固定機械結合面法向接觸剛度分形模型*

譚文兵，蘭國生，張學良，孫 萬，溫淑花，陳永會

(太原科技大學機械工程學院，太原 030024)

0 引言

機械結構中結合面不僅分布廣泛，而且起著重要的作用，尤其在各種高精密設備中，結合面接觸剛度對整機的精度和性能有重要影響，有研究表明，機床60%～80%剛度[1]，來自結合面，而機床總剛度直接影響著零件的加工精度。可見，對結合面接觸剛度的研究意義重大。

對于機械結合面接觸剛度的研究，文獻[2]應用分形理論，首次提出了尺度獨立的結合面法向接觸剛度分形模型。文獻[3]結合修正的W-M函數，建立了考慮域擴展因子影響的結合面法向剛度改進模型，之后人們對結合面接觸剛度模型做了進一步的研究[4-6]，然而均未考慮結合面微凸體的彈塑性變形，僅考慮了微凸體的彈性和塑性變形。文獻[7]提出了考慮微凸體彈塑性變形階段影響的結合面剛度模型，并分析了相關因素對結合面剛度的影響，然而存在的問題是，該模型微凸體彈塑性變形階段的變形機制是以插值法得到，不能準確表達該階段的真實規律，且與文獻[8]得到的結果存在一定的誤差。文獻[9]應用文獻[8]的研究成果，建立了考慮微凸體彈塑性變形影響的結合面剛度統計學模型。文獻[10-12]應用文獻[8]的研究成果，分別提出了考慮微凸體彈塑性變形影響的結合面法向剛度二維分形模型和切向剛度分形模型，以及結合面法向剛度三維分形模型，并通過仿真得到了相應的結論，但是均未充分考慮微凸體彈塑性接觸變形階段接觸載荷和接觸剛度與接觸面積間的力學關系。此外，文獻[13]基于結合面基本分形理論，對結合面微凸體彈性接觸變形階段法向剛度的計算存在問題，主要體現在法向剛度的計算過程中：對于MB分形模型，忽略了結合面上單個微凸體在法向上的壓縮變形過程，而在橫向上表現為微凸體間不斷融合形成更大的微凸體，即目標接觸點接觸面積在橫向上不斷融合增大，從這里可以看出，文獻[13]中計算得到的彈性階段剛度的理論計算并不是單個微凸體上的法向剛度。文獻[12,14]也存在同樣的問題。

鑒于此，基于結合面基本分形理論，應用極限的思想，對結合面單個微凸體彈性階段法向剛度進行修正；基于文獻[8]的研究成果，應用結合面基本分形理論，考慮了單個微凸體彈塑性變形階段接觸載荷、接觸剛度與接觸面積間的力學關系，對該階段單個微凸體法向載荷以及法向剛度算法進行了改進，進而建立了結合面法向接觸剛度分形模型。通過與實驗數據進行對比，表明所建模型能較好的預測固定結合面靜剛度。

1 微凸體的接觸變形

1.1 微凸體彈性接觸變形階段

圖1為結合面微凸體與剛性平面接觸前后變形示意圖，微凸體處于彈性接觸狀態時，變形量為δ，接觸面積a以及接觸載荷pe的關系為：

a=πRδ

(1)

(2)

(a) 接觸前 (b) 接觸后 圖1 理想剛性平面與微凸體接觸

1.2 微凸體彈塑性接觸變形階段

微凸體彈性臨界變形量為[15]：

(3)

當微凸體變形量δ>δc時，開始出現屈服現象。研究結果表明[8]，在δc≤δ≤110δc，微凸體發生彈塑性變形，細分為兩個區域，對應的變形量，微接觸面積以及載荷間的變形機制為：

當δc≤δ≤6δc時

(4)

(5)

當6δc≤δ≤110δc時

(6)

(7)

1.3 微凸體塑性變形階段

當δ>δp=110δc時，微凸體處于塑性接觸狀態，微接觸面積與載荷為：

a=2πRδ

(8)

pp=2πRδH=Ha

(9)

2 結合面基本分形理論

結合面微接觸點的面積密度分布函數為[16]：

(10)

(11)

此時微凸體變形量為：

(12)

(13)

2.1 微凸體彈性接觸變形階段法向剛度修正算法

圖2為微凸體已發生變形的輪廓，對于接觸長度為l(或者說接觸面積為a)的微凸體，其任意時刻的變形量δu與接觸面積au的關系可表達為[17]：

(14)

(15)

則當接觸面積為a時，法向接觸剛度為：

(16)

圖2 微凸體的變形輪廓

可見經修正算法得到的結合面單個微凸體的法向接觸剛度與經典彈性赫茲接觸理論得到的相統一，即與式(2)對變形量的求導結果一致。則由式(1)、式(16)可得，當接觸面積為a時，結合面微凸體彈性接觸變形階段法向接觸剛度為：

(17)

由式(1)、式(2)、式(11)可得當接觸面積為a時，法向接觸載荷為：

(18)

2.2 微凸體彈塑性階段法向載荷和剛度改進算法

2.2.1 彈塑性接觸變形第一階段法向載荷的計算

將式(4)代入式(5)得：

(19)

進而將式(3) 、式(11)、式(12)代入式(19)得微凸體彈塑性一區法向接觸載荷分形表達式為：

(20)

這里需要說明的是，基于文獻[8]提出的分形模型[10-12]均未考慮單個微凸體在彈塑性接觸變形階段其法向載荷與接觸面積間的關系，即式(4)與式(5)。本文考慮了法向載荷與接觸面積間的關系，基于式(19)，進而得到單個微凸體彈塑性接觸變形第一階段法向接觸載荷分形表達式。與文獻[10-12]對應表達式不同，在各個參數的指數上相區別。

2.2.2 彈塑性接觸變形第一階段法向剛度的計算

由式(5)得：

(21)

將式(4)代入式(5)得：

(22)

進而由式(3)、式(11)、式(12)可得彈塑性一區接觸剛度分形表達式為：

(23)

基于文獻[8]提出的結合面法向剛度分形模型[10,12]未考慮單個微凸體在彈塑性接觸變形階段其法向剛度與接觸面積間的關系，即式(4)與式(21)，在此考慮了法向剛度與接觸面積間的關系，基于式(22)，進而得到單個微凸體彈塑性接觸變形第一階段法向接觸剛度分形表達式。與文獻[10,12]對應表達式不同，可在各個參數的指數上加以區別。

2.2.3 彈塑性接觸變形第二階段法向載荷與法向剛

度的計算

彈塑性第二階段法向載荷及法向剛度算法類同彈塑性接觸變形第一階段。將式(3)、式(6)、式(11)、式(12)代入式(7)，得微凸體彈塑性接觸變形第二階段法向載荷為：

(24)

由式(3)、式(6)、式(7)、式(11)、式(12)可得微凸體彈塑性接觸變形第二階段法向剛度為：

(25)

3 結合面法向接觸剛度模型

結合面實際總接觸面積為：

(26)

將式(10)代入式(26)得：

(27)

結合面總法向接觸剛度為：

(28)

將式 (10)、式(17)、式(23)、式(25)代入式(28)得：

(29)

結合面總法向載荷為：

(30)

將式(9)、式(10)、 式(18)、 式(19) 、式(24)代入式(30)得：

當1

(31)

當D=1.5時

(32)

將式(29)、式(31)、式(32)無量綱化得：

(33)

當1

P*=

(34)

當D=1.5時

(35)

式中，

g4(D)=

由式(34)、式(35)可見：本文模型中處于彈塑性接觸變形第一、第二階段的微凸體總載荷以及塑性接觸階段總載荷表達式形式統一；由式(33)可見：處于彈塑性接觸變形第一、第二階段的微凸體總剛度表達式形式統一，這與文獻[10-12]模型對應關系式相區別。

4 模型的實驗驗證

采用文獻[6]中的實驗進行驗證。構成結合面的上下接觸粗糙面材料均為灰鑄鐵，無潤滑介質，材料彈性模量E1=E2=130 GPa，泊松比為v1=v2=0.25,材料硬度為H1=H2=231 MPa。表1和表2分別為粗糙表面參數和等效粗糙表面參數。

表1 粗糙表面參數

表2 等效粗糙表面參數

(a) 結合面l理論與實驗剛度值

(b) 結合面2理論與實驗剛度值圖3 模型與實驗數據對比

圖3為配合接觸對1和配合接觸對2的理論預測值與實驗值的對比結果，可見，模型預測值和實驗數據趨勢相同，總體上，相較于JZZ模型[14]和Wang模型[6]，所建模型預測值與實驗值更為接近，對結合面接觸剛度的預測得到了一定的提高。對于配合接觸對1，如圖3a所示，當法向載荷小于1.136 MPa時，理論預測值小于實驗值，當法向載荷大于1.136 MPa時，理論預測值大于實驗值。對于配合接觸對2，如圖3b所示，當法向載荷大于1.136 MPa且小于2.273 MPa時，理論預測值大于實驗值，當法向載荷小于1.136 MPa且大于2.273 MPa時，理論預測值小于實驗值。本文模型未考慮結合面微凸體間的相互作用、摩擦因素是造成誤差的重要因素，因此有待做進一步完善。

5 結論

基于結合面基本分形理論，通過對結合面單個微凸體彈性階段法向剛度以及對結合面單個微凸體彈塑性接觸變形階段的法向載荷以及法向剛度的改進，建立了包含彈性、彈塑性、塑性三種變形機制的結合面法向接觸剛度分形模型。所建模型預測值與實驗值的對比結果驗證了理論改進算法的有效性，所建模型能較好的預測結合面法向接觸剛度。

所建模型沒有考慮結合面間的潤滑介質，且潤滑介質對結合面接觸剛度存在顯著影響，所以模型不適于預測有潤滑介質存在的情形。