一類多元函數(shù)的最小（大）值的簡便求法

甘肅省蘭州市紅古區(qū)窯街學校 杜天智 龐耀輝

最近，筆者仔細閱讀了文獻[1]～[3],獲益匪淺，凸函數(shù)Jensen 不等式是統(tǒng)一的整體，凸函數(shù)的許多性質(zhì)是由Jensen 不等式推導出來的，Jensen 不等式在求函數(shù)最值等方面有著非常廣泛的應用，運用凸函數(shù)Jensen 不等式解決的問題中，有許多問題都可以推廣變形得到更多的相關結(jié)論。筆者在分析、研究文獻[1]、[2]的一些多元函數(shù)的最值問題時，總結(jié)提煉出一個多元函數(shù)的最大（小）值統(tǒng)一求法，現(xiàn)介紹如下，供參考。

為了說明問題，例題均選自文獻[1]、[2]。

先介紹引理：

當0 ＜n ＜1 時的證明與n ＜0 或n ＞1 時相類似，此處略。

例1：（文獻[1]例1）（蘇教版選修（1-1）P84）強度分別為8,1的兩個光源A,B 間的距離為3，試問：在連接兩光源的線段AB 上，距光源A 為多少的點P 處照度最小？（注：照度與光的強度成正比，與光源距離的平方成反比）

注：解法1 需要聯(lián)想和轉(zhuǎn)化，要求有較高的思維能力。解法2 只需要將有關數(shù)據(jù)代入計算即可。

總之，多元函數(shù)最值問題因為多元的關系，所以變形方向不定、技巧性強。怎樣把靈活多變的演算技巧上升為一般的數(shù)學法則或定理，這是我們數(shù)學研究或數(shù)學教學所追求的，本命題在求一類多元函數(shù)最值性問題方面不失一般性。