各向同性與各向異性損傷理論的比較研究

谷 鈺

（1.安徽省建筑科學研究設計院，安徽 合肥 230031 ；2.安徽省建筑工程質量第二監督檢測站，安徽 合肥 230031）

材料在成型過程中會產生微裂紋、微空洞等細觀結構缺陷，其受到外部荷載的影響時，材料中微裂紋的發展及各種微觀結構的相互影響作用，最終會形成宏觀裂縫直至材料完全破壞。這種損傷過程會使承載能力減弱，同時承載面積變小，降低材料的力學性能，影響結構的使用壽命，為了能夠正確分析材料的力學行為，研究在外部荷載和環境作用下，由損傷介質引起的材料的損傷演化過程， 即為損傷力學。 1963 年Kachanov- rabotnov 首次提出了金屬的損傷變量這一概念，在此基礎上，經過進一步研究，Mazars 提出經典損傷本構模型，經過幾十年的研究，損傷力學理論已經形成了連續損傷力學和細觀損傷力學兩大主要分支。

連續損傷力學（Continuum damage mechanics）是從連續介質力學和不可逆熱力學理論基礎上發展而來的，通過材料的宏觀力學性質及損傷演化過程，引入合適的損傷變量，利用不可逆熱力學理論建立損傷本構模型，使損傷本構模型計算得到的材料力學行為符合實際情況，與試驗結果一致。相較于考慮材料細觀結構的細觀損傷力學，只考慮材料的宏觀力學行為的連續損傷力學更容易用于實際問題的分析研究，應用更為廣泛。

目前廣泛使用的一些經典損傷理論，包括Kachanov- rabotnov 損傷理論，Mazars 經典損傷理論等等，皆假定損傷是各向同性的，采用的損傷變量為標量損傷變量，即在材料劣化過程的所有方向上損傷變量均相同。而在材料損傷過程中，外部施加應力和應變的方向往往決定了微裂紋產生和發展的方向，顯然損傷過程是各向異性的。各向同性損傷理論沒有考慮微裂紋、微空洞的方向性，不符合實際材料的損傷演化過程，因此考慮各向異性損傷模型能夠更加準確地描述材料損傷的力學行為。

在連續損傷力學理論基礎上，建立損傷模型最重要的是定義合適的損傷變量，選擇適當的損傷變量來表示存在各種劣化的損傷材料的力學特征，考慮到損傷的各向異性時，采用的損傷變量可以定義為一個矢量、二階張量或者四階張量。之后，通過未損傷材料和損傷材料的各種等效假定，利用未損傷材料的本構方程推導出損傷材料的本構方程。

1 各向同性損傷理論

1.1Kachanov-rabotnov 損傷理論

1958 年，Kachanov 在研究金屬材料的蠕變斷裂情況時提出了連續度的概念，即有效承載面面積與初始承載面面積的比值，將材料中復雜離散的損傷過程簡單化。1963 年，Rabotnov 定義材料的損傷因子D，當D=1 時，材料處于完全損傷狀態；當D=0 時，材料處于初始未損傷狀態。Kachanov- rabotnov 損傷理論假定材料損傷的主要特征是，微裂紋擴展會使得有效承載面積的A減小，可以得到有效應力的表達式，并利用有效應力建立損傷演化方程。

1.2 Mazars 損傷理論

經典Mazars 損傷理論假定損傷材料是各向同性的，但在受到拉伸和壓縮應力時表現出不同損傷情況，在受到拉伸應力時，微裂紋的產生與發展與受力方向一致；而在受到壓縮應力時，微裂紋沿受力的垂直方向發展，由于泊松效應，微裂紋發展較為緩慢。因此采用雙模量損傷變量，即分別定義拉伸損傷變量為D，壓縮損傷變量為D，則在單軸加載情況下，損傷變量為D=αD+αD，其中α、α為拉伸和壓縮時的材料常數。

Mazars 通過實驗分析，擬合出材料的應力應變曲線，并結合損傷材料的應力應變關系式σ=（1- D）E∶ε，式中E是未損傷材料的四階彈性剛度張量，推導出損傷演化方程，其中A、A、B、B為材料常數，ε為初始損傷閾值，ε為等效應變。

2 各向異性蠕變損傷理論

2.1Murakam i 損傷理論

在連續損傷力學理論框架下，Murakami 損傷理論能夠描述各向異性損傷狀態下的材料，并給出有效應力張量的定義。為了將Kachanov- rabotnov經典蠕變損傷理論推廣到一般的三維各向異性損傷理論，需要建立合理的各向異性損傷模型，故引入虛擬的無損傷構造，其力學性質等效于損傷材料的真實構造，Murakami 定義損傷變量為對稱的二階張量。

正確理解材料損傷過程中的力學行為，對定義損傷變量、建立損傷演化方程至關重要。Murakami 同樣認為材料中微裂紋的擴展會引起有效承載面積的減小，定義一個虛擬的變形梯度G 來表示虛擬未損傷構造到當前損傷構造狀態下由于損傷導致的凈面積減小。在這種虛擬未損傷構造中，存在有效承載面積越小，凈面積承載應力越大的關系，即等式σA=σ A。Kachanov- rabotnov 損傷理論得到的等式（1）很難描述由三維各向異性微裂紋擴展產生的損傷狀態，因此考慮引入一個二階張量定義損傷變量。

即時損傷構造中的承載面積PQR等效于虛擬未損構造中的PQR，由于損傷導致的有效承載面積的減小不止發生在PQR 平面上，同時也發生在其它各個方向的平面上，因此vdA 和vdA的方向不一定相同。將平面PQR 和平面PQR通過變形梯度G 建立關系式：

由等式（4）可以看出，損傷狀態下的構造可以由K（G）線性轉化為假定的虛擬未損傷狀態下的構造。為了方便計算，引入二階張量（I-D）代替張量K（G），其中I 為單位二階張量，D 為各向異性損傷材料中內部狀態變量的二階張量，即損傷構造的損傷變量。值得注意的是，材料受損過程中存在內部損傷演化和外部宏觀變形，在材料存在大的宏觀裂縫時則不能使用損內部狀態變量D。由于vdA 等效于vdA，則（I-D）應為正定的二階張量，可將其分解為對稱部分和反對稱部分，僅考慮反對稱部分，有：

因此Murakami 損傷理論定義的損傷變量為對稱二階張量。

3 各向異性脆性損傷模型

巖石、混凝土等準脆性材料的應力應變曲線通常有線性階段、非線性階段、應變軟化等階段，當外部荷載到達承載力極限前，會發生應變強化階段，隨著外部荷載的持續增加至承載力極限時，出現應變軟化，構件的承載能力逐漸下降。

3.1Sidoroff 損傷理論

但是，Sidoroff 提出的能量等效假設存在一定的缺陷，并未考慮到損傷導致的能量耗散以及有效體積等材料的形狀變化。

4 總結

研究材料的損傷演化過程的前提是建立合適的損傷本構模型，目前，學者們普遍重視材料的損傷研究，提出了各種不同的描述材料損傷的理論，建立了各種損傷本構模型，其中最重要的是選擇合適的損傷變量，在各向異性損傷理論中采用張量作為損傷變量，往往會導致模型研究困難加大，首先難以直接表示材料變形特征，其次通過分析計算得到的損傷剛度矩陣不對稱，因此不適用于實際工程應用中。所以目前在工程實際中仍優先采用各向同性損傷模型，即標量損傷變量。考慮到材料單邊效應，即在受拉和受壓作用下材料的強度和變形不同，可以采用雙模量損傷變量，分別定義受拉、受壓作用下的損傷變量。