能力、靈活的邏輯思維以及對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的探究和鉆研精神。換元后的坐標(biāo)系里，條件式與目標(biāo)式均是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式的圓錐曲線方程，在坐標(biāo)系上一目了然，進(jìn)而可以在坐標(biāo)系中解決問題。

大多數(shù)學(xué)生在做題的時(shí)候，遇到形式復(fù)雜的題目往往束手無策，究其原因，命題人的出題意圖是考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而對(duì)題目進(jìn)行改造，用以迷惑學(xué)生。 在實(shí)際解題中，如果學(xué)生能夠主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，洞悉知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，把握題目的本質(zhì)，則能夠以簡(jiǎn)馭繁，使數(shù)學(xué)運(yùn)算更簡(jiǎn)潔，最終水到渠成地解答問題。