鋼筋混凝土圓形截面非均勻配筋的圖算法

羅 莎， 周東華

(昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，昆明 650224)

1 引 言

目前圓形截面的配筋計(jì)算有兩大特點(diǎn)，一是計(jì)算困難，二是已有的配筋計(jì)算公式僅針對鋼筋均勻布置的情況。計(jì)算困難是因?yàn)榇嬖陔p重非線性(材料和截面寬度變化的非線性)，對此《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[1](以下簡稱為規(guī)范)給出了計(jì)算圓形截面均勻配筋的超越方程組，但須聯(lián)立迭代求解，難以手算。另外，規(guī)范公式是針對均勻配筋推導(dǎo)的，均勻配筋有不合理的一面，即靠近中性軸區(qū)域的鋼筋應(yīng)力很小，鋼筋強(qiáng)度得不到發(fā)揮，這種布筋方式是不經(jīng)濟(jì)的[2-6]，較好的布筋方式應(yīng)該是受力鋼筋布置在遠(yuǎn)離中性軸的外圍區(qū)域，而靠近中性軸的區(qū)域僅布置構(gòu)造鋼筋。當(dāng)構(gòu)件尺寸(直徑和長度)很大時(如抗滑樁和深樁基等)，這種布筋方式的經(jīng)濟(jì)性和合理性尤為突出。本文針對以上兩個特點(diǎn)展開，一要解決能手算的問題，二要解決非均勻配筋的計(jì)算問題，即提供一個通用的計(jì)算方法。

為了避免求解規(guī)范中求解圓形截面計(jì)算配筋的超越方程組[7-12],本文從應(yīng)變出發(fā)，由應(yīng)變計(jì)算應(yīng)力，再由應(yīng)力計(jì)算內(nèi)力[13-16]。從應(yīng)變出發(fā)指的是要已知應(yīng)變，為此要確定所有可能的應(yīng)變及應(yīng)變范圍，要做到這一點(diǎn)，只須按照規(guī)范中給出的混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系就能確定，即主要根據(jù)屈服應(yīng)變和極限應(yīng)變來確定，另還將根據(jù)這些關(guān)鍵的應(yīng)變點(diǎn)來對可能的應(yīng)變進(jìn)行分區(qū)，以便公式推導(dǎo)和計(jì)算。

2 計(jì)算方法和公式推導(dǎo)

2.1 本構(gòu)關(guān)系

采用規(guī)范6.2.1給出的混凝土和鋼筋本構(gòu)關(guān)系，如圖1所示。

圖1 本構(gòu)關(guān)系

混凝土及鋼筋的本構(gòu)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(1)

(2)

式中εc和εs分別為混凝土和鋼筋應(yīng)變，σc和σs分別為混凝土和鋼筋應(yīng)力，fc為混凝土的抗壓強(qiáng)度，fy為鋼筋的屈服強(qiáng)度。

2.2 混凝土及鋼筋的應(yīng)變區(qū)域劃分

本文方法最關(guān)鍵的一步是由應(yīng)變通過本構(gòu)關(guān)系確定應(yīng)力，根據(jù)規(guī)范6.2.1規(guī)定，可構(gòu)建出 圖2 的3個應(yīng)變區(qū)域。這3個區(qū)域能反映大偏拉、純彎、大偏壓和小偏壓下的應(yīng)變狀態(tài)。3個應(yīng)變區(qū)域共有的特點(diǎn)是，在每個區(qū)域內(nèi)總有一應(yīng)變?yōu)闃O限應(yīng)變，或是截面上邊緣的混凝土應(yīng)變，或截面下部鋼筋的應(yīng)變達(dá)到極限應(yīng)變，未達(dá)到極限應(yīng)變的另一側(cè)的應(yīng)變則可變化，即可取不同的值，這樣在所有應(yīng)變組合都含有一個極限應(yīng)變，即為承載力極限狀態(tài)，其破壞形式可為受拉邊先破壞，或受壓邊先破壞，或受拉邊和受壓邊同時破壞。

圖2 混凝土和鋼筋的應(yīng)變變化區(qū)域

有了應(yīng)變分區(qū)及外邊界，就可選取不同的應(yīng)變組合(一個固定應(yīng)變分別與不同可變應(yīng)變的組合)加上考慮混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系來確定應(yīng)力的大小，然后將應(yīng)力在截面上積分，從而得到截面內(nèi)力。

圖2的3個應(yīng)變區(qū)域分別對應(yīng)圖3的4種受力狀態(tài)，其分別是，大偏拉、純彎、大偏壓和小偏壓應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力分布圖。

圖3 應(yīng)力分布

下面對圖2的應(yīng)變分區(qū)的特點(diǎn)加以說明。

區(qū)域①： 下部鋼筋應(yīng)變?yōu)楣潭ǎ渲禐闃O限應(yīng)變(εs=10‰)，上邊緣混凝土應(yīng)變可變化，其值為εc 1=0‰～-3.3‰，中性軸由截面上邊緣逐漸下移進(jìn)入截面，受力狀態(tài)可為大偏心受拉和純彎。

區(qū)域②： 截面上邊緣混凝土應(yīng)變?yōu)楣潭ǎ渲禐闃O限應(yīng)變(εc 1=-3.3‰)，下部受拉鋼筋應(yīng)變則可變化，其變化范圍為εs=10‰～εy。截面受力狀態(tài)為純彎或大偏心受壓。

區(qū)域③： 混凝土上邊緣應(yīng)變?nèi)詾楣潭ǎ处與 1=-3.3‰，下部受拉鋼筋的應(yīng)變可變化，其變化范圍為εs=εy～0‰，由于受拉鋼筋不屈服，所以截面受力狀態(tài)為小偏心受壓。

有了上述所劃分的3個應(yīng)變區(qū)域，不僅可知應(yīng)變的變化范圍，還讓可變化的應(yīng)變成為已知量，即將可變化的應(yīng)變分別賦以不同的值，便可由本構(gòu)關(guān)系得到相應(yīng)的應(yīng)力值。與規(guī)范公式相比，劃分應(yīng)變區(qū)域的方式更加完善，不需要求解超越方程，減小計(jì)算難度。

2.3 公式推導(dǎo)過程

2.3.1 混凝土截面應(yīng)力和內(nèi)力的計(jì)算

利用圖4應(yīng)變的幾何關(guān)系可計(jì)算出受壓區(qū)高度x,由x可確定截面高度范圍內(nèi)任意纖維處的應(yīng)變εc i，

(3，4)

(5)

(6)

將式(6)代入式(1)的混凝土本構(gòu)關(guān)系可得任意纖維處應(yīng)力的計(jì)算表達(dá)式，

(7)

圖4 截面參數(shù)及應(yīng)變

由此可對微面積上的應(yīng)力和應(yīng)力矩積分，來計(jì)算軸力和彎矩。計(jì)算時，彎矩的取矩點(diǎn)選為下部鋼筋的合力點(diǎn)。

當(dāng)εc 1=-2.0‰～-3.3‰時為矩形區(qū)段，此區(qū)段內(nèi)軸力為面積的計(jì)算，彎矩為面積距的計(jì)算，由此可得

(8a)

(8b)

當(dāng)εc 1=0‰～-2.0‰時為拋物線區(qū)段，積分后可得

(9a)

(9b)

上述計(jì)算軸力和彎矩的公式是按照混凝土本構(gòu)關(guān)系來確定，但此時的軸力和彎矩與混凝土強(qiáng)度和截面尺寸是相關(guān)的，所以將式(8a,9a)除以πr2fc和將式(8b,9b)除以πr3fc，就可得到式(10a,10b)的無量綱軸力和彎矩,

(10a)

圖5 應(yīng)變εc 1≤-2.0‰時的應(yīng)力分布

(10b)

式(10a，10b)的積分上限為圓頂，下限為中性軸高度處所對應(yīng)的圓心角，由式(11)計(jì)算得

(11)

當(dāng)應(yīng)變范圍為0‰>εc 1>-2.0‰(區(qū)域①)，所對應(yīng)的hi值為0，x，如圖6所示。

圖6 積分上下限對應(yīng)的圓心角

可知在不同的應(yīng)變區(qū)域，應(yīng)力分布形狀是變化的，當(dāng)應(yīng)變范圍為-2.0‰>εc 1>-3.3‰時(區(qū)域①②③)，所對應(yīng)的hi值為0，x-a，x。

2.3.2 受壓區(qū)高度系數(shù)kx及內(nèi)力臂系數(shù)kz

對于0‰≥εc 1>-2.0‰以及εc 1≤-2.0‰范圍，截面內(nèi)力及內(nèi)力臂如圖7所示。

圖7 截面內(nèi)力及內(nèi)力臂

由幾何關(guān)系易知，

(12)

令x=kxh0，當(dāng)應(yīng)變區(qū)域處于區(qū)域①時，取εs=10‰，則有

(13)

同理可得內(nèi)力臂系數(shù)kz，

(14)

式中a=m/n。

2.3.3 鋼筋面積的求解

截面上的彎矩和軸力如圖8所示，則鋼筋面積的求解存在以下情況，計(jì)算方法為

(1) 單筋

當(dāng)截面上沒有軸力時，受拉鋼筋面積為

(15)

式中z=kzh0。

當(dāng)截面上存在軸力時，應(yīng)將軸力移至鋼筋合力處，如式(16)，軸力的符號規(guī)定為拉力為正，壓力為負(fù)。

Ms=M-N(D/2-as)

(16)

(17)

當(dāng)受拉鋼筋應(yīng)變達(dá)到或超過屈服應(yīng)變時(區(qū)域①和區(qū)域②)，σs=fy，當(dāng)小于屈服應(yīng)變時(區(qū)域③)，σs=Esεs。

(2) 雙筋

當(dāng)截面上設(shè)置受壓鋼筋時，為充分利用混凝土強(qiáng)度，讓超出極限彎矩部分ΔM由受壓鋼筋來承擔(dān)，

ΔM=M-M*

(18)

圖8 截面上的彎矩和軸力

級別有關(guān)，當(dāng)使用HRB400級鋼筋時，m*=0.379。

受壓鋼筋為

(19)

受拉鋼筋為

(20)

當(dāng)存在軸力時，需先求得Ms，可得受拉鋼筋為

(21)

由此，通過3個應(yīng)變區(qū)域的劃分可確定每一種受力情況下的應(yīng)變變化范圍，由應(yīng)變大小通過混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系確定應(yīng)力大小，再由積分可知軸力和彎矩。

需要補(bǔ)充說明的是，前面推導(dǎo)所得公式是針對受力筋，受力筋以外的區(qū)域按照構(gòu)造配置鋼筋。

3 算例分析

算例1D=1000 mm，M=1000 kN·m，鋼筋等級選用HRB400，混凝土強(qiáng)度等級選用C30。按本文介紹方法計(jì)算配筋。

(1) 按規(guī)范

規(guī)范公式只針對全截面均勻配筋，將已知量代入公式，可得

圖9 無量綱彎矩與截面計(jì)算系數(shù)關(guān)系諾模圖

求解方程，得As=6870 mm2。

(2) 按本文計(jì)算方法

由m查圖9得kz=0.94。

3307 mm2

本文方法與規(guī)范所得的鋼筋面積之比為3307/6870=0.48，可節(jié)省鋼筋52%。

算例2D=1000 mm，M=900 kN·m，N=-800 kN,鋼筋等級選用HRB400，混凝土強(qiáng)度等級選用C30。按本文介紹方法計(jì)算配筋。

(1) 按規(guī)范

規(guī)范公式只針對全截面均勻配筋，將已知量代入公式，可得

求解方程，得As=8352 mm2。

(2) 按本文計(jì)算方法

由m查圖9得kz=0.94。

本文方法與規(guī)范所得的鋼筋面積之比為1796/8352=0.22，可節(jié)省鋼筋78%。

算例3D=1000 mm，M=2500 kN·m，N=-2200 kN,鋼筋等級選用HRB400，混凝土強(qiáng)度等級選用C30。按本文介紹方法計(jì)算配筋。

(1) 按規(guī)范

規(guī)范公式只針對全截面均勻配筋，將已知量代入公式，可得

求解方程，得As=29653 mm2。

(2) 按本文計(jì)算方法

ΔM=Ms-m*πr3fc=3366-0.379×π×5003×

14.3=1238 kN·m

由m≥m*，需按照雙筋進(jìn)行配筋，查圖9可得kz=0.87。

本文方法與規(guī)范所得的鋼筋面積之比為 5862×2/29653=0.39，可節(jié)省鋼筋61%。

4 結(jié) 論

(1) 本文可以使不同級別的混凝土和鋼筋都使用一個無量綱圖表，與規(guī)范相比，無量綱圖表法可以計(jì)算3個應(yīng)變區(qū)域，不用求解超越方程，相關(guān)計(jì)算變得簡單和快捷。

(2) 規(guī)范只有圓形均勻配筋的計(jì)算公式，所以在非均勻配筋的情況下無法計(jì)算配筋，本文提供了非均勻配筋的計(jì)算方法，且考慮了非均勻配筋時因分布角度而改變的鋼筋重心位置，使計(jì)算結(jié)果更加精確，采用非均勻配筋可以減少鋼筋面積，節(jié)省鋼筋用量，充分利用鋼筋混凝土的強(qiáng)度，鋼筋配置適宜，滿足新規(guī)范要求，為工程設(shè)計(jì)人員提供了一定的參考價值。