線性方程組解的幾何意義與矩陣秩的聯系

羅 柱，盧 藝

(廣東東軟學院 基礎學院，廣東 佛山 528225)

0 引言

線性方程組是線性代數課程中一個重要內容，它在實際應用中有著重要作用，例如，穩態電路中的核心方程基爾霍夫方程、計算信號流圖傳遞函數公式、網絡流等，它們本質上是解線性方程組。解線性方程組都是基于重要的理論——線性方程組解的結構定理。三元一次線性方程組有著明顯的幾何背景，現大部分文獻資料都是直接描述其解的幾何含義，但未證明線性方程組解的幾何含義與其解的判定條件之間的理論聯系。本研究借助MATLAB軟件直觀展示線性方程組解的幾何意義，從理論上證明線性方程組解的幾何含義與解的判定條件之間的聯系。

1 預備知識

設三元一次線性方程組為

(1)

記，

α1=(a11,a21,a31)T，α2=(a12,a22,a32)T，

α3=(a13,a23,a33)T

定義1m×n矩陣A的所有非零子式的最高階數稱為矩陣A的秩。

引理1 設兩平面方程為

π1:A1x+B1y+C1z+D1=0

π2:A2x+B2y+C2z+D2=0’

則

(i)兩平面相交的充要條件是

A1：B1：C1≠A2：B2：C2；

(ii)兩平面平行的充要條件是

(iii)兩平面重合的充要條件是

2 相關結論

線性方程組(1)的每一個方程表示三維空間中的一個平面，如果第二個方程與第一個方程聯立，得到一個方程組，如有解，其解是維數小一維的直線，第三個方程也一樣。這就生成兩條新的直線，若這兩條直線相交于一點，則方程組有唯一解。換句話說，三個平面相交于一點時，則線性方程組(1)有唯一解。下面借助于MATLAB，在二維平面中展示三元一次線性方程組解的其他情況。

注：每一條直線代表的是一個平面，每個交點代表的是一條直線。 圖1

由圖1可知，1、3顯示若兩平面的交線在另一平面外，它們所對應的線性方程組無解；2顯示無交線在第三個平面上，它所對應的線性方程組無解；4顯示兩平面的交線在第三個平面上，所對應的線性方程組有無窮多解。

從直線與平面位置關系研究線性方程組解的幾何實驗課含義與解的判定條件之間的聯系。

設直線L方程為

(2)

若a11：a12：a13≠a21：a22：a23，則直線(2)可以化為標準方程

(3)

其中，

又設平面方程為

π3：a31x+a32y+a33z=b3

(4)

記

定理1 直線(3)與平面(4)的相互位置關系有下面的充要條件：

(i)相交：r(A)=3;

(ii)平行：r(A)=2,r(B)=3;

(iii)直線在平面上：r(A)=r(B)=2

證明 注意到，2≤r(A)≤3，令

聯立(4)化簡得

|D||A|t=|C|-|A|z0

(5)

這是一個關于t的一元一次方程。

(i)若|A|≠0時，此時，方程(5)有唯一解，即直線與平面有唯一的交點。因此，當r(A)=3時，直線與平面相交；

(ii)若|A|=0，|C|≠0時，由于|C|≠0，則|B|有一個非零的三階子式，即r(B)=3，此時方程(5)無解，即直線與平面無交點，也就是直線平行于平面。因此，當r(B)=3，r(A)=2時，直線與平面平行；

(iii)若|A|=0，|C|=0時，則α1，α2，α3線性相關，α1，α2，b也線性相關，則

r(α1，α2，α3,b)=r(α1，α2)=r(α1，α2，α3)=2

此時，方程(5)有無窮多解，即直線在平面上。因此，當r(A)=r(B)=2時，直線在平面上。

注：1.上面的證明過程是可逆的。2.根據上面的定理，從幾何背景上判斷線性方程組(1)解的情況只需看直線與平面的位置關系：當直線與平面相交時，線性方程組(1)有唯一解；當直線在平面外時，線性方程組(1)無解；當直線在平面上時，線性方程組(1)有無窮多解。

命題1 三平面重合的充要條件是

r(A)=r(B)=1

命題2 三平面平行但不全重合的充要條件是

r(A)=1，r(B)≠1

注：1.命題1、命題2可直接由引理1得到。2.命題1可以看成是無窮多條直線在平面上；命題2可以看成是無直線在平面上。

設三元一次線性方程組為

(6)

推論1 (i)線性方程組(6)有唯一解的充要條件是(6)中的m個方程所表示的平面相交于一點；

(ii)線性方程組(6)有無窮多解的充要條件是(6)中的m個方程所表示的m個平面重合或相交于一條直線；

(iii)線性方程組(6)無解，充要條件是(6)中的m個方程所表示m個平面既不相交于一點也不重合、相交于一條直線。

證明 從線性方程組解的形式與直線、平面方程可得出結論，這里不再證明。

注：從定理1、命題1、命題2以及推論1的結論中也可以看出三元一次線性方程組解的結構形式：如果是平面重合，其解中含有兩個自由變量，即其解的表達式實際上是一個平面方程；如果是平面相交于一條直線，其解中含有一個自由變量，即其解的表達式實際上是一條直線方程。

3 應用

例1 設有三張不同的平面，其方程為aix+biy+ciz=di(i=1,2,3)，它們組成的系數矩陣及增廣矩陣的秩都為2，則三張平面可能的位置關系為( )。(2002年數一)

解 由于系數矩陣及增廣矩陣的秩都為2，則方程組有無窮多解，根據定理1，應是兩平面相交成的直線在第三個平面上，滿足這個要求的只有B。