從一道中考題探究課本例題的有效教學

蘇州外國語學校 倪 波

課本例題是各地專家智慧的結晶，大部分中考題都可以在教材中找到原型，即是由課本中的例題引申、變化而來的，對初中數學課堂教學和復習回歸教材、重視基礎起到了良好的導向作用。本文從一道中考題入手，尋找課本的題源，從課本例題出發，通過對例題進行變式、探究、推廣，達到舉一反三的效果。下面將一些想法與大家分享。

一、試題呈現

（2019?安順）如圖1，半徑為3 的⊙A 經過原點O 和點C（0，2），B 是y 軸左側⊙A 優弧上的一點，則tan ∠OBC 為（ ）。

圖1

圖2

二、問題分析

此中考題主要考查圓周角定理、銳角三角函數的定義，仔細分析可以看出，此題是由蘇科版數學九上第121 頁例3 改編而來的，源于課本，高于課本。

原題：如圖2，△ABC 的頂點都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直徑，△ABE 與△ACD 相似嗎？為什么？

分析： 由AE 是⊙O 的直徑， 可得∠ABE=90 °， 由AD是△ABC 的高， 可得∠ADC=90 °， 再由∠C= ∠E， 可得△ABE ∽△ADC。

點評：解決課本例題的關鍵是利用同弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角為直角及相似三角形的判定方法。此題還可以做如下系列變式。

變式1：如圖3，△ABC 的頂點都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直徑，AB=2.5，AC=2，AE=3，求AD 的長。

分析：可連接BE，由例題可知△ABE ∽△ADC，

圖3

變式2：如圖4，△ABC 的頂點都在⊙O 上，AE 是⊙O 的直徑，AC=2，AE=3，求sinB 的值。

分析：

圖4

圖5

點評：上題解決關鍵是抓住直徑這個條件去構造輔助線，文章開頭所提的中考題與變式2 的問題本質相同，它們與課本例題本源是一樣的。

變式3：如圖6，△ABC 的頂點都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AB=4，AC=3，AD=2，求⊙O的面積。

分析：

圖6

圖7

圖8

方法四：如圖9，過點B 作直徑BE，連接AE，具體解法請讀者去思考。

點評：以上幾種解題方法仍然是抓住直徑這個關鍵條件去構造輔助線，不過在構造輔助線時可以從不同的角度入手。

變式4：已知△ABC 的頂點都在⊙O 上，AD是△ABC 的高，AB=4，AC=3，AD=2，求⊙O 的面積。

圖9

圖10

圖11

分析：此題沒有畫出相應的圖形，主要考查學生的分類思想，根據題意畫圖時，△ABC 要分銳角三角形與鈍角三角形兩種情況來思考，如圖10 與圖11，圖10 文中已經給過具體分析，圖11 則可采用類似方法加以解決，如過點A 作直徑AE，連接CE，具體解法由讀者去思考完成。

三、教學感悟

1.以本為本

在教學中，一定要重視教材，以本為本。要認真研究教材，領會教材編寫的意圖，對教材內容的前后知識要理清脈絡，形成體系，領會教材編寫的目的，充分發揮例題的示范功能，同時讓學生也重視課本，切不可舍棄課本一味刷題，否則這樣往往是事倍功半的。

2.用好例題

老師要加強課本例題研究，了解例題的背景、知識能力的要求以及與相關知識的前后聯系。在教學中需要對例題從多角度進行變式，要重視例題的生成，舉一反三，同時還要學會去除背景，提煉出例題的數學思想與方法。

（1）將問題等化成新問題：保持原考查的知識點或能力點不變，將問題的設問方式加以變化，同時添加適當的問題背景，從而改編成新問題。

（2）將問題演化成開放性問題：保持原考查的內容不變，在改編問題的形式的同時，將新的考查點加入其中，甚至將問題開放，這樣可以構造出一系列的問題。

（3）拓展問題的結論成新問題：有些數學問題的結論具有廣泛性，教學時可以將這些問題的結論進行拓展，從而演變成新問題。

（4）變換條件與結論：保持原考查內容，將問題中的條件與結論進行合理變換，這樣就可產生新的問題。值得注意的是，條件與結論不一定等價，因而要關注改編的科學性。

（5）條件與結論的特殊化與一般化。

3.總結提升

在以往的例題教學中，老師主要是講解例題，然后選擇同類題型變式強化，而輕視對例題的總結反思，長此以往，會導致學生在學習方法上主要是“模仿”，一旦遇到新的背景、新的問題就無法解決。教師在教學中要引導學生學會積累解題經驗，學會總結反思，歸納提煉，真正提升數學思維能力。

總之，數學教學中，重視課本，用好例題，總結反思，領悟編者的意圖，是學好數學和教好數學的基本前提。尤其是對課本上的例題的有效教學，更能加強對教材綱領性功能的理解，真正達到抓住課本例題、體現最佳解題示范、延拓課本例題、生長探究教育功能的效果。